2.3一元二次不等式課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.3一元二次不等式湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊(cè)課標(biāo)要求1.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過(guò)程,理解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.2.能夠借助二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函數(shù)的圖象,理解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我們把只含有

未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

的不等式,稱為一元二次不等式.

(2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0); ②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0); ④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫作這個(gè)不等式的解,一元二次不等式的所有解組成的集合叫作這個(gè)一元二次不等式的解集.解集用集合、區(qū)間表示一個(gè)2名師點(diǎn)睛1.一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)a有a>0或a<0兩種,注意a≠0.當(dāng)a<0時(shí),我們通常將不等式兩邊同乘-1,化為二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式,但要注意不等號(hào)要改變方向,這樣我們只需要研究二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定為整式不等式,例如,x2+<0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定義時(shí),還需了解下列概念.(1)如果兩個(gè)不等式的解集相同,那么這兩個(gè)不等式稱為同解不等式;(2)將一個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與它解集相同的不等式稱為不等式的同解變形.過(guò)關(guān)自診1.已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④

>0.其中是一元二次不等式的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3

D.42.從未知數(shù)的個(gè)數(shù)以及未知數(shù)的最高次數(shù)看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特點(diǎn)?提示

它們只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.A知識(shí)點(diǎn)二一元二次不等式的解法二次函數(shù)與一元二次方程的解、不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=沒(méi)有實(shí)數(shù)根y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

ax2+bx+c>0(a>0)的解集

(-∞,+∞)ax2+bx+c<0(a>0)的解集

(-∞,x1)∪(x2,+∞)(x1,x2)??過(guò)關(guān)自診1.不等式x2-2x-3<0的解集為

.

(-1,3)解析

方程x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3.因?yàn)閷?duì)應(yīng)函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,所以原不等式的解集為(-1,3).2.求關(guān)于x的不等式x2+(1-a)x-a<0的解集,其中a是常數(shù).解

依題意知方程x2+(1-a)x-a=0的實(shí)數(shù)根為x1=-1,x2=a,且一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象是開(kāi)口向上的拋物線.(1)當(dāng)a<-1時(shí),如圖1,一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象與x軸從左至右有兩個(gè)交點(diǎn)(a,0)與(-1,0).所以原不等式的解集為(a,-1).(2)當(dāng)a=-1時(shí),如圖2,一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(-1,0).所以原不等式的解集為?.圖1圖2(3)當(dāng)a>-1時(shí),如圖3,一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象與x軸從左至右有兩個(gè)交點(diǎn)(-1,0)與(a,0).所以原不等式的解集為(-1,a).圖3綜上所述,當(dāng)a<-1時(shí),原不等式的解集為(a,-1);當(dāng)a=-1時(shí),原不等式的解集為?;當(dāng)a>-1時(shí),原不等式的解集為(-1,a).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一一元二次不等式的求解【例1】

解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)x2-2x+2>0.解

不等式可化為3x2-6x+2<0.因?yàn)?x2-6x+2=0的判別式Δ=36-4×3×2=12>0,解

因?yàn)閤2-2x+2=0的判別式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0無(wú)解.又因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x+2的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,所以原不等式的解集為R.規(guī)律方法

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過(guò)對(duì)不等式的變形,使不等式的右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.(2)判別式.對(duì)不等式的左側(cè)進(jìn)行因式分解,若不能分解,則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.(3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程無(wú)實(shí)根.(4)畫(huà)草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.(5)寫(xiě)解集.根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集.變式訓(xùn)練1解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;解

不等式可化為4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,所以不等式的解集是?.(2)(x-3)(x-7)<0;解

由題意知不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根是3和7,且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.

解

不等式-3x2+5x-4<0可化為3x2-5x+4>0,由于判別式Δ=25-48=-23<0,函數(shù)y=3x2-5x+4的圖象開(kāi)口向上,所以不等式的解集是R.探究點(diǎn)二已知不等式的解集求參數(shù)值【例2】

已知函數(shù)y=ax2+2bx-c(a>0)的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點(diǎn),求不等式cx2+2bx-a<0的解集.解

因?yàn)楹瘮?shù)y=ax2+2bx-c(a>0)的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點(diǎn),所以2和6是方程ax2+2bx-c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,規(guī)律方法

1.一元二次不等式的解集的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根,要充分利用這個(gè)關(guān)系解題.2.不等式解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)有直接的關(guān)系,對(duì)于關(guān)于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),當(dāng)a>0時(shí),其解集是{x|x<x1,或x>x2},當(dāng)a<0時(shí),其解集是{x|x1<x<x2}.變式訓(xùn)練2關(guān)于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集為(-∞,-3)∪(1,+∞),求關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集.解

由題意可得a<0,且1,-3是方程(ax-b)(x+3)=0的兩根,∴x=1為方程ax-b=0的根,∴a=b,則不等式ax+b>0可化為x+1<0,即x<-1,∴不等式ax+b>0的解集為(-∞,-1).探究點(diǎn)三一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】

行駛中的汽車(chē),在剎車(chē)時(shí)由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫作剎車(chē)距離.在某種路面上,某種型號(hào)汽車(chē)的剎車(chē)距離s(單位:m)與汽車(chē)的車(chē)速v(單位:km/h)滿足下列關(guān)系:s=

(n為常數(shù),且n∈N).做了兩次剎車(chē)實(shí)驗(yàn),有關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖所示,其中(1)求n的值;(2)要使剎車(chē)距離不超過(guò)12.6m,則行駛的最大速度是多少?解得-84≤v≤60.因?yàn)関≥0,所以0≤v≤60,即行駛的最大速度為60

km/h.變式探究本例中,條件不變,若該型號(hào)的汽車(chē)在某一限速為80km/h的路段發(fā)生了交通事故,交警進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)勘查,測(cè)得該車(chē)的剎車(chē)距離超過(guò)了25.65m,試問(wèn)該車(chē)是否超速行駛?解得v≥90或v≤-114.由于v≥0,所以速度v≥90>80,因此該車(chē)超速行駛.規(guī)律方法

用一元二次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的操作步驟(1)理解題意,搞清量與量之間的關(guān)系.(2)建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問(wèn)題.(3)解這個(gè)一元二次不等式,得到實(shí)際問(wèn)題的解.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234561.不等式2x2-7x+3>0的解集為(

)D1234562.關(guān)于x的不等式x2-ax+1>0的解集是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-2,2)D.[-2,2]C解析

由已知可得不等式x2-ax+1>0在R上恒成立,則只需Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-2,2).故選C.1234563.(多選題)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為,則下列結(jié)論正確的是(

)A.a<0 B.c<0

C.a-b+c>0 D.a+b+c>0AD123456又a<0,所以b>0,c>0,故B錯(cuò)誤;由題意可知a+b+c>0,a-b+c<0,故D正確,C錯(cuò)誤.故選AD.1234564.[2024甘肅隴南高二?？计谀若不等式ax2+bx-2<0的解集為(-4,1),則a+b等于

.

2解析

∵不等式ax2+bx-2<0的解集為(-4,1),∴a>0且-4和1是方程ax