2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 第二十四章 圓 練習(xí)

第二十四章圓

專題一圓的性質(zhì)

核心考點(diǎn)一利用半徑相等

01.如圖，OO的弦CD與直徑AB的延長線相交于點(diǎn)E,AB=2DE,ZE=12°,則NBAC=()

A.60°B,72°

C.75°D.78°

02.如圖,PQ是半圓O的直徑,正方形ABCD和正方形CEFG彼此相鄰且內(nèi)接于半圓O,點(diǎn)A,B,F在半圓上，點(diǎn)C,D,

G在直徑PQ上，點(diǎn)E在BC上,正方形CEFG的面積為16.

(1)求證:OC=OD;

(2)求00的半徑長.

核心考點(diǎn)二取動直角頂點(diǎn)所對斜邊的中點(diǎn)構(gòu)造圓心'—隱形圓

03.如圖，在RtAABC中,AB，BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動點(diǎn),且滿足.NPHB=4PBe，則線段CP長的最

小值為.A

核心考點(diǎn)三垂徑定理及推論

04.如圖,AB是半圓0的直徑,E是BC的中點(diǎn)QE交弦BC于點(diǎn)D,已知,BC=8,DE=2,求AD的長.

05.下列說法正確的是()

A.平分弦的直徑垂直于弦B.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸

C.相等的弧所對的弦相等D.長度相等的弧是等弧

核心考點(diǎn)四同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系

06.如圖,AB為。O的直徑,ZBED=40°,則/ACD=（）

A.40°B.45°

C.50°D.55°

核心考點(diǎn)五直徑所對的圓周角是直角

07.如圖,AB為。。的直徑,CD是O。的弦,ZADC=35°,則NCAB的度數(shù)為（）

A.35°B.45°

C.55°D.65°

08.如圖，小華同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圓半徑的測量器，標(biāo)有刻度的尺子OA,OB在。點(diǎn)釘在一起，并使它們保持垂直,

在測直徑時(shí)，把O點(diǎn)靠在圓周上，讀得刻度OE=8個(gè)單位，OF=6個(gè)單位，則圓的半徑為（）

A.3個(gè)單位B.4個(gè)單位

C.5個(gè)單位D.6個(gè)單位

核心考點(diǎn)六圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)

09.如圖,AB是。。的直徑，點(diǎn)C,D,E在。0上,若NDCB=110。,則NAED的度數(shù)為（）

A.10°B.15°

C.20°D.25°

核心考點(diǎn)七利用圓的對稱性、垂徑定理及半徑相等列方程

10.如圖，多邊形ABDEC是由邊長為2的正△A8C和正方形BDEC組成則過A,D,E三點(diǎn)的圓的半徑為.

DE

專題二垂徑定理

核心考點(diǎn)一利用半徑相等和垂徑定理得直角三角形

01.如圖,CD經(jīng)過0O的圓心O,弦.AB1CD,AB=8,CD=6?則0O的半徑為

核心考點(diǎn)二先放垂再利用垂徑定理

02.如圖,在。O內(nèi)有折線OABC,其中（OA=8,AB=12,乙4=NB=60。,,則BC的長為」

核心考點(diǎn)三和直徑垂直的線段，考慮垂徑定理得線段中點(diǎn)

03.如圖,直徑AB,CD的夾角為60°,P為。O上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B,C,D重合）.PM,PN分別垂直于CD,AB,垂

足分別為M,N.若0O的半徑長為2,則MN的長（）

A.隨P點(diǎn)運(yùn)動而變化,最大值為V3

B.等于百

C.隨P點(diǎn)運(yùn)動而變化，最小值為V3

D.隨P點(diǎn)運(yùn)動而變化，沒有最值

核心考點(diǎn)四取弦的中點(diǎn)得垂直

04.如圖,AB是半圓的直徑,EF為0O的弦,C為。。內(nèi)一點(diǎn),NECF=90。,OC=6,OB=10若4F=NEC。,則EF=.

AOB

核心考點(diǎn)五動圓轉(zhuǎn)化為定圓

05.如圖,鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處交匯,ZQON=30°,公路PQ上A處距離。點(diǎn)240米,如果火車行駛時(shí)，周圍

200米以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿MN方向以72千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受到噪

音影響的時(shí)間為秒.

1N

核心考點(diǎn)六平行弦與多解問題

06.已知。O的半徑為25,AB,CD是。O的兩條弦,AB//CD,AB=30,CD=48,則AB和CD之間的距離為,

核心考點(diǎn)八垂徑定理與特殊角

07.如圖,AB為圓O的直徑,弦CD交AB于E,ZAEC=45°.

⑴若CE=1,DE=5,求AB;

(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動時(shí),ZAEC的度數(shù)不變,求意薩的值.

核心考點(diǎn)九垂徑定理的推論與共邊雙勾股

08.如圖,AB,AC是。O的兩條弦,M是通的中點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，弦MN分別交AB,AC于點(diǎn)P,D.

(1)求證:AP=AD;

⑵連接PO,若力P=3,OP=V10,?0的半徑為5,求MP的長.

專題三圓中角相關(guān)的證明與計(jì)算（新熱點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一圓周角與導(dǎo)角

01.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC,BD把它的4個(gè)內(nèi)角分成8個(gè)角，則下列關(guān)于角的等量關(guān)系不一定成

立的是（）

A.Z1=Z4B.Zl+Z2+Z3+Z5=180°

C.Z4=Z7D.ZADC=Z2+Z5

02.如圖,AB,CD是。O的兩條弦,延長AB,CD交于點(diǎn)P,連接AD,BC交于點(diǎn)E,zP=30°,ZABC=50°,求NA的

度數(shù).

核心考點(diǎn)二圓周角與圓心角的轉(zhuǎn)化

03.如圖,OO是4ABC的外接圓，ZB=60°,OO的半徑為4,則AC的長等于,

核心考點(diǎn)三圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)與解三角形

04.如圖以AB為直徑作半圓。0,C是半圓的中點(diǎn),P是BC上一點(diǎn)，AB=5VxPB=1,則PC的長是.

核心考點(diǎn)四多解問題

05.OO的直徑為2,AB,AC為。O的兩條弦,AB=^2,AC=遮，則^BAC=

專題四圓心角和弧的旋轉(zhuǎn)(新熱點(diǎn))

核心考點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)拼接圓心角與解三角形

01.如圖，點(diǎn)A.B.C,D在。O上,且^AOB+乙COD=120°,AB=2,CD=4,,則。O的半徑為.

02如圖,AB是。。的直徑點(diǎn)D,C在。。上,NDOC=90°,AC=2,BD=2vx則。O的半徑為

核心考點(diǎn)二弧的和差與直徑構(gòu)造

03.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為5的0O,且A4B=6,BC=7,CD=8,則AD的長是.

04.如圖,AB,CD是OO的兩條弦,^AOB+乙COD=180°

(1)在圖1中.乙4OB=120。,CD=6,,直接寫出圖中陰影部分的面積；

(2)在圖2中，E是AB的中點(diǎn)，判斷OE與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖1圖2

專題五弧的中點(diǎn)

核心考點(diǎn)一由弧的中點(diǎn)得角平分線

01.如圖，已知AB是半圓O的直徑,ZBAC=32°,D是弧AC的中點(diǎn)，則.的度數(shù)是()

A.25°B.29°

C.30°D.32°

核心考點(diǎn)二連弧的中點(diǎn)和圓心可得垂直

02.如圖，在半徑為5的。。中,AB是直徑,AC是弦,D是公的中點(diǎn)AC與BD交于點(diǎn)P,若P是BD的中點(diǎn),則AC的

長是

核心考點(diǎn)三由弧的中點(diǎn)得等腰三角形

03.如圖,點(diǎn)B在。O的直徑CD的延長線上,AC為弦,連接AB交圓于F,若/B=27。,AF=AC,ZB=27。N=AC

，則NA的度數(shù)為

核心考點(diǎn)四弧的中點(diǎn)綜合題

04.如圖,AB是。O的直徑,C,P是通上兩點(diǎn)AB=13,AC=5.

(1)如圖1,若點(diǎn)P是AB的的中點(diǎn),求PA的長；

⑵如圖2,若點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)求PA的長.

圖1圖2

專題六垂直弦問題（新熱點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一利用垂直弦得圓周角互余

01如圖，OO的兩條弦ABXCD,若NAOD=130。,則乙BOC=

核心考點(diǎn)二雙弦心距與勾股

02如圖,在。O中,AB,AC為互相垂直且相等的兩條弦,（OD1AB,OE1",垂足分別為D,E,若AB=4,則。O的半

徑是____.

03.如圖，半徑為2的圓內(nèi)有兩條互相垂直的弦AB和CD,它們的交點(diǎn)E到圓心O的距離等于1,則AB2+CD2

等于（）

A.28B.26

C.18D.35

核心考點(diǎn)三婆羅摩笈多基本圖

04.如圖,半徑為2石的。O內(nèi)有互相垂直的兩條弦AB,CD相交于P點(diǎn).

⑴設(shè)BC的中點(diǎn)為F,連接FP并延長交AD于E,求證:EF1AD;

⑵若AB=8,CD=6,求OP的長.

專題九弦的夾角處理策略（新熱點(diǎn)）

方法：當(dāng)弦的夾角為直角時(shí)，可直接構(gòu)造平行轉(zhuǎn)化，利用直徑所對的圓周角為直角；弦的夾角為其他特殊角

如45。或60。等時(shí)，同樣可以構(gòu)造平行弦轉(zhuǎn)化，然后解三角形.

01.如圖,在。O中,弦AC與弦BD相交于點(diǎn)E,且NAEB=60。,若4B=4,CD=6,CD=6,則。O的半徑為

02.如圖，在△ABC中,BC=3&/A=45。，經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的0O交邊AB,AC于點(diǎn)E,F,若EF=1,EF=1,則。O的

半徑為

03如圖,四邊形BCDE內(nèi)接于。O,其中BC=4,DE=但分別延長BE,CD交于點(diǎn)A,若NA=30。,則。O的半徑為一

04.如圖，已知/P=45。,角的一邊與00相切于A點(diǎn)另一邊交。O于B,C兩點(diǎn)的半徑為=2vx則AB

的長度為一.

A

.0

B

專題十圓的計(jì)算和證明⑴一圓心四邊形(新熱點(diǎn))

方法：一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，其他三個(gè)點(diǎn)在圓上的四邊形，可構(gòu)造圓心角對應(yīng)的圓周角01.(2023七一)如圖，四邊

形ABCD內(nèi)接于OO,若乙4=110。,則NBOD的度數(shù)為'

02.如圖，點(diǎn)A,C,B都在。O上,H.AC\\OB,BC\\OA.

(1)求證:四邊形ACBO為菱形;

⑵求NACB的度數(shù).

03.如圖,B,C,D是半圓上的點(diǎn),且AB=CD=V2,BC=DE=3,則陰影部分面積為」

04.如圖.已知RtAABC中，乙4cB=90°,BC>AC.QO為△4BC的外接圓，以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑作弧交C

A的延長線于點(diǎn)D,交。O于點(diǎn)E,連接BE,DE.

(1)求WEB的度數(shù)；

⑵若直線DE交。O于點(diǎn)F,判斷點(diǎn)F在半圓AB上的位置，并證明你的結(jié)論.

E

D

專題十一圓的計(jì)算和證明(2)——和圓有關(guān)的位置關(guān)系

核心考點(diǎn)一點(diǎn)共圓

01.如圖，四邊形ABCD中,AB=AC=AD,E是CB的中點(diǎn),AE=EC,ABAC=3乙DBC,BD=6魚+6萌,貝!JAB=.

核心考點(diǎn)二過三點(diǎn)的圓，外心的確定

02.如圖,直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A,B,C,其中，B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4),則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為

03.小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示.為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商

店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是()

A.第①塊B.第②塊

C.第③塊D.第④塊

核心考點(diǎn)三切線的證明(1)—知半徑，證垂直

04.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)。在對角線AC上，以O(shè)A的長為半徑的圓。與AD,AC分別交于點(diǎn)E,F,且/AC

B=ZDCE.求證:CE與。O相切.

核心考點(diǎn)四切線的證明⑵——作垂線，證半徑

05.如圖,RtAABC中，ZACB=90°,E是BC上一點(diǎn),過點(diǎn)E作EF1BC交AB于F,以E為圓心,CE長為半徑作。E,

已知EF=AF.求證:AB是。E的切線.

CA

核心考點(diǎn)五弦切角定理

06.如圖,直線MAB為。O的切線,A為切點(diǎn),NP4M所夾的弧對的圓周角為乙4CP,,求證：ZMAP=ZACP.

核心考點(diǎn)六切線長定理

07.如圖,PA,PB,DE都是OO的切線,D,E分別在PA,PB上

(1)若AAPB=50。,求NDOE大小；

(2)若PA=6,求APDE的周長.

08.如圖,PM,PN分別與相切于A,B兩點(diǎn)C為。O上一點(diǎn),連接AC,BC.若NP=60。，NMAC=75。,AC

V33+1則。O的半徑是.

核心考點(diǎn)七三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

09.如圖，AB為。。的直徑,點(diǎn)M為半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)(不與A,B重合)，點(diǎn)I為△ABP的內(nèi)心,

IN1BP于N,下列結(jié)論:①NAPM=45。;②ABV22IM③NBIM=/BAP;circle4出”=—.其中正確的個(gè)數(shù)是

PM2A

()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

B

專題十二圓的計(jì)算和證明(3)——圓和全等

01.如圖,已知AB是。O的直徑,CD平分NACB.求證:AC+BC^CD.

D

02.如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=90°.若四邊形ABCD的面積是S,AC的長是x,則S與x之間

函數(shù)關(guān)系式是()A

4s=/B,S=

C.S=缶2D.s=|/\//D

c

03.如圖,OO的直徑AB長為10,弦AC長為6,ZACB的平分線交0O于D,則CD長為

04.如圖,在。O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=3,AD=5/BAD=60°?點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn),則AC的長是___,

D

C

05.如圖,正方形ABCD內(nèi)接于OO,E是BC的中點(diǎn),連接AE,DE,CE.

⑴求證:AE=DE;

(2)求證:AE+CE=42DE.

06.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AB=AD/BCD=120°,,E,F分別為BC,CD上一點(diǎn)，ZEAF=30°,EF=3,DF=1.

貝！1BE的長為()

A.1B.2

C.3D.4

07.如圖,等腰△ABC內(nèi)接于。O,AB=AC,點(diǎn)D為劣弧BC上一點(diǎn),乙ADC=60°.

(1)求證:△ABC為等邊三角形；

(2)若CD=2BD=4,求四邊形ABDC的面積.

08.如圖,AB為OO的直徑,CD為弦,AM1CD于M,BN1CD于N.

(1)求證:CM=DN;

(2)若.48=10,CD=8,求BN-AM的值.

專題十三圓的計(jì)算和證明(4)—三角形的外心和內(nèi)心

核心考點(diǎn)一外心

01.如圖,已知。是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),(OA^OB=OC/ABC=^ADC=75。,貝！j44。+NDCOCO的大小是

核心考點(diǎn)二內(nèi)心

02.已知△4BC的面積為18c-,,其周長為24cm,則.AABC內(nèi)切圓半徑為—cm.

03.如圖,△ABC中，ZC=90°,。1為,AABC的內(nèi)切圓,點(diǎn)O為△A8C的外心,BC=6,AC=8.(1)求。I的半

徑⑵求OI的長.

核心考點(diǎn)三內(nèi)心和外心

04.如圖，。。為△ABC的外接圓,BC為直徑,AD平分NB4C交。O于D,點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心.

⑴求證:BC=V2DM;⑵若DM=5a,AB=8,求OM的長.

D

專題十四圓的計(jì)算和證明(5)—圓的折疊

方法總結(jié)：折疊圓即等圓，折疊出等弧，等弧對弦，簡稱“折疊出等腰”

01.如圖，將而沿弦AB翻折過圓心。點(diǎn)，交弦AC于D,AD=1,CD=2”則AB的長為_。.

02.如圖，在半圓O中，將弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點(diǎn)D,若AD=4,DB=8,,則BC的長是______

03如圖,AB是。O的直徑,BC是。O的弦,先將BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D.再將劭沿AB翻折交BC于點(diǎn)E.若

BE=DE,設(shè)/ABC=a,則a所在的范圍是()

421.9°<a<22.3°B.22.3°<a<22.7°

C.22.7°<a<23.1°D.23.1°<a<23.5°

04.如圖,在。O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧ACB±.,將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D.若。O的半徑為后AB=4,

則BC的長是.

專題十五圓的計(jì)算和證明(6)—垂徑定理

01.如圖,OO中,直徑CD_L弦AB于M,AE1BD于E,交CD于N,連AC.

(1)求證:AC=AN;

(2)若OM:OC=3:5,AB=5,求。O的半徑.

02.如圖,AB是。O的直徑,弦BC,DE的延長線交于點(diǎn)F,AB1DE于H,連接BE,CE.

(1)求證:ZBEC=ZF;

⑵連OE,若OE〃BC,CE=13,DE=24,求。O的半徑.

03.如圖,OO的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E,取而上一點(diǎn)H,AB與弦CH相交于點(diǎn)F.

⑴作AM1C”于點(diǎn)M,求證：^HAM=Z.BCE-,

⑵若H為助的中點(diǎn),且HD=3,求HF的長.

圖1圖2

專題十六圓的計(jì)算和證明(7)一折弦定理(新熱點(diǎn))

01.如圖,已知點(diǎn)A,B,C,D順次在＜30上，屈=皿,14c于M,求證:AM=DC+CM.

02.如圖，點(diǎn)A,B,C為。O上三點(diǎn),AC=尻1，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn),CEXAM于E,CE14MAE=5,ME=3,則BM

的長為

03.如圖,AB是半圓O的直徑,C是通的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦BD的垂線，垂足為E.

(1)求證:CE=DE;

⑵若AD=DE=1,求AB的長.

04.如圖,已知△力BC的三個(gè)頂點(diǎn)都在。O上，力B=AC,P是北上一點(diǎn)，BF14c于E.

(1)若乙BCF=3NF,求NA的度數(shù)；

(2)求證:BE=EF+CF.

專題十七圓的計(jì)算和證明(8)—角平分線與垂徑定理

01.如圖,AB為。O直任C為AB上一點(diǎn),DC14B于C交。O于D,D為弧AE中點(diǎn)AE交DC于點(diǎn)F.

(1)求證:AE=2DC;

⑵若AC=2,AE=8,求。O半徑R和CF長.

02.如圖,AB為。O的直徑,C是。O上的一點(diǎn),連接AC,BC.D是BC的中點(diǎn),過D作DE14B于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.

(1)求證:BC=2DE;

⑵若AC=6,AB=10,求DF的長.

03.如圖1,AB是。O的直徑,AC是弦,點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，PE1AC交AC的延長線于E.

(1)求證:PE是0O的切線；

(2)如圖2,作.PH148于H,交BC于N,若.NH=3,B2=4,求PE的長.

專題十八圓的計(jì)算和證明(9)—角平分線、內(nèi)心和雞爪定理

核心考點(diǎn)一內(nèi)心和雞爪定理

01.如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D,連接BE.

(1)若/CBD=35。,求NBEC的度數(shù);

⑵求證:DE=DB.

02.如圖,OO的直徑AB為10cm,弦BC為6cm,D為半圓弧AB的中點(diǎn),連CD,ZABC的平分線交CD于點(diǎn)I.

(1)求證:AC+BCV2CD;

⑵直接寫出CI的長.

核心考點(diǎn)二內(nèi)心與弦心距

03.小雅同學(xué)在學(xué)習(xí)圓的基本性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論：如圖1,在。。中，OMLAB于點(diǎn)M,ON，CD于點(diǎn)N,若O

M=ON,貝!jAB=CD.

(1)請幫小雅同學(xué)證明這個(gè)結(jié)論；

⑵如圖2,運(yùn)用以上結(jié)論解決問題:在RtAABC中，NABC=90。,O為小ABC的內(nèi)心，以O(shè)為圓心,OB為半徑的

。。與△ABC三邊分別相交于點(diǎn)D,E,F,G,若AD=8,CF=1,求^ABC的周長.

專題十九圓的計(jì)算和證明(10)—弧的中點(diǎn)與等腰三角形

01.如圖,四邊形ABCD為OO的內(nèi)接四邊形,AC為0O的直徑，乙4CD與4BCD互余.

(1)求證：CD=BD;

⑵若CD=4A/5,BC=8,求AD的長.

02.如圖,在。O中,弦BCXOA于點(diǎn)D,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn),AF交。O于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作。O的切線交BC的延長線于

點(diǎn)H.

(1)求證:EH=FH;

⑵若點(diǎn)C為.屈的中點(diǎn)，AD=2,OD=1?求EH的長度.

03.如圖.在等腰△ABC中，AB=XC.AD是中線,E是邊AC的中點(diǎn),過B,D,E三點(diǎn)的。O交AC于另一點(diǎn)F,連接

BF.

(1)求證:BF=BC;

(2)若BC=4,4。=4百，求。O的直徑.

BDC

專題二十圓的計(jì)算和證明(11)—弧的中點(diǎn)與平行四邊形

01.如圖,平行四邊形ABCD的邊AD與經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的。O相切.

⑴求證:點(diǎn)A平分.SC;

(2)延長DC交0O于點(diǎn)E,連接BE,若BE=4V13,OO半徑為13,求BC的長.

02.如圖,以仆AOB的頂點(diǎn)O為圓心,OB為半徑作。O,交OA于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)D,連接DE,DE〃OB,延長AO交

。。于點(diǎn)C,連接CB.

(1)求證:BC=BD;

⑵若AD=4V3,AE=CE,求OC的長.

03.如圖，在半徑為5的。O中,AB為0O的直徑,OD_L弦AC交。O于D,垂足是H,BD交AC于E,過點(diǎn)E作,EF

1EB交＜30于F,且.EF=EB,連接OF,AF,BF.

(1)求證:乙OFE=4ODE;

⑵若EH=1,求AF的長.A

H

D

E,

BC

專題二十一圓的計(jì)算和證明(12)—弧的中點(diǎn)或角平分線與矩形構(gòu)造

01.如圖,AB為。O的直徑,E為。O上一點(diǎn),C為弧BE的中點(diǎn),過點(diǎn)C作AE的垂線，交AE的延長線于點(diǎn)D.

(1)求證:CD是。O的切線；

⑵連接EC,若AB=10,AC=8,求4ACE的面積.

02.如圖,AB為。O的直徑,C為。O上的一點(diǎn),AD1CD于點(diǎn)D,AC平分.ND4B.

(1)求證:CD是。O的切線；

(2)設(shè)AD交。。于E,竽=|,4CD的面積為6,求BC的長.

03.如圖，點(diǎn)D在。O的直徑AB的延長線上,CD切。O于點(diǎn)C,AE1CD于點(diǎn)E.

(1)求證:AC平分.ND4E;

(2)若4B=6,BD=2,求CE的長.

專題二十二圓的計(jì)算和證明(13)——等腰三角形

核心考點(diǎn)一圓心在腰上

01.如圖,在^ABC中,AB=AC,以AB為直徑的0O與邊BC,AC分別交于D,E,DF是OO的切線,交AC于點(diǎn)F.

⑴求證:DFXAC;

⑵若AE=4,DF=3,求。O的半徑.

核心考點(diǎn)二圓心在底上

02.如圖,AABC內(nèi)接于。O,NB=60。,CD是。O的直徑，點(diǎn)P是CD延長線上的一點(diǎn)且PA是。O的切線.

(1)求證:AP=AC;

(2)若AB=3+V15,BC=6,求。O的半徑.

核心考點(diǎn)三圓心在“三線”上

03.如圖,△ABC是。O的內(nèi)接三角形，AB=AC,,點(diǎn)P是AB的的中點(diǎn),連接PA,PB,PC.

(1)如圖1,若乙BPC=60。,求AACP;

(2)如圖2,若BC=48,48=40?求AP的長.

圖1圖2

專題二十三圓的計(jì)算和證明（14）——雙切線問題（新熱點(diǎn)）

01.如圖,△ABC為等腰三角形,O為底邊BC的中點(diǎn),腰AB與。O相切于點(diǎn)D.

⑴求證:AC是。O的切線；

⑵若BC=12,ZBAC=120°,求圖中陰影部分面積.

02.如圖,在RtAABC中,NB4C=90°,,BD是角平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的。D與AC相交于點(diǎn)E.

（1）求證:BC是。D的切線；

⑵若4B=5,BC=13,求CE的長.

03.如圖,在。O中,直徑CD,弦AB于點(diǎn)E,點(diǎn)P是CD延長線上一點(diǎn),連接PB,BD.

⑴若BD平分乙IBP,求證:PB是。O的切線；

⑵連接AP.延長BD交AP于點(diǎn)F,若BDQAP,AB=VXOP=求OE的長度.

4

圖1圖2

專題二十四正多邊形

01.如圖，要擰開一個(gè)邊長為a=12mm的六角形螺帽，扳手張開的開口b至少要mm.

02.如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀.圖中所示的是前3個(gè)五邊形，要完成這一圓環(huán)還需一個(gè)五邊形.

03分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形就是萊洛三角形.如圖，已知等邊4

ABC,AB=2,則該萊洛三角形的面積為（）

A.2兀B.-TC-V3

3

C.2TT—3A/3D.2TT—2V3

04.（如圖,正六邊形ABCDEF中,P是邊ED的中點(diǎn),連接AP,則矢=

05如圖，正三角形的邊長為12cm,剪去三個(gè)角后成為一個(gè)正六邊形，則這個(gè)正六邊形的內(nèi)部任意一點(diǎn)到各邊的距

離和為cm.

BHKC

專題二十五求弧長或陰影部分面積

01.如圖,A,B,C三點(diǎn)在半徑為1的0O上.四邊形ABCO是菱形,求ACC的長

02.如圖，邊長為2的正方形ABCD中心與半徑為2的。。的圓心重合，E,F分別是AD,BA的延長線與。O的交

點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是一.（結(jié)果保留兀）

03.如圖,在4ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,將4ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。后得到△ADE,點(diǎn)B經(jīng)過的路徑

為弧BD,則圖中陰影部分的面積為（）

.254

A.—7TB.-71

123

「3

L.-7TD.-71

412

04如圖,正方形ABCD的邊長為8,分別以正方形的三邊為直徑在正方形內(nèi)部作半圓,則陰影部分的面積之和是

()

A.32B.2兀

C.10兀+2D.8兀+1

05.如圖,OO半徑為5cm,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,則圖中陰影部分面積為,

專題二十六圓錐的側(cè)面展開圖

01.一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐的側(cè)面展開圖的扇形圓心角度數(shù)為（）

A.90°B.180°C.45°D.135°

02.一個(gè)圓錐的底面半徑為10cm,母線長為20cm,則該圓錐的側(cè)面積是—（cm^.

03.如圖，從一塊直徑是1m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90。的扇形圍成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的底面半徑是一

04.如圖，已知圓錐側(cè)面展開圖的扇形面積為（65?！???2,扇形的弧長為lOitcm，則圓錐母線長是____cm.

專題二十七圓和無刻度直尺作圖(1)—不含網(wǎng)格

核心考點(diǎn)一利用垂徑定理作弧的中點(diǎn)、角平分線或弦的中點(diǎn)

01.如圖，已知A,B,C均在。O上，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)請用無刻度的直尺作圖.

⑴畫出前的中點(diǎn)M;(2)畫出/B的平分線.

02.如圖,AABC內(nèi)接于OO,D是BC的中點(diǎn),請用無刻度的直尺作圖，作△ABC的中線AE.

核心考點(diǎn)二利用垂徑定理作三角形的內(nèi)心

03.如圖,已知A,B,C均在。O上,M,N分別是BC,AC邊中點(diǎn)請用無刻度直尺作圖，作出△ABC的內(nèi)心.

核心考點(diǎn)三利用直徑作一個(gè)角的余角

04.如圖，已知A,B,C均在。。上,NA=34。,請用無刻度直尺作圖，作一個(gè)56。的角.

05.如圖，已知A.B.C均在。。上，.乙4=42。,，點(diǎn)D在弦BC±,請用無刻度的直尺作圖，作一個(gè)含48。角的直角

三角形.

核心考點(diǎn)四利用直徑所對圓周角是直角，作一個(gè)三角形的垂心

06.如圖，BC是。O的直徑，A是0O內(nèi)一點(diǎn)，請用無刻度的直尺作圖，作△ABC的高AD.

核心考點(diǎn)五利用圓心角和半徑構(gòu)成的等腰三角形的底角相等作平行弦

07.如圖,OO是四邊形ABCD的外接圓.且AB=BC=CD,請用無刻度的直尺作圖，作一條異于BC的直線，使其與A

D平行.

核心考點(diǎn)六利用圓心是直徑的中點(diǎn)，構(gòu)造全等得等弦

08.請用無刻度直尺按要求畫圖（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）.如圖，BC為。O的弦，畫一條與BC長

度相等的弦.

核心考點(diǎn)七利用正多邊形的中心作邊的垂直平分線

09.如圖，正六邊形ABCDEF,請用無刻度的直尺作圖，在圖中作一條直線，使其垂直平分AF.

核心考點(diǎn)八利用軸對稱作直徑和圓心

10.請用無刻度直尺完成下列作圖（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）.

（1）如圖1,AB,AC是所在圓的兩條等弦，其中點(diǎn)分別為M,N,畫出該圓的直徑AD；

⑵如圖2,AB為所在圓的直徑,弦（CD"AB,作出該圓的圓心O.

圖1圖2

專題二十八圓和無刻度直尺作圖(2)—網(wǎng)格作圖(新熱點(diǎn))

核心考點(diǎn)一根據(jù)圓周角為直角時(shí)所對的弦為直徑作直徑

01.如圖，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過了兩個(gè)小正方形的頂點(diǎn)A,B,請用無刻度的直尺作圖，作這個(gè)圓的一條

直徑

核心考點(diǎn)二利用垂徑定理作弧的中點(diǎn)

02.如圖，A,B,C三個(gè)格點(diǎn)都在圓上，請用無刻度的直尺作圖，畫出該圓的圓心O,并畫出劣弧而的中點(diǎn)D.

核心考點(diǎn)三利用平行弦所夾的弧相等，垂徑定理作等弧

03如圖，A,B,C三點(diǎn)是格點(diǎn)，請用無刻度的直尺作圖，畫經(jīng)過這三點(diǎn)的圓的圓心O,并在該圓上畫點(diǎn)D.使

AD=BC.

核心'考點(diǎn)四利用圓周角為直角或發(fā)現(xiàn)三垂直作直徑，利用8字全等找圓心，利用垂徑定理作角平分線

04.如圖,OP經(jīng)過A,B,C三個(gè)格點(diǎn).請用無刻度的直尺作圖,畫圓心P,并畫弦BD,使BD平分乙4BC.

核心考點(diǎn)五利用格點(diǎn)的對稱性構(gòu)造對稱的圓周角得等弦和等弧

05.如圖,OP經(jīng)過A,B,E三個(gè)格點(diǎn),F是。P與網(wǎng)格線的交點(diǎn),請用無刻度的直尺作圖,畫圓心P,并畫弦FG,使FG=F

A.

核心考點(diǎn)六利用三垂直作切線，整體平移法作平行線

06.如圖,A,B,C三個(gè)格點(diǎn)都在圓上,請用無刻度的直尺作圖，畫出格點(diǎn)E,使EA為。O的一條切線，并畫出過點(diǎn)E的

另一條切線EF,切點(diǎn)為F.

核心考點(diǎn)七利用垂直平分線得等弦，利用垂徑定理得角平分線或者等弧

07.如圖，。0經(jīng)過A,B,C三個(gè)格點(diǎn)，請用無刻度的直尺作圖，在圓上找一點(diǎn)F,使AF平分NCAB.

核心考點(diǎn)八平行弦的對角頂點(diǎn)相連所得的交點(diǎn)，在平行弦的垂直平分線上

08.如圖,A,E,F三點(diǎn)是格點(diǎn)，。:I經(jīng)過點(diǎn)A.請用無刻度的直尺作圖,先過點(diǎn)F畫AE的平行線交。I于M,N兩點(diǎn)，

再畫弦MN的中點(diǎn)G.

專題二十九圓和無刻度直尺作圖(3)—綜合訓(xùn)練

核心考點(diǎn)一利用垂徑定理及其推論，作弧的中點(diǎn)

01.如圖，在5x5的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上用無刻度的直尺作圖.

(1)在圖中AC上畫出點(diǎn)P,使BP平分/ABC;

⑵在圖中AB上畫出點(diǎn)F(點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合)，使通=左,

核心考點(diǎn)二構(gòu)造直徑與整體旋轉(zhuǎn)

02.如圖是由小正方形組成的6x6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，經(jīng)過A,B,C三個(gè)格點(diǎn).僅用無刻度

的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

⑴在圖1中畫BC的中點(diǎn)D;

⑵在圖1中的。O上畫一點(diǎn)E,連接BE,使NABE=45。;

⑶如圖2,延長BA至格點(diǎn)F處,連接CF.

①直接寫出NF的度數(shù)；

②P為CF上一點(diǎn),連接BP,將PB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到QB,畫出線段QB.

核心考點(diǎn)三利用平行弦

03.如圖是由小正方形構(gòu)成的7x7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).。。經(jīng)過A,B,C三個(gè)格點(diǎn)，連接AB,A

C,BC.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖(畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示).

(1)在圖1中，過B點(diǎn)畫OO的一條對稱軸，并畫出圓心O點(diǎn)；

⑵在圖2中.在