2.4.2空間線面位置關(guān)系的判定（第1課時）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

空間線面位置關(guān)系的判定第1課時向量與垂直第2章空間向量與立體幾何湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊課標(biāo)要求1.了解三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容.2.掌握利用直線的方向向量與平面的法向量判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點向量與垂直1.v1,v2分別為直線l1,l2的方向向量,v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2),n1,n2為平面α1,α2的法向量,n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2).位置關(guān)系向量表示向量運算坐標(biāo)運算l1⊥l2v1⊥v2v1·v2=0

l1⊥α1

n1=kv1a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1,k為非零常數(shù)α1⊥α2n1⊥n2

a1a2+b1b2+c1c2=0x1x2+y1y2+z1z2=0v1∥n1n1·n2=02.三垂線定理及其逆定理:(1)三垂線定理:如果平面內(nèi)的一條直線與平面的

在這個平面內(nèi)的

垂直,則它和這條

也垂直.

本質(zhì)是平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的判定定理

(2)三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)的

和這個平面的

垂直,則它和這條斜線在平面內(nèi)的射影也垂直.

本質(zhì)是平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的性質(zhì)定理

一條斜線

射影

斜線

一條直線

一條斜線

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若直線l是平面α外的一條直線,直線m垂直于l在平面α內(nèi)的射影,則l與m垂直.(

)(2)若一個平面內(nèi)一條直線的方向向量與另一個平面的法向量共線,則這兩個平面互相垂直.(

)×√2.怎樣用語言敘述利用直線的方向向量與平面的法向量判斷垂直關(guān)系?提示

(1)若證線線垂直,則證直線的方向向量垂直;(2)若證線面垂直,則證直線的方向向量與平面的法向量平行;(3)若證面面垂直,則證兩平面的法向量垂直.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用三垂線定理及逆定理證明垂直關(guān)系【例1】

如圖,已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接BD1,AC,CB1,B1A,求證:BD1⊥平面AB1C.證明

如圖,連接BD,A1B,∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又DD1⊥平面ABCD,∴BD是斜線BD1在平面ABCD內(nèi)的射影,AC?平面ABCD,∴BD1⊥AC.∵BA1是BD1在平面ABB1A1內(nèi)的射影,AB1?平面ABB1A1,AB1⊥A1B,∴BD1⊥AB1.∵AB1∩AC=A,AB1,AC?平面AB1C,∴BD1⊥平面AB1C.規(guī)律方法

利用三垂線定理證明線線垂直的步驟(1)找平面(基準(zhǔn)面)及平面的垂線;(2)找射影線;(3)證明射影線與直線垂直,從而得線線垂直,更進一步證明線面垂直或面面垂直.變式訓(xùn)練1在三棱錐P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC.求證:PB⊥BC.證明∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,PA?平面PAC,∴PA⊥平面ABC.∴AB是直線PB在平面ABC內(nèi)的射影.又AB⊥BC,BC?平面ABC,∴PB⊥BC.探究點二向量在垂直問題中的應(yīng)用角度1.利用向量證明線面垂直【例2】

[北師大版教材習(xí)題]如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,棱長AB=AD=2,AA'=3,點E是平面BCC'B'上的動點,點F是CD的中點.試確定點E的位置,使D'E⊥平面AB'F.解

以A為原點,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,并取相同的單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0,0),F(1,2,0),B'(2,0,3),D'(0,2,3).因為點E在平面BCC'B'上,所以可設(shè)E(2,y,z).規(guī)律方法

用向量證明線面垂直的方法

基向量法在幾何圖中選取基向量,利用基向量表示平面外的直線和平面內(nèi)的不共線的兩條直線,證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩不共線向量垂直坐標(biāo)法建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面內(nèi)不共線的向量,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩不共線向量數(shù)量積為0法向量法建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)表示直線的方向向量,求出平面的法向量,證明直線的方向向量與平面的法向量共線變式訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求證:BD⊥平面PAC.證明

因為PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則

角度2.利用向量證明平面與平面垂直【例3】

在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中點.求證:平面BDE⊥平面ABCD.規(guī)律方法

用向量證明面面垂直的方法

判定定理法利用向量證明平面內(nèi)一條直線的方向向量與另一個平面內(nèi)的兩不共線向量垂直法向量法建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩平面的法向量,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算證明兩法向量的數(shù)量積為0變式訓(xùn)練3三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D為BC的中點.證明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.以BC⊥平面A1AD,又BC?平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.因為n1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n2,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)三垂線定理;(2)空間向量與垂直.2.方法歸納:利用邏輯推理及三垂線定理及逆定理證明垂直關(guān)系;向量轉(zhuǎn)化法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直.3.常見誤區(qū):三垂線定理中的條件是“平面內(nèi)的一條直線”,忽視這一條件,就會產(chǎn)生錯誤結(jié)果.利用向量法證明垂直關(guān)系,涉及的運算要準(zhǔn)確,尤其是平面法向量的計算要正確.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測A級必備知識基礎(chǔ)練12345678910111213141516171.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則(

)A.l∥α

B.l⊥αC.l?α

D.l與α斜交B解析

由已知可得n=-2a,則n∥a,因此l⊥α.故選B.12345678910111213141516172.已知平面α的法向量為a=(2,3,-1),平面β的法向量為b=(1,0,k),若α⊥β,則k等于(

)A.1 B.-1C.2 D.-2C解析

由題知a·b=2+0-k=0,解得k=2.故選C.12345678910111213141516173.過點A(2,-5,1)且與向量a=(-3,2,1)垂直的向量(

)A.有且只有一個B.有無數(shù)個且共面C.只有兩個且方向相反D.有無數(shù)個且共線B解析

設(shè)過點A(2,-5,1)且與向量a=(-3,2,1)垂直的平面為α,則平面α內(nèi)過點A(2,-5,1)的任何向量都與向量a=(-3,2,1)垂直,這樣的向量有無數(shù)個且共面.故選B.12345678910111213141516174.已知平面α的法向量為(4,3,-7),若直線l⊥平面α,則直線l的方向向量可以為(

)A.(8,6,4) B.(-8,-6,14)B解析

因為平面α的法向量為n=(4,3,-7),又因為直線l⊥平面α,所以直線l的方向向量與向量n=(4,3,-7)共線,結(jié)合四個選項可知(-8,-6,14)=-2(4,3,-7),只有B選項符合題意.故選B.12345678910111213141516175.已知三條直線l1,l2,l3的一個方向向量分別為a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c=(-3,12,-9),則(

)A.l1⊥l2,但l1與l3不垂直 B.l1⊥l3,但l1與l2不垂直C.l2⊥l3,但l2與l1不垂直 D.l1,l2,l3兩兩互相垂直A解析

∵a·b=(4,-1,0)·(1,4,5)=4-4+0=0,a·c=(4,-1,0)·(-3,12,-9)=-12-12+0=-24≠0,b·c=(1,4,5)·(-3,12,-9)=-3+48-45=0,∴a⊥b,a與c不垂直,b⊥c,∴l(xiāng)1⊥l2,l2⊥l3,但l1不垂直于l3.故選A.12345678910111213141516176.(多選題)給出下列命題,其中是真命題的是(

)A.若直線l的方向向量a=(1,-1,2),直線m的方向向量b=(2,1,),則l與m垂直B.若直線l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),則l⊥αC.若平面α,β的法向量分別為n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),則α⊥βD.若平面α經(jīng)過三點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=1AD1234567891011121314151617解析

由于a·b=1×2-1×1+2×()=0,因此a⊥b,所以直線l與m垂直,故A是真命題;由于a·n=0,則a⊥n,所以l∥α或l?α,故B是假命題;由于n1·n2=6,所以α⊥β不成立,故C是假命題;12345678910111213141516177.已知平面α的一個法向量n=(2,-2,5),平面α⊥β,寫出平面β的一個法向量:

.

(1,1,0)解析

設(shè)平面β的一個法向量為m=(x,y,z),因為平面α⊥β,所以n·m=0,即2x-2y+5z=0,取x=1,y=1時,z=0,故平面β的一個法向量為m=(1,1,0).12345678910111213141516178.[2023山東棗莊月考]如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分別是AB,PC的中點.求證:平面MND⊥平面PCD.1234567891011121314151617證明

∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP兩兩垂直.如圖所示,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),1234567891011121314151617取y=-1,得x=-2,z=1,∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一個法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一個法向量.∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練9.

如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,正方體棱長為2,點E是棱AB的中點,點F(0,y,z)是正方體的面AA1D1D上一點,且CF⊥B1E,則點F(0,y,z)滿足方程(

)A.y-z=0 B.2y-z-1=0C.2y-z-2=0 D.z-1=0D123456789101112131415161710.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,過點A且與直線BD1垂直的所有面對角線的條數(shù)為(

)A.0 B.1C.2 D.3C123456789101112131415161711.

如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,E是CD的中點,F是AD上一點,當(dāng)BF⊥PE時,AF∶FD的值為(

)A.1∶2 B.1∶1C.3∶1 D.2∶1B解析

如圖,以A為原點,AB,AD,AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形的邊長為1,PA=t,AF=λ,λ∈[0,1],則B(1,0,0),P(0,0,t),123456789101112131415161712.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分別是棱DD1,D1C1的中點,則直線OM(

)A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.與AC,MN都不垂直AC1234567891011121314151617解析

以D為原點,DA,DC,DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2a,則D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a),A1(2a,0,2a),123456789101112131415161713.

如圖,在四棱錐E-ABCD中,平面ADE⊥平面ABCD,O,M分別為AD,DE的中點,四邊形BCDO是邊長為1的正方形,AE=DE,AE⊥DE.點N在直線AD上,若平面BMN⊥平面ABE,則線段AN的長為

.

123456789101112131415161714.

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1上的動點.(1)求證:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,試確定E點的位置.1234567891011121314151617解

以D為坐標(biāo)原點,以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為a,則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).設(shè)E(0,a,e)(0≤e≤a).1234567891011121314151617∴當(dāng)E為CC1的中點時,平面A1BD⊥平面EBD.123456789101112131415161715.在三棱錐P-ABC中,底面ABC為正三角形,三條側(cè)棱兩兩垂直,G是△PAB的重心,E,F分別為BC,PB上的點,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求證:(1)平面EFG⊥平面PBC;(2)EG⊥BC,PG⊥EG.證明

(1)(方法一)如圖,以三棱錐的頂點P為原點,以PA,PB,PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=PB=PC=3,則A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是1234567891011121314151617由題意知PA⊥平面PBC,∴FG⊥平面