上海進才實驗中學(xué)高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《空間向量與立體幾何》測試題(包含答案解析)

一、選擇題.如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1棱長為3,點H在^AAAi上，且HAi1,在側(cè)面BCC〔Bi內(nèi)作邊長為1的正方形EFGC1,P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動點，且點P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長，則當(dāng)點P運動時，|HP|2的最小值是（）A.21 B.22 C.23 D.13.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,E是棱AB的中點，F(xiàn)是側(cè)面AA1D1D內(nèi)一點,若EF//平面BB1D1D,則EF長度的范圍為（）a.[百出] b.[72,西 c.[72,76] d.[72,77].若a,b,c是空間的一個基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間一個基底的是（ ）A.a,2b,3c B,ab,bc,caC.abc,bc,c D.a2b,2b3c,3a9c.在邊長為2的菱形ABCD中，BD2J3,將菱形ABCD沿對角線AC對折，使二面角BACD的余弦值為1,則所得三棱錐ABCD的內(nèi)切球的表面積為（ ）34A.一34A.一3B.C.—D..已知A,B,C三點不共線，對于平面ABC外的任一點O,下列條件中能確定點 M與點A,B,C一定共面的是（)A.OMOAOBOCB.OM2OAOBOC1 i——i——，1，i——i——i——C.OMOAOBOCD.OMOAOBOC2 323 66.在正方體ABCD--AiBiCiDi中，E是CiC的中點，則直線BE與平面BiBD所成角的正弦值為（）A邈 B如TOC\o"1-5"\h\z5 5C.跡 D.叵5 57,已知正方體ABCDABiCiDi,M為ABi的中點，則異面直線AM與B〔C所成角的余弦值為（）A典 b亞 c,巫 D.逅\o"CurrentDocument"5 10 2 28.在四面體O-ABC中,Gi是4ABC的重心，G是OGi上的一點，且OG=3GG,若OG=xOA+yOB+zOC，則僅/尾）為（ ）A.4'4'4B.4'4'4C.ii

3,3D.2223,3,3.若底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為i5,則這個棱柱的側(cè)面積是（）.A.i30 B.i40 C.i50A.4'4'4B.4'4'4C.ii

3,3D.2223,3,3.若底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為i5,則這個棱柱的側(cè)面積是（）.A.i30 B.i40 C.i505,它的對角線的長分別是D.i60.如圖所示，五面體ABCDE中，正ABC的邊長為i,AE，平面ABC,CD//AE,且—iCD—AE.設(shè)CE與平面ABE所成的角為，AEk（k2。）,若［6,，則當(dāng)k取最大值時，平面BDE與平面ABC所成角的正切值為（ ）12.312.311.圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，。為底面的中心， M為SO的中點,動點P動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）若AMMP,則點P形成的軌跡的長度為（）B.7B.7B.5dT412.記動點P是棱長為1的正方體ABCD-ARCiDi12.記動點P是棱長為1的正方體ABCD-ARCiDi的對角線BDi上一點，記D1PD1B.當(dāng)APC為鈍角時，則的取值范圍為（）A.(0,1)1B.(-,1)3c.嗎）D.(1,3)、填空題13.在三棱錐另與、填空題13.在三棱錐另與AB,BC,S—ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA=SB=SC=15,平面DEFH分

SC,SA交于點D,E,F,H.且D,E分別是AB,BC的中點，如果直線SB//平面DEFH,那么四邊形DEFH的面積為E為其中心，則AB15.若非零向量滿足「,則與所成角的大小為E為其中心，則AB15.若非零向量滿足「,則與所成角的大小為1—3---BC-DEAD的化簡結(jié)果為16.EF如圖，正方體ABCDA1BGD1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F，且16.EF—,現(xiàn)有如下四個結(jié)論：2①ACBE;②EF//平面ABCD;③三棱錐ABEF的體積為定值；④異面直線AE,BF所成的角為定值.其中正確結(jié)論的序號是其中正確結(jié)論的序號是.如圖所示，三棱錐OABC中，OAa，OBb，OCc，點M在棱OA上，且OM2MA,N為BC中點，則MN.已知向量a=(2,1,1),b(,1,1),若a與b的夾角為鈍角，則 的取值范圍是19.如圖，空間四邊形C19.如圖，空間四邊形C中,CC，點在上，且2, - 2一 ，e,0—，點為C中點，則 等于.（用向量口.九匚表?。?B.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為2,若ACi與底面ABCD所成角為60°,則AG和底面ABCD的距離是三、解答題.在①（DECF）（DECF）,②|bE?乎，③08s（ef,db）1這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線中，并完成問題 ^問題：如圖，在正方體ABCDAB1C1D1中，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系Dxyz.已知點D1的坐標為0,0,2,E為棱D1C1上的動點，F(xiàn)為棱B1C1上的動點，，試問是否存在點E,F滿足EFAC?若存在，求aeBF的值；若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分 ^.在三^菱臺ABCDEF中，ABBC2DE,DABEBA60：：,平面ABED平面ABC,BCBE.

(1)求證：平面ABED平面BCFE;(2)求直線DF與平面ABF所成角的正弦值..如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD,E是PD上的點.(1)當(dāng)E是PD的中點時，求證：PB//平面AEC；1(2)設(shè)PAAB1,PC用，若直線PC與平面AEC所成角的正弦值為-，求PE3的長..如圖，四棱錐PABCD的底面為直角梯形，且ABAD,BC〃AD,BCAB2AD1,PAPD柄，平面PAD平面ABCD,點M為棱PD上動點.

(2)是否存在點M使二面角MAC置；若不存在，請說明理由..如圖，在三棱錐pABE中，AB平面PCD=l,求證：l〃平面ACM;D的余弦值為平面PCD=l,求證：l〃平面ACM;D的余弦值為叵,若存在，請確定M的位11AE,PA平面ABE,D是AE的中點，C是1AP-AE2.2(1)求證：CD〃平面PAB;(2)求直線PE與平面PCD所成角的正弦26.如圖，在正方體ABCDAB1GD1中，E為CR的中點,F為B1C1的中點.(1)求證：EF//平面ABCD；(2)求直線BiD與平面BDEF所成的角的正弦值.【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1.D解析：D【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)P在BCCiBi內(nèi)可設(shè)出P點坐標，作HMBBi,連接pm，可得HP2HM2MP2，作PNCCl,根據(jù)空間中兩點間距離公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得HP2的范圍.【詳解】根據(jù)題意，以D為原點建立空間直角坐標系如圖所示：作HMBBi交BBi于M,連接pM,則HMPM作PNCCi交CCi于N,則PN即為點P到平面CDDiCi距離.設(shè)Px,3,z，則F1,3,2,M3,3,2,N0,3,z0x3,0z3二點P到平面CDDiCi距離等于線段PF的長???PNPF2 2 2由兩點間距離公式可得xJx1z2，化簡得2x1z2，則2x10解不jr 1等式可得x—2r1綜上可得1x32則在RtHMP中2222 2 2 2 2 2HP2HM2MP23x3z2 3x32x1x2 131x32所以HP213（當(dāng)時x2取等）故選:D【點睛】本題考查了空間直角坐標系的綜合應(yīng)用，利用空間兩點間距離公式及二次函數(shù)求最值，屬于難題.C解析：C【分析】過F作FG//DDi,交AD于點G,交AD〔于H,根據(jù)線面垂直關(guān)系和勾股定理可知EF2AE2AF2；由EF,FG//平面BDD〔B可證得面面平行關(guān)系，利用面面平行性質(zhì)可證得G為AD中點，從而得到AF最小值為F,G重合，最大值為F,H重合，計算可得結(jié)果.【詳解】過F作FG//DDi,交AD于點G,交AD1于H,則FG底面ABCDEF2EG2FG2AE2AG2FG2AE2AF21AF2；EF//平面BDD1B1,FG//平面BDD1B1,EFFGF平面EFG//平面BDD1B,又GE「平面EFG GE//平面BDD1B1又平面ABCDh平面BDD1B1BD,GE「平面ABCDGE//BD.「E為AB中點G為AD中點，則H為AD1中點即F在線段GH上AFminAG1,AFmaxAH V5EFm.TT7亞，EFmax打"V6則線段EF長度的取值范圍為： 72,76本題正確選項：C【點睛】本題考查立體幾何中線段長度取值范圍的求解，關(guān)鍵是能夠確定動點的具體位置，從而找到臨界狀態(tài)；本題涉及到立體幾何中線面平行的性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)等定理的應(yīng)用.D解析：D【分析】根據(jù)空間向量的共面定理，一組不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底，對選項中的向量進行判斷即可.【詳解】對于A:a,2b,3c,B:ab,bc,ca,C:abc,bc,c,每組都是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個基底，對于D：a2b,2b3c,3二9c滿足：3a-9c3a2b-2b3c,是共面向量，不能構(gòu)成空間的一個基底，故選D【點睛】本題主要考查了向量的相關(guān)知識，考查了空間向量共面的判斷與應(yīng)用問題，熟練掌握向量基底的定義以及判斷條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.C解析：C【分析】作出圖形，利用菱形對角線相互垂直的性質(zhì)得出 DN,AC,BN^AC,可得出二面角B-AC-D的平面角為ZBND,再利用余弦定理求出BD,可知三棱錐B-ACD為正四面體，可得出內(nèi)切球的半徑R,再利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示，易知4ABC和4ACD都是等邊三角形，取AC的中點N,則DNXAC,BNXAC.所以，/BND是二面角B-AC-D的平面角，過點B作BO>±DN交DN于點O,可得BOX平面ACD.因為在4BDN中，BNDNJ3,所以，BD2=BN2+DN2一12BN?DN?cos/BND3323-4,3貝UBD=2.TOC\o"1-5"\h\z1 ，―…故三棱錐A-BCD為正四面體，則其內(nèi)切球半徑為正四面體局的 一，又正四面體的圖為棱4長的遮，故r6L2/.\o"CurrentDocument"3 12 6因此，三棱錐A-BCD的內(nèi)切球的表面積為4R24(Y6)2—.6 3故選C.【點睛】本題考查幾何體的內(nèi)切球問題，解決本題的關(guān)鍵在于計算幾何體的棱長確定幾何體的形狀，考查了二面角的定義與余弦定理，考查計算能力，屬于中等題.D解析：D【分析】根據(jù)點M與點A,B,C共面，可得xyz1,驗證選項，即可得到答案.【詳解】設(shè)OMxOAyOBzOC,若點M與點A,B,C共面，，則xyz1,只有選項D滿足，.故選D.【點睛】本題主要考查了向量的共面定理的應(yīng)用，其中熟記點 M與點A,B,C共面時，且而xOAyOBzOC,則xyz1是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.B解析：B【分析】以D為坐標原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BE與平面B1BD所成角的正弦值.【詳解】以D為坐標原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DDi為z軸，建立如圖空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為BD2,20,BB10,0,2,BE 2,0,1設(shè)平面BiBD的法向量為x,y,z,nBD，nBB,2x2y0，令設(shè)正方體的棱長為BD2,20,BB10,0,2,BE 2,0,1設(shè)平面BiBD的法向量為x,y,z,nBD，nBB,2x2y0，令y2z01,則n 1,1,0,nBEcosn,BE—q——1n||BE設(shè)直線BE與平面BiBD所成角為0,貝Usincosn,BE—10,故選B.2,則D0,0,0,B2,2,0,Bi2,2,2,E0,21【點睛】本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用，準確得到面的法向量是解題的關(guān)鍵，是中檔題.A解析：A【分析】建立空間直角坐標系，求出向量 AM與B1c的向量坐標，利用數(shù)量積求出異面直線 AM與B與B1C所成角的余弦值.【詳解】以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示:設(shè)正方體的棱長為1,則A(1,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),B(1,1,1),C(0,1,0)???M為ABi的中點1?-m(1,2,1)AM(0,2,i),AM等；BC(1,0,i),b!c,亞AM，異面直線AM與BQ所成角的余弦值為，異面直線AM與BQ所成角的余弦值為cosAM,B1CAMB1CAMIB1C1 _J0C10 5故選A./AEM(或其補/AEM(或其補本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角角)，是解題的關(guān)鍵.如果異面直線所成的角不容易找，則可以通過建立空間直角坐標系，利用空間向量來求解.A解析：A【分析】如圖所示，連接AG1交BC于點E,則E為BC中點，利用空間向量的運算法則求得TOC\o"1-5"\h\z_1 3_1 1 1 1 1 11 一OG 0Gl -OA -OB —OC ,即得(x,y,z).\o"CurrentDocument"4 4 4 4【詳解】如圖所示，連接AG1交BC于點E,則E為BC中點，一 1— — 1 ————AE .AB ACA, (OB-20A OC),\o"CurrentDocument"1————AG1—AE (OB-20AOC).\o"CurrentDocument"3因為OG=3GG=3(OG1OG),3所以O(shè)G=—OG1.4則TOC\o"1-5"\h\z3 3 3 1 2 1 1 11OG 30Gl 3(OA AG1 )=- OA -OB -OA -OC- -OA -OB -OC4 4 3 3 3 4 4 4-故答案為A【點睛】(1)本題主要考查空間向量的運算法則和基底法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)如果三個向量a,b,c不共面，那么對于空間任意一個向量p,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z使pxaybzc.我們把x,y,z叫做空間的一個基底，其中a,b,c叫基向量.D解析：D【解析】設(shè)直四棱柱ABCDAB1C1D1中，對角線AC9,BDi15,因為AiA平面ABCD,ACU,平面ABCD,所以AAAC,在RtAAC中，AA5,可得ACJAC2A1A2癡，同理可得BDJD1B2D1D2y/2001072,因為四邊形ABCD為菱形，可得AC,BD互相垂直平分，所以ABj（1AC）2（1BD）2J14508,即菱形ABCD的邊長為8,因此，這個棱柱的側(cè)面積為S（ABBCCDDA）AA1485160,故選D.點睛：本題考查了四棱錐的側(cè)面積的計算問題，解答中通過給出的直四棱柱滿足的條件，求得底面菱形的邊長，進而得出底面菱形的底面周長，即可代入側(cè)面積公式求得側(cè)面積，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及空間想象能力，其中正確認識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和線面位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵 .C解析：C【詳解】分析：建立空間直角坐標系，利用直線 CE與平面ABE所成的角，求解k的最大值，進而求解平面BDE和平面ABC的一個法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，進而求得正切值，得到結(jié)果.詳解：如圖所示，建立如圖所示的空間直角坐標系 Oxyz,

k則如此(。，”舊0，1*)，取AB的中點M,則M(130),則平面4‘4’k則如此(。，”舊0，1*)，取AB的中點M,則M(130),則平面4‘4’ABE的一個法向量為CM由題意sinCECMCECM_.32。1k2，又由 [—,—],所以一sin64 2__3_2k2所以k的最大值為亞當(dāng)k、,2時，設(shè)平面BDE的法向量為n(x,y,z),則nDEnBE、、2

y_Tz..3 1—x-y

2 2,3,i,、.2)：,由平面ABC的法向量為m(0,0,1),設(shè)平面BDE和平面ABC所成的角為則cos：色,所以sin ，6,所以tan J2,故選C.|n"m3 3點睛：本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，求解直線的方向向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式求解，試題有一定的難度，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生的推理與運算能力，以及轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用C解析：C【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設(shè)出動點的坐標，利用向量的坐標公式求出向量坐標，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動點 P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦，利用勾股定理求出弦長.

【詳解】,M(0,0,建立空間直角坐標系.設(shè)A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,J,M(0,0,叵),P(x,y,0).2于是有AM(0,1,弓),MP(x,V,專).由于AMXMP,所以(0,1,停)？(x,V,爭=0,即yI，此為p點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為 2,6故選C.【點睛】【點睛】本題考查通過建立坐標系，將求軌跡問題轉(zhuǎn)化為求軌跡方程、考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長的求法.屬中檔題B解析：B【分析】建立空間直角坐標系，利用/APC不是平角，可得/APC為鈍角等價于cos/APCk0,即P過F&C。，從而可求入的取值范圍.由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則有A（1,0,0）,B（1,1,0）,C（0,1,0）,Di（0,0,1）?^1=（1,1,-1）,??瓦廣（入，人-入），p2=5沅+力虱=（-力-入，入）+（1,0,-1）=（1-九、儲）正=pjj：+D]d=（-入，-入，入）+（0，1，-1）=（-%1一A紀1）顯然/APC不是平角，所以/APC為鈍角等價于cos/APC<0PAPC0，（1-a（-a+（-X）（1-x）+（左1）（“1）=（M）（3%1）v0,得I〈入v1□因此，入的取值范圍是（2，1）,故選B.點評：本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題.二、填空題.【解析】【分析】利用平面可以得到從而為中點同理可得為中點再根據(jù)三棱錐為正三棱錐得到故四邊形為矩形從而可計算其面積【詳解】因為故在底面上的射影為底面三角形的外心又為等邊三角形故在底面上的射影為底面三角解析：竺2【解析】【分析】利用SB||平面DEFH可以得到DH"SB,從而H為SA中點，同理可得F為SC中點，再根據(jù)三棱錐SABC為正三棱錐得到ACSB,故四邊形HDEF為矩形，從而可計算其面積.【詳解】因為SASBSC,故S在底面上的射影為底面三角形的外心，又ABC為等邊三角形，故S在底面上的射影為底面三角形的中心，所以三棱錐SABC為正三棱錐，所以SBAC.因SBII平面DEFH,SB平面ABS,平面ABSCl平面DEFHDH,故SBllDH,TOC\o"1-5"\h\z1 ,, 1因ADDB,故AHHS,DHIIBS,DH-BS,同理EFMBS,EF—BS,\o"CurrentDocument"2 2故DHllEF,DHEF,所以四邊形DEFH為平行四邊形，又由D,E為中點可得DE"AC,故DHDE,故四邊形DEFH為矩形.「r_ 15 45又DE3,DH一，故矩形DEFH的面積為一.2 2【點睛】（1）正三棱錐中，對棱是相互垂直的，且頂點在底面的投影是底面正三角形的中心.（2）通過線面平行可以得到線線平行，注意利用線面平行這個條件時，要合理構(gòu)建過已知直線的平面（該平面與已知平面有交線）..【分析】由題意結(jié)合重心的性質(zhì)和平面向量的三角形法則整理計算即可求得最終結(jié)果【詳解】如圖取BC的中點F連結(jié)DF則「.【點睛】本題主要考查空間向量的運算法則及其應(yīng)用意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力解析：0【分析】由題意結(jié)合重心的性質(zhì)和平面向量的三角形法則整理計算即可求得最終結(jié)果 ^【詳解】2一如圖，取BC的中點F,連結(jié)DF,則DF—DE,3TOC\o"1-5"\h\z—1-- 3——- —————————————— ，AB-BC -DE AD ABBFDFDA AFFD DA 0.2 2【點睛】本題主要考查空間向量的運算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力 .15.90?！痉治觥繉υ摲匠虄蛇叿謩e平方即可得到即可【詳解】則a與B所成角的大小為90。故答案為90?！军c睛】本題考查了向量模去絕對值問題可以通過對向量模平方去掉絕對值即可解析：90°【分析】對該方程兩邊分別平方，即可得到」-0,即可.【詳解】2c—12 2c.一—22 2則一一0，a與3所成角的大小為90°故答案為900【點睛】本題考查了向量模去絕對值問題，可以通過對向量模平方，去掉絕對值，即可.16.①②③【分析】根據(jù)平面可判斷①；根據(jù)可判斷②；利用體積公式判斷③；設(shè)用向量法求出的夾角的范圍判斷④【詳解】連接由可知平面而平面故①正確；由且平面平面可得平面故②正確；三棱錐的體積為定值故③正確；建立解析：①②③

【分析】根據(jù)AC平面BBiDiD可判斷①；根據(jù)BiD"/BD可判斷②；利用體積公式判斷③；設(shè)DiEia,用向量法求出AE,BF的夾角的范圍判斷④.【詳解】不【詳解】不上廣】連接BD,由ACBD,ACDDi,可知AC平面BBiDiD,而BE平面BBiDiD,ACBE,故①正確；由EF//BD,且EF平面ABCD,BD平面ABCD,可得EF//平面ABCD,故②正確；VABEFVABEF1s3S,BEFii'21、2—— I I2，32 2 2三棱錐ABEF的體積為定值，故③正確;建立坐標系如圖所示；設(shè)Di設(shè)DiEi a0a2則Ai,0,0,Bi,i,0,E—a,—a,iTOC\o"1-5"\h\z2 2l ,2 i2 i,F —a —,—a —,i ,\o"CurrentDocument"2 22 2AE三i,旦,i

2 2BF<2 i .2 i—AE三i,旦,i

2 2BF<2 i .2 i—a 一, — a - ,i\o"CurrentDocument"2 2 2 2設(shè)異面直線AE,BF所成的角為則干怎ja22a2a2 2a20時,cos0時,cos取得最大值④錯誤;的最小值為30：，即異面直線AE,BF所成的角不為定值，故故答案為：①②③④錯誤;【點睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、三棱錐的體積公式以及空間向量TOC\o"1-5"\h\z法求異面直線所成的角，綜合性比較強，屬于中檔題 ^17.【解析】一一2.1—1.解析： —abc\o"CurrentDocument"3 2 2【解析】MNMAABBN——— 1--\o"CurrentDocument"OA(OBOA)BC3 2——1——-OA OB (OCOB)\o"CurrentDocument"3 22 1 1-OA -OB -OC2 2\o"CurrentDocument"-1 1.a—b—c2 2.【解析】即解析： 1且 2【解析】，一 _ ^^_2 1 一\o"CurrentDocument"ab 0且a與b不共線，即2 110,一彳 1且 2.【分析】試題分析：因為空間四邊形OABC如圖點M在線段OA上月OM=2MAN為BC的中點所以所以考點：向量加減混合運算及其幾何意義【詳解】解析：2a-b-c3 2 2【分析】試題分析：因為空間四邊形【分析】試題分析：因為空間四邊形OABC如圖Cc， 1_1—所以O(shè)Ncb2 2一,一一一 2_1■1_所以MNONMO -a-b-c3 2 2考點：向量加減混合運算及其幾何意義【詳解】20.【解析】分析：確定A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高即可求得結(jié)論詳解：二.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1.?平面ABCD//平面A1B1C1D1.A1CT?平面A1B解析：26.【解析】分析：確定A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高，即可求得結(jié)論.詳解：二.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,「?平面ABCD//平面A1B1C1D1,?.A1G?平面A1B1C1D1,.A1C1//平面ABCD.A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.?.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為2,AC1與底面ABCD成60°角，?A1A=2V2tan60=2^/6故答案為2J6.點睛：本題考查線面距離，確定A1。到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高是解題的關(guān)鍵.如果直線和已知的平面是平行的，可以將直線和平面的距離，轉(zhuǎn)化為直線上一點到平面的距離.三、解答題21.答案見解析【分析】先利用已知條件寫出點坐標，設(shè) E(0,a,2)(0a2),F(b,2,2)(0b2),進而得到EF,AC,AE,BF的坐標，利用空間向量數(shù)量積的坐標表示求出 efa1c,aebf；若選①：利用空間向量數(shù)量積的坐標表示公式、空間向量垂直的性質(zhì)即可求解；若選②：利用空間向量模的坐標表示公式即可得出結(jié)果；若選 ③：利用空間向量夾角的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】解：由題意，正方體ABCDAB1C1D1棱長為2,則A(2,0,0),B(2,2,0),Ai(2,0,2),D(0,0,0),C(0,2,0),設(shè)E(0,a,2)(0a2),F(b,2,2)(0b2),則EF(b,2a,0),AC(2,2,2),AE(2,a,2),BF(b2,0,2),所以EFAC42(ab),AEBF82b.選擇①：(DECF)(DECF),2 "2所以(DECF)(DECF)0,DECF，得ab,若EFAC0得42(ab)0,則ab1,故存在點E(0,1,2),F(1,2,2),滿足EFAC0，AEBF82b6.17選擇②：因為|DE|—,2所以14—,2/曰1得a-，2若EFAC0,即42(ab)0,得b3.2

TOC\o"1-5"\h\z 1 3\o"CurrentDocument"故存在點 E 0,-,2 ,F -,2,22 2滿足EFAC0,AEBF82b5.選擇③：因為0cosEF,DB1,所以ef與dB不共線，所以b2a,即ab2,則EFAC42(ab)0,故不存在點E,F滿足EFAC0.【點睛】關(guān)鍵點睛：建立空間坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標表示、空間向量垂直的性質(zhì)、空間向量模的坐標表示公式以及空間向量夾角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵 ^22.(1)證明見解析；(22.(1)證明見解析；(2)4214(1)過E作EHAB于H,由面面垂直得EH平面ABC,從而有EHBC,再結(jié)合已知BCBE,可得線面垂直后得線線垂直；(2)將三棱臺ABCDEF補體成三棱錐PABC,以B為原點建立空間直角坐標系(如圖)，設(shè)AB2,得出各點坐標，求出平面ABF的法向量，由空間向量法求得線面角的正弦值.【詳解】解：(1)過E作EHAB于H,因為面ABED面ABC,面ABED面ABCBC,所以EH平面ABC,而BC平面ABC,所以EHBC,又BCBE,BEAeHE,BE,EH平面ABED,所以BC，面ABED，又BC平面BCFE所以平面ABED平面BCFE;(2)將三棱臺ABCDEF補體成三棱錐PABC,則D,E,F分別是PA,PB,PC的中點，zXPAB是正三角形，設(shè)AB2,以B為原點建立空間直角坐標系 (如圖),

八 1J3 33P0，lJ3，A0,2,0，C2,0,0，F(xiàn)1,2，1-，D0，2，^-DF1,1,0,BA0,2,0,BF1DF1,1,0,BA0,2,0,BF1一31,,22設(shè)平面ABF的法向量為n—x,y,z,—y0nAB0由一，有1 J3 ，令z2得n J3,0,2nFB0x-yz0TOC\o"1-5"\h\z2 2nDF, 「42sin -=——\o"CurrentDocument"|n||DF| 14【點睛】方法點睛：本題考查證明面面垂直，求直線與平面所成的角.求線面角的常用方法(1)定義法，作出直線在平面內(nèi)的射影(主要過直線上一點作平面的垂線)，由直線與射影的夾角得出直線與平面所成的角(注意證明)，然后解三角形得結(jié)論；(2)空間向量法，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，由直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對值得線面角的正弦值.…… 2(1)證明見解析；(2)PE——.2【分析】(1)連接BD,使AC交BD于點。，連接EO,由OE//PB即可證明；(2)建立空間坐標系，利用向量法求解 .【詳解】(1)連接BD,使AC交BD于點O,連接EO,

所以O(shè)E//PB又OE平面AEC,PB平面AEC,所以PB//平面AEC(2)因為PA平面ABCD,AC平面ABCD,所以PAAC,由PA1,PC喜，得ACV2，因為底面ABCD為菱形且AB1,所以ab2BC2AC2,所以ABBC,所以底面ABCD為正方形，從而AB,AD,AP兩兩互相垂直,分別以AB,AD,AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖，則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),不妨設(shè)PE PD(0,1,1),所以AEAPPE(0,0,1)(0,, )(0,,1 ),AC(1,1,0),PC(1,1,1),設(shè)平面AEC的法向量為n(x,y,z)

nAE y1z0TOC\o"1-5"\h\z由一 」 ,nACxy0令x1,則yi,z——，所以n1,1,——1 1設(shè)直線PC與平面AEC所成角為 ，則sin|cospc,n|pcn則sin|cospc,n|pcn|PC||n|由sin【點睛】方法點睛:1 由sin【點睛】方法點睛:一,解方程得 -,故PE3 2向量法求線面角的方法就是求出平面的法向量，然后求直線與法向量的夾角,取絕對值可得線面角的正弦值.(1)證明見解析；(2)M為PD的靠近點P三等分點時，二面角MACD的余弦值為_22.11【分析】(1)延長AB,DC交于Q,連接PQ,PQ即為直線l,證明MC//PQ即可得線面平行；(2)取AD的中點O,連接OP,OC,分別以O(shè)C,OD,OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz.設(shè)dmDP，利用空間向量法求二面角的余弦，由已知余弦值可求得，即存在.【詳解】(1)延長AB,DC交于Q,連接PQ.則易知PQ為平面PAB與平面PCD的交線，即：PQ與1重合.1由題意，在^ADQ中：BC//AD，且BC-AD,2故C為DQ的中點.又「M為PD的中點，MC//PQ.又「MC平面ACM,PQ平面ACM,???PQ//平面ACM,即1//平面ACM.AD.(2)取ad的中點O,連接OP,OC,由題意可得：OPAD,AD.又「平面PAD平面ABCD,則OP平面ABCD,，分別以O(shè)C,OD,OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz.則A0,1,0,C1,0,0,D0,1,0,P0,0,3,0,1,3 0, ,30,1,3 0, ,30,2 ,3 ,DP0,1,3,AD0,2,0,AC1,1,0???M在^^PD上，不妨設(shè)DMDP其中0w<1.AMADDM0,2,0 0, ,3設(shè)平面MAC的一個法向量為mx,y,z,mam

mAc解得：y3,x3.即m3,3,2cosm,ncosm,n又?.?平面AC