2024年全國(guó)一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分S13圓錐曲線解答題13

2024年全國(guó)一卷新高考題型細(xì)分S13——圓錐曲線大題13試卷主要是2024年全國(guó)一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國(guó)高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！秷A錐曲線——大題》題目主要按長(zhǎng)短順序排版，具體有：短，中，長(zhǎng)，涉后導(dǎo)數(shù)等，大概206道題。每道題目后面標(biāo)注有類型和難度，方便老師備課選題。涉后導(dǎo)數(shù)（中）：（2024年魯J31威海二模）18．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：過點(diǎn)，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，．

(1)求C的方程；

(2)已知直線l與C相切．

（i）若l與直線的交點(diǎn)為M，證明：；（18．(1)(2)證明詳見解析；或【分析】（1）根據(jù)題意直接求參數(shù)即可；（2）（i）通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得直線l的方程，進(jìn)而找到交點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出OM的斜率，通過斜率之積為1證得垂直；（ii）設(shè)P的坐標(biāo)為，通過向量的夾角公式得到等量關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而用x，y表示m，分類討論代入，即可求得點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】（1）因?yàn)榍€C：過點(diǎn)，所以，由，可得18．(1)(2)證明詳見解析；或【分析】（1）根據(jù)題意直接求參數(shù)即可；（2）（i）通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得直線l的方程，進(jìn)而找到交點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出OM的斜率，通過斜率之積為1證得垂直；（ii）設(shè)P的坐標(biāo)為，通過向量的夾角公式得到等量關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而用x，y表示m，分類討論代入，即可求得點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】（1）因?yàn)榍€C：過點(diǎn)，所以，由，可得，因?yàn)?，所以，解得，所以曲線C的方程為.（2）（i）

設(shè)直線l與C相切的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，則直線l的方程為，即，所以，由題意可知，所以，可得，所以；（ii）設(shè)P的坐標(biāo)為，則，因?yàn)閘與直線OP所成角的大小為，且l的一個(gè)方向向量為，所以，可得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，可得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，同理，所以點(diǎn)P的軌跡方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，關(guān)鍵在于設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，通過題意中的夾角，用向量的夾角公式表示出動(dòng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的等量關(guān)系.（2024年鄂J18四月調(diào)）18．如圖，四邊形為坐標(biāo)原點(diǎn)是矩形，且，，點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的等分點(diǎn)，直線和直線的交點(diǎn)為

(1)試證明點(diǎn)在同一個(gè)橢圓C上，求出該橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，求面積的取值范圍.（18．(1)證明見解析；(2)【分析】設(shè)，求出和的方程，聯(lián)立可求證在同一個(gè)橢圓上，并求得橢圓方程為；求出直線AB的方程，分和兩種情況討論，求出面積的表達(dá)式，換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】（1）設(shè)，又，，則直線，直線，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解，可得，化簡(jiǎn)得，所以在同一個(gè)橢圓上，該橢圓方程為18．(1)證明見解析；(2)【分析】設(shè)，求出和的方程，聯(lián)立可求證在同一個(gè)橢圓上，并求得橢圓方程為；求出直線AB的方程，分和兩種情況討論，求出面積的表達(dá)式，換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】（1）設(shè)，又，，則直線，直線，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解，可得，化簡(jiǎn)得，所以在同一個(gè)橢圓上，該橢圓方程為（2）設(shè)，，，如圖所示：則，切線PA方程為：，切線PB方程為：，兩直線都經(jīng)過點(diǎn)P，所以得：，，從而直線AB的方程是：，當(dāng)時(shí)，由得，則，，當(dāng)時(shí)，由，消y得：，由韋達(dá)定理，得：，，，，點(diǎn)P到直線AB的距離，其中令，則令，則，在上單調(diào)遞增，綜上所述，面積的取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在第（2）中求出時(shí)，要用換元法及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的取值范圍.（2024年蘇J37蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào)）18．已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，.點(diǎn)P（0，2），M，N是拋物線上不同兩點(diǎn)，直線PM和直線PN的斜率分別為，.

(1)求C的方程；（18．(1)(2)（2，2）或（4，2）(3)5【分析】（1）設(shè)，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)式向量相等的條件求解即可（2）設(shè)，，聯(lián)立直線MN的方程和拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出，，代入得或，利用點(diǎn)斜式求出Q的坐標(biāo)；（3）根據(jù)（2）結(jié)論和條件得MN只能過（2，2）點(diǎn)，此時(shí)|MN|有最小值，利用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間的距離公式求出，然后構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值【詳解】（1），設(shè)，則，所以得：，解得或（舍），所以拋物線C的方程為①.（2）設(shè)直線MN18．(1)(2)（2，2）或（4，2）(3)5【分析】（1）設(shè)，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)式向量相等的條件求解即可（2）設(shè)，，聯(lián)立直線MN的方程和拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出，，代入得或，利用點(diǎn)斜式求出Q的坐標(biāo)；（3）根據(jù)（2）結(jié)論和條件得MN只能過（2，2）點(diǎn)，此時(shí)|MN|有最小值，利用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間的距離公式求出，然后構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值【詳解】（1），設(shè)，則，所以得：，解得或（舍），所以拋物線C的方程為①.（2）設(shè)直線MN：②，，，聯(lián)立①②，得.所以③，，④.，，則，.因?yàn)椋矗?，即：，則或，能滿足③式.則MN：，或MN：，所以定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2）或（4，2）；（3）如MN過（4，2）點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，但此時(shí)M，N重合，則|MN|無(wú)最小值，所以MN只能過（2，2）點(diǎn)，此時(shí)|MN|有最小值.由（2），在④中，令得：，，.令，則，.當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，|MN|有最小值..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合恒成立，得到直線MN過定點(diǎn).（2024年蘇J36七市三調(diào)）18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)交于兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)的中點(diǎn)為，且交于點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，．

(1)求的方程；（18．(1)(2)(3)3【分析】（1）設(shè)直線的方程為，再聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，最后根據(jù)焦點(diǎn)弦公式得到，則得到拋物線方程；（2）首先得到，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到兩條切線方程，再計(jì)算出的坐標(biāo)，求出值則得到相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出；（3）首先證明出，再計(jì)算出的表達(dá)式，從而得到其最小值.【詳解】（1）由題意，直線的斜率必存在.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，即.所以的方程為.（2）由(1)知，，則，代入直線得，則中點(diǎn).因?yàn)?，所以，則直線18．(1)(2)(3)3【分析】（1）設(shè)直線的方程為，再聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，最后根據(jù)焦點(diǎn)弦公式得到，則得到拋物線方程；（2）首先得到，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到兩條切線方程，再計(jì)算出的坐標(biāo)，求出值則得到相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出；（3）首先證明出，再計(jì)算出的表達(dá)式，從而得到其最小值.【詳解】（1）由題意，直線的斜率必存在.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，即.所以的方程為.（2）由(1)知，，則，代入直線得，則中點(diǎn).因?yàn)?，所以，則直線方程為，即，同理，直線方程為，所以，，所以.因?yàn)?，即，此時(shí)，所以直線的方程為，代入，得，所以，所以.（3）由（2）知，所以直線方程為，代入，得，所以，所以為的中點(diǎn).因?yàn)樵谔幍那芯€斜率，所以在處的切線平行于，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.由(1)中式得，所以，因?yàn)橹本€方程為，所以.又到直線的距離，所以，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)所以，所以四邊形的面積的最小值為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是找到，再結(jié)合焦點(diǎn)弦和點(diǎn)到直線距離公式得到的表達(dá)式，從而得到其最小值.（2024年魯J43日照二模）18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（18．(1)(2)【分析】(1)由已知條件得，再表示出通徑長(zhǎng)，解方程組即可求得；(2)設(shè)直線方程為,由直線與橢圓相切可得，用圓心到直線的距離表示的面積，得到一個(gè)關(guān)于的函數(shù)最大值問題，利用導(dǎo)數(shù)求出取最大值時(shí)的值，再求出此時(shí)的值即可，注意斜率不存在的情況討論與比較.【詳解】（1）由題橢圓的左焦點(diǎn)為，即①；當(dāng)時(shí)，，又過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，所以②，由①②得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為,與18．(1)(2)【分析】(1)由已知條件得，再表示出通徑長(zhǎng)，解方程組即可求得；(2)設(shè)直線方程為,由直線與橢圓相切可得，用圓心到直線的距離表示的面積，得到一個(gè)關(guān)于的函數(shù)最大值問題，利用導(dǎo)數(shù)求出取最大值時(shí)的值，再求出此時(shí)的值即可，注意斜率不存在的情況討論與比較.【詳解】（1）由題橢圓的左焦點(diǎn)為，即①；當(dāng)時(shí)，，又過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，所以②，由①②得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為,與聯(lián)立，消去并整理得：已知直線與橢圓相切，所以，化簡(jiǎn)得：；又O到直線的距離為，設(shè)P到直線的距離為，則，則的面積，令,得,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值也是最大值,當(dāng)斜率不存在時(shí)，可得，此時(shí)的面積，因?yàn)?，所以，綜上：的面積最大值為，此時(shí)故的面積最大時(shí)直線的斜率為.（2024年粵J139深圳外國(guó)語(yǔ)九模）18．在平面直角坐標(biāo)系中，過直線上任一點(diǎn)作該直線的垂線，，線段的中垂線與直線交于點(diǎn)．

(1)當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（18．(1)

(2)①相切，理由見解析；②【分析】（1）利用拋物線的幾何定義就可以寫出拋物線方程；（2）①與圓相切利用圓心到切線的距離相等來研究，所以設(shè)好相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，可通過解析法來得到直線的方程，然后再用點(diǎn)到直線的距離來判斷是否相切；

②利用內(nèi)切圓的半徑為1，可以把周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為面積最值問題，即，然后構(gòu)造函數(shù)利用求導(dǎo)思想來求最值.【詳解】（1）由垂直平分線的性質(zhì)可知：，所以點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，則軌跡C的方程為；（2）

①不妨設(shè)，可得直線PA的方程為，整理得，因?yàn)樵撝本€為圓的切線，所以即同理得，所以是方程的兩根，此時(shí)18．(1)

(2)①相切，理由見解析；②【分析】（1）利用拋物線的幾何定義就可以寫出拋物線方程；（2）①與圓相切利用圓心到切線的距離相等來研究，所以設(shè)好相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，可通過解析法來得到直線的方程，然后再用點(diǎn)到直線的距離來判斷是否相切；

②利用內(nèi)切圓的半徑為1，可以把周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為面積最值問題，即，然后構(gòu)造函數(shù)利用求導(dǎo)思想來求最值.【詳解】（1）由垂直平分線的性質(zhì)可知：，所以點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，則軌跡C的方程為；（2）

①不妨設(shè)，可得直線PA的方程為，整理得，因?yàn)樵撝本€為圓的切線，所以即同理得，所以是方程的兩根，此時(shí)，易知直線AB的方程為即，則點(diǎn)N到AB的距離，故直線AB與圓N相切；

②易知而點(diǎn)到直線AB的距離，所以，不妨設(shè)，記，可得易知，當(dāng)時(shí)，，可得單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，可得單調(diào)遞增，又，所以的面積最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)或，即或時(shí)，等號(hào)成立，又故周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1、直線與圓相切問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑；2、周長(zhǎng)最值問題轉(zhuǎn)化為面積最值問題，利用內(nèi)切圓半徑為1，且.（2024年鄂J19黃岡八模）18．已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于軸的直線與直線交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．

(1)求曲線的方程；（18．(1)(2)存在定點(diǎn)【分析】（1）由相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程即可；（2）先由特殊位置確定定點(diǎn)在軸上，設(shè)定點(diǎn)，由相切求出切點(diǎn)滿足的關(guān)系式，再由垂直的坐標(biāo)條件求解.【詳解】（1）設(shè)，則，由題意線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，知，過點(diǎn)且平行于軸的直線方程為：，直線的方程為：，令，得，即，由得，因?yàn)樵趻佄锞€上，即，則，化簡(jiǎn)得，由題意知不重合，故，所以曲線的方程為

（2）由（1）知曲線18．(1)(2)存在定點(diǎn)【分析】（1）由相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程即可；（2）先由特殊位置確定定點(diǎn)在軸上，設(shè)定點(diǎn)，由相切求出切點(diǎn)滿足的關(guān)系式，再由垂直的坐標(biāo)條件求解.【詳解】（1）設(shè)，則，由題意線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，知，過點(diǎn)且平行于軸的直線方程為：，直線的方程為：，令，得，即，由得，因?yàn)樵趻佄锞€上，即，則，化簡(jiǎn)得，由題意知不重合，故，所以曲線的方程為

（2）由（1）知曲線的方程為，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在特殊位置時(shí)，兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故要使得，則點(diǎn)在軸上．

故設(shè)，曲線的方程為，求導(dǎo)得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn)，使得恒成立．

涉后導(dǎo)數(shù)（長(zhǎng)）：（2024年浙J25溫州二適）19.如圖，對(duì)于曲線，存在圓滿足如下條件：

①圓與曲線有公共點(diǎn)，且圓心在曲線凹的一側(cè)；

②圓與曲線在點(diǎn)處有相同的切線；

③曲線的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（即曲線的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；

則稱圓為曲線在點(diǎn)處的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑．

（1）求拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程；

（2）求曲線的曲率半徑的最小值；（【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，求出導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)合所給定義求出即可；（2）設(shè)曲線在的曲率半徑為，根據(jù)所給定義表示出，再由基本不等式計(jì)算可得；（3）依題意函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，即，從而得到，令，，即可得到，再由基本不等式證明即可．【小問1詳解】記，設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．則，，故，，即【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，求出導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)合所給定義求出即可；（2）設(shè)曲線在的曲率半徑為，根據(jù)所給定義表示出，再由基本不等式計(jì)算可得；（3）依題意函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，即，從而得到，令，，即可得到，再由基本不等式證明即可．【小問1詳解】記，設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．則，，故，，即，所以拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)曲線在的曲率半徑為．則法一：，由知，，所以，故曲線在點(diǎn)處的曲率半徑，所以，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．法二：，，所以，而，所以，解方程可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．【小問3詳解】法一：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，故，由題意知：令，則有，所以，即，故．因?yàn)?，所以，所以，所以．法二：函?shù)的圖象在處的曲率半徑，有令，則有，則，故，因?yàn)?，所以，所以有，令，則，即，故，所以，即；法三：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑．故設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有，所以，要證，即證，即證將，下證：當(dāng)時(shí)，有，設(shè)函數(shù)（其中），則，故單調(diào)遞增，，故，所以．法四：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，有，設(shè)．則有，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故有，所以，要證，即證，即證．將，下證：當(dāng)時(shí)，有，設(shè)函數(shù)（其中），則，故單調(diào)遞增，故，故，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到極值點(diǎn)，分析兩根相等時(shí)兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.（2024年蘇J28揚(yáng)州二調(diào)，J25泰州二調(diào)，J22南通二調(diào)）19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的離心率為，直線l與Γ相切，與圓O：相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，.

（1）求Γ的方程；（【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再結(jié)合離心率求出即得.（2）（?。┰谥本€的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，借助判別式求出圓心到距離，列出的面積關(guān)系求解，再驗(yàn)證斜率不存在的情況；（ⅱ）利用新定義，結(jié)合對(duì)稱性推理即得.【小問1詳解】因?yàn)楫?dāng)垂直于軸時(shí)，，而直線與Γ相切，則，解得，又橢圓的離心率為，則橢圓的半焦距，，所以的方程為.【小問2詳解】（i）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為：，由消去得：，由直線與橢圓相切，得，整理得，【答案】（1）；（2）（?。唬áⅲ┳C明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再結(jié)合離心率求出即得.（2）（ⅰ）在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，借助判別式求出圓心到距離，列出的面積關(guān)系求解，再驗(yàn)證斜率不存在的情況；（ⅱ）利用新定義，結(jié)合對(duì)稱性推理即得.【小問1詳解】因?yàn)楫?dāng)垂直于軸時(shí)，，而直線與Γ相切，則，解得，又橢圓的離心率為，則橢圓的半焦距，，所以的方程為.【小問2詳解】（i）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為：，由消去得：，由直線與橢圓相切，得，整理得，于是圓心到直線的距離，則的面積為，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，由（1）知，，由，得，則.對(duì)于線段上任意點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)，則是圓上與最近點(diǎn)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以.（ii）因?yàn)榫嬖冢O(shè)點(diǎn)，且，設(shè)是集合中到的最近點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，令點(diǎn)到集合的最近點(diǎn)為，點(diǎn)到集合的最近點(diǎn)為，因?yàn)槭羌现兴悬c(diǎn)到集合最近點(diǎn)距離的最大值，則，因?yàn)槭羌现兴悬c(diǎn)到集合最近點(diǎn)距離的最大值，則，因此，而在坐標(biāo)平面中，，又點(diǎn)是集合中到點(diǎn)的最近點(diǎn)，則，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第（2）問涉及新定義問題，反復(fù)認(rèn)真讀題，理解最小距離的最大值的含義是解題的關(guān)鍵.

（2024年湘J49長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡三模，J45長(zhǎng)沙一中一模）19．已知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值為．

(1)求拋物線的方程；（19．(1)(2)(3)0【分析】（1）根據(jù)拋物線的幾何意義求出p，即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，則為的中點(diǎn)，利用平面向量的基本定理可證得是的重心，建立方程組，即可求解；（3）易知直線的斜率存在，設(shè)直線l,，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理，由可得，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值為，所以，解得，故拋物線方程為；（2）由（1）知，，則，，所以在點(diǎn)A的切線方程為，即，得，所以為的中點(diǎn)，得，設(shè)，則，所以，兩式相加得，即是的重心，設(shè)，則，消去，得，故點(diǎn)的軌跡方程為；（3）由（2）知，，易知直線的斜率存在，設(shè)，，，消去y，得，所以，又，則，解得或，所以，19．(1)(2)(3)0【分析】（1）根據(jù)拋物線的幾何意義求出p，即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，則為的中點(diǎn)，利用平面向量的基本定理可證得是的重心，建立方程組，即可求解；（3）易知直線的斜率存在，設(shè)直線l,，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理，由可得，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值為，所以，解得，故拋物線方程為；（2）由（1）知，，則，，所以在點(diǎn)A的切線方程為，即，得，所以為的中點(diǎn)，得，設(shè)，則，所以，兩式相加得，即是的重心，設(shè)，則，消去，得，故點(diǎn)的軌跡方程為；（3）由（2）知，，易知直線的斜率存在，設(shè)，，，消去y，得，所以，又，則，解得或，所以，又，，所以，即的值為0.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次