5.1.2弧度制課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第5章三角函數(shù)弧度制湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊(cè)課標(biāo)要求1.了解弧度制,體會(huì)引入弧度制的必要性.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化,熟悉特殊角的弧度數(shù).3.掌握弧度制中扇形的弧長(zhǎng)和面積公式,會(huì)應(yīng)用公式解決簡(jiǎn)單的問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一度量角的兩種單位制角度制定義用“

”作為單位來度量角的單位制

1度的角把周角分成360等份,每一份叫作1度的角弧度制定義以“

”為單位來度量角的單位制

1弧度的角長(zhǎng)度等于

的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角,1弧度記作1

度弧度半徑長(zhǎng)rad過關(guān)自診在大小不同的圓中,長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角相等嗎?提示

不相等.因?yàn)榛￠L(zhǎng)等于1,在大小不同的圓中,由于半徑不同,圓心角也不同.知識(shí)點(diǎn)二弧度數(shù)的計(jì)算與互化1.弧度數(shù)的計(jì)算(1)正角的弧度數(shù)是一個(gè)

.

(2)負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)

.

(3)零角的弧度數(shù)是

.

(4)如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|=

.

正數(shù)負(fù)數(shù)02.角度制與弧度制的換算

3.一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小無關(guān).(

)(2)160°化為弧度數(shù)是

π

rad.(

)√√2.下列換算結(jié)果錯(cuò)誤的是(

)C知識(shí)點(diǎn)三扇形的弧長(zhǎng)和面積公式設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為l,α為其圓心角且α=xrad,則

扇形x為弧度數(shù)扇形的弧長(zhǎng)l=|x|r扇形的面積過關(guān)自診設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為18cm,半徑為12cm,求這個(gè)扇形的面積.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一弧度制的概念【例1】

(多選題)下列說法中正確的是(

)A.弧度角與實(shí)數(shù)之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系C.根據(jù)弧度的定義,180°一定等于π弧度D.無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑的大小有關(guān)ABC解析

無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑的大小無關(guān),而是與弧長(zhǎng)和半徑的比值有關(guān),故D項(xiàng)錯(cuò)誤.規(guī)律方法

1.用角度制和弧度制度量零角,單位不同,但數(shù)量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,單位不同,數(shù)量也不同.2.以弧度為單位表示角的大小時(shí),“弧度”或“rad”通常省略不寫,但以度為單位表示角的大小時(shí),“度”或“°”不能省去.3.以弧度為單位度量角時(shí),常把弧度數(shù)寫成nπ(n∈R)的形式.若無特別要求,不必把π寫成小數(shù),如45°=rad,不必寫成45°≈0.785

rad.變式訓(xùn)練1下列說法正確的是(

)A.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑的弧B.1弧度是1°的圓心角所對(duì)的弧C.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角D.1弧度等于1°C解析

1弧度角的定義:長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角.由題意可知,只有C正確.探究點(diǎn)二角度與弧度的互化與應(yīng)用【例2】

(1)①將112°30'化為弧度為

.

-75°規(guī)律方法

角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵:抓住互化公式π

rad=180°是關(guān)鍵;(3)角度化弧度時(shí),應(yīng)先將分、秒化成度,再化成弧度.變式訓(xùn)練2(1)將-157°30'化成弧度為

.

-396°探究點(diǎn)三用弧度表示角或范圍【例3】

用弧度表示終邊落在圖中所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.規(guī)律方法

用弧度制表示角應(yīng)注意的問題:(1)用弧度表示區(qū)域角,實(shí)質(zhì)是角度表示區(qū)域角在弧度制下的應(yīng)用,必要時(shí),需進(jìn)行角度與弧度的換算.注意單位要統(tǒng)一,角度數(shù)與弧度數(shù)不能混用.(2)在表示角的集合時(shí),可以先寫出一周角范圍(如-π~π,0~2π)內(nèi)的角,再加上2kπ,k∈Z.(3)終邊在同一直線上的角的集合可以合并為{x|x=α+kπ,k∈Z};終邊在相互垂直的兩直線上的角的集合可以合并為

,在進(jìn)行區(qū)間的合并時(shí),一定要做到準(zhǔn)確無誤.變式訓(xùn)練3以弧度為單位,寫出終邊落在直線y=-x上的角的集合.探究點(diǎn)四弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用【例4】

(1)已知扇形的周長(zhǎng)為8cm,圓心角為2,求該扇形的面積;解

設(shè)扇形的半徑為r

cm,弧長(zhǎng)為l

cm,由圓心角為2

rad,依據(jù)弧長(zhǎng)公式可得l=2r,從而扇形的周長(zhǎng)為l+2r=4r=8,解得r=2,則l=4.(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積等于4cm2,求其圓心角的弧度數(shù).變式探究本例(1)中,將條件“圓心角為2”去掉,求扇形面積的最大值.規(guī)律方法

弧度制下有關(guān)弧長(zhǎng)、扇形面積問題的解題策略(1)扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式涉及四個(gè)量:面積S,弧長(zhǎng)l,圓心角α,半徑r,已知其中的三個(gè)量一定能求得第四個(gè)量(通過方程求得),已知其中的兩個(gè)量能求得剩余的兩個(gè)量(通過方程組求得).(2)在研究有關(guān)扇形的相關(guān)量的最值時(shí),往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.(3)注意扇形圓心角弧度數(shù)的取值范圍是(0,2π),實(shí)際問題中注意根據(jù)這一范圍進(jìn)行取舍.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練123456789101.已知扇形的半徑是2,面積為8,則此扇形的圓心角的弧度數(shù)是(

)A.4 B.2 C.8 D.1A解析

設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)α=x,則由面積公式可知S=r2x=8,結(jié)合r=2可知x=4.123456789102.若α=-3,則角α的終邊在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限C123456789103.(多選題)[2024甘肅白銀高一?？计谀下列結(jié)論正確的有(

)C.與-2024°角終邊相同的最小正角是136°D.若角α為銳角,則角2α為鈍角BC12345678910123456789104.已知角α=2010°.(1)將α改寫成θ+2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式,并指出α是第幾象限角;(2)在區(qū)間[-5π,0)上找出與α終邊相同的角;(3)在區(qū)間[0,5π)上找出與α終邊相同的角.123456789101234567891012345678910B級(jí)關(guān)鍵能力提升練C12345678910123456789106.已知一個(gè)扇形的半徑與弧長(zhǎng)相等,且扇形的面積為2cm2,則該扇形的周長(zhǎng)為(

)A.6cm B.3cm C.12cm D.8cmA解析

設(shè)扇形的半徑為R

cm,則弧長(zhǎng)l=R

cm,扇形的圓心角為1

rad.又因?yàn)樯刃蔚拿娣e為2

cm2,所以

R2=2,解得R=2

cm,故扇形的周長(zhǎng)為6

cm.故選A.12345678910C123456789108.(多選題)圓的一條弦的長(zhǎng)等于半徑,則這條弦所對(duì)的圓周角的弧度數(shù)為(

)AD解析

設(shè)該弦所對(duì)的圓周角為α,則其圓心角為2α或2π-2α,123456789109.已知扇形的周長(zhǎng)是12,面積是8,則扇形的中心角的弧度是

.

1或412345678910C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練10.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為:弧田面