猜題06 圖形的相似（拔尖必刷30題8種題型專項訓練）

第6章圖形的相似（拔尖必刷30題8種題型專項訓練）利用相似三角形性質(zhì)與判定求長度利用相似三角形性質(zhì)與判定求面積利用相似三角形性質(zhì)與判定求周長利用相似三角形性質(zhì)與判定求最值利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動點問題利用相似三角形性質(zhì)與判定解決新定義問題利用相似三角形性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題利用相似三角形性質(zhì)與判定解決規(guī)律探究問題一．利用相似三角形性質(zhì)與判定求長度（共4小題）1．如圖，在矩形ABCD中，E為邊AB上一點，將△ADE沿DE折疊，使點A的對應點F恰好落在邊BC上，連接AF交DE于點G．若BF?AD=12，則AF的長度為（

）

A．6 B．12 C．6 D．22．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是BC邊上一點，且BD=AB．E是AB延長線上一點，連接ED交AC于F，若∠ADE=∠B，則EF的長度為．3．已知，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=120°，對角線BD平分∠ABC，BC=4，BD=6，則AD的長度是．

4．在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作直線EF分別交DA、BC的延長線于點E、

(1)若EF=BD，判斷四邊形EBFD的形狀.并說明理由；(2)若EF⊥CD于H，CH:DH=2:3，直接寫出OH的長度．二．利用相似三角形性質(zhì)與判定求面積（共2小題）1．△ABC的邊上有D、E、F三點，各點位置如圖所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE=∠C，則根據(jù)圖中標示的長度，求四邊形ADEF與△ABC的面積比為何？（

）

A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:82．如圖，菱形ABCD中，點E是邊CD的中點，EF垂直AB交AB的延長線于點F，若BF:CE=1:2，△BGF的面積為3，則菱形ABCD的面積＝．

三．利用相似三角形性質(zhì)與判定求周長（共3小題）1．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是邊AC上一點，過點D作DE⊥AC交AB于點E．動點P從D點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，按D→E→B→C的路徑勻速運動，設P點的運動時間為t秒，△PCD的面積為S，S關于t的函數(shù)圖象如圖所示，則△ABC的周長為（

）

A．4 B．8 C．12 D．162．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，連接BD，分別以B，D為圓心，大于12BD的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F(xiàn)，作直線EFA．212 B．11 C．2310 D3．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等腰直角三角形△ABC的頂點A，B，C均落在格點上．

（1）△ABC的周長等于；（2）有以AB為直徑的半圓，圓心為O，請你在半圓內(nèi)找到一個點P，使得PA=AC，PB=PC．請用無刻度的直尺在如圖所示的網(wǎng)格中畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）．四．利用相似三角形性質(zhì)與判定求最值（共7小題）1．如圖，在平面直角坐標系中，點B6,0，A是y軸正半軸上的動點，以AB為一邊在AB的右側(cè)作面積為48的矩形ABCD，連接OC，則OC的最大值為

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=4，點D是邊AC上一動點，連接BD，以BD為斜邊作Rt△BDE，使∠BDE=30°，

3．人教版九年級上冊的教材第118頁有這樣一道習題：在一塊三角形余料ABC中，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如圖1），使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，

(1)求這個正方形零件的邊長；(2)如果把它加工成矩形零件如圖2，其余條件不變，矩形EGHF的面積S的最大值是多少？4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．運動時間為

(1)當t為何值時，∠AMN=∠ANM？(2)當t為何值時，△AMN的面積最大？并求出這個最大值．(3)當t為何值時，△ABC與△AMN相似?5．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，點D為斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN．(1)當點D為BC的中點時，線段MN與BC有何位置關系？并說明理由．(2)當點D在什么情況下時，線段MN的長最?。窟@個最小值是多少？6．(一)感知：如圖1，EF是△ABC的中位線，BC=a，G、H分別是BE、CF的中點，則GH=__________；(用字母a表示)GH與EF+BC間有怎樣的相等關系：____________________．(二)探索：如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，其中AB=a，CD=b，(1)E是AD的中點，EF∥CD交BC于點F，則EF=___________．(用字母a，b表示)(2)K在AD上，L在BC上，KL∥CD，且使四邊形ABLK∽四邊形KLCD，則KL=__________(用字母a，b表示)(3)M在AD上，N在BC上，MN∥CD，且MN平分四邊形ABCD的面積，求MN的長(用字母a，b表示)(三)猜想：KL、EF、MN間的大小關系：__________，(用a、b的表達式表示)并對EF與MN間的關系進行證明；(四)應用：如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點E、F分別在AC、BC上，EF平分△ABC的面積，求△CEF周長的最小值．

7．（1）如圖，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90o，點C在OA上，點D在線段BO延長線上，連接AD，BC，則（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α0（3）如圖3，若AB=8，點C是線段AB外一動點，AC=33，連接BC，若將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是_____五．利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動點問題（共2小題）1．已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=a，AC=b．E是AC上的動點，F(xiàn)為BC上的點，點E在運動的過程中保持BE⊥EF．試寫出△EFC面積S與AE的長度x

2．如圖1，在△ABC中，∠B=36°，動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運動至點C停止．若點P的運動速度為1cm/s，設點P的運動時問為ts，AP的長度為ycm，y與t的函數(shù)圖象如圖2所示；根據(jù)圖像信息請你計算∠BAC的度數(shù)是度，當AP恰好平分∠BAC時t的值為六．利用相似三角形性質(zhì)與判定解決新定義問題（共4小題）1．定義：如圖①，若點D在△ABC的邊AB上，且滿足∠ACD=∠B，則稱滿足這樣條件的點為△ABC的“理想點”

(1)如圖①，若點D是△ABC的邊AB的中點，AC=22，AB=4，試判斷點D是不是△ABC的“理想點”(2)如圖②，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點D是△ABC的“理想點”，求(3)如圖③，已知平面直角坐標系中，點A(0,2)，B(0,-3)，C為x軸正半軸上一點，且滿足∠ACB=45°，在y軸上是否存在一點D，使點A，B，C，D中的某一點是其余三點圍成的三角形的“理想點”．若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．2．定義：如圖1，對于線段AB的內(nèi)分點C和外分點D，如果滿足ACCB=ADDB，那么稱A、B、C、D是“調(diào)和點列”．如圖2，在△ABC中，點D在AB上，點E在AB的延長線上，聯(lián)結(jié)CE，射線CD、CB與射線

圖1

圖23．定義：三角形一邊中線的中點和該邊的兩個頂點組成的三角形稱為中原三角形．如圖①，AD是△ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，則△FBC是中原三角形．

(1)求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫出答案）．(2)如圖②，AD是△ABC的中線，E是邊AC上的點，AC=3AE，BE與AD相交于點F，連接CF．求證：△FBC是中原三角形．(3)如圖③，在（2）的條件下，延長CF交AB于點M，連接ME，求△FEM與△ABC的面積之比．4．定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．

理解：（1）如圖1，△ABC的三個頂點均在正方形網(wǎng)格中的格點上，若四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”四邊形，請用無刻度的直尺在網(wǎng)格中畫出點D（保留畫圖痕跡，找出2個即可）；（2）①如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，對角線BD平分∠ABC．請問BD是四邊形ABCD的“相似對角線”嗎？請說明理由；②若BD=4，求AB?BC的值．運用：（3）如圖3，已知FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，∠EFH=∠HFG=30°．連接EG，若△EFG的面積為123，求FH七．利用相似三角形性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題（共4小題）1．如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與AB延長線上的點Q重合．DE交BC于點F，交AB延長線于點E．DQ交BC于點P,DM⊥AB于點M,AM=4，則下列結(jié)論：①Q(mào)E=5，②BQ=3，③BP=158，④△EFQ∽△EDB．正確的是（

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④2．如圖，點O為正方形ABCD的中心，AD=1，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使BD=BF，連結(jié)DF交BE的延長線于點H，連結(jié)OH交DC于點G，連結(jié)HC則以下四個結(jié)論中：①OH∥BF；②OG:GH=2+1:1；③GH=2-12；④A．2 B．3 C．4 D．53．在正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中點，在BC延長線上取點F使EF=ED，過點F作FG⊥ED交ED于點M，交AB于點G，交CD于點N，以下結(jié)論中：①CNCF=12；②NM=NC；③CMEGA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④4．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在CB的延長線上，連接AE，AF⊥AE交CD于點F，連接EF，點H是EF的中點，連接AH并延長交BC于點M，連接DH交AF于點G，則下列結(jié)論中：①BE=DF；②∠DHF=∠EAB；③AM=2AG；④若MB=3，DF=2，則S△AHG=8．正確的是八．利用相似三角形性質(zhì)與判定解決規(guī)律探究問題（共4小題）1．如圖，△ABC是面積為1的等邊三角形，取BC邊中點E，作ED∥AB，EF∥AC，ED，EF．分別交AC，AB于點D，F(xiàn)，得到四邊形EDAF，它的面積記作S1；取BE中點E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，E1D1，E1

A．12n-1 B．122n+1 C．2．如圖，∠AOB=60°，點A1在射線OA上，且OA1=1，過A1點作A1B1⊥OA交射線OB于B1，在射線OA上截取A1A2，使A1A2=A1

A．(3+1)2022 B．3(3+1)3．在平面坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為(1,0)，點D的坐標為0,2，延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A24．觀察如下四個圖形，并根據(jù)圖中規(guī)律