高三數(shù)學(xué)模擬試題(含答案)

PAGEPAGE1高三數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.1．記復(fù)數(shù)z＝a+bi（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為z=a-bi(a，b2．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，則?U（A∪B）＝．3．某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為80的樣本，則抽取學(xué)生的人數(shù)為．4．角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），則sin（π﹣α）的值是．5．執(zhí)行以下語(yǔ)句后，打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：．6．設(shè)α、β為互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：①若m∥n，則m∥α；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若α∥β，m?α，n?β，則m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n?α，m⊥n，則n⊥β；其中正確命題的序號(hào)為．7．已知函數(shù)f（x）=2x，x≥2(x-1)3，8．已知關(guān)于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集為A，且A中共含有n個(gè)整數(shù)，則當(dāng)n最小時(shí)實(shí)數(shù)a的值為．9．已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-32，10．記Sk＝1k+2k+3k+……+nk，當(dāng)k＝1，2，3，……時(shí)，觀察下列等式：S1=12n2+12n，S2=13n3+12n2+16n，S3=14n4+12n3+14n2，……S5＝An611．設(shè)函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|，若對(duì)于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式f(x1)-f12．已知平面向量a→，b→，c→滿足|a→|＝1，|b→|＝2，a→，b→的夾角等于π3，且（13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓x2a2+y2=1(a＞1)14．設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過(guò)點(diǎn)P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點(diǎn)為Q，曲線C過(guò)點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是．二、解答題：本大題共6小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．在三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sinA=35，tan（A﹣B）=13，角（1）求sinB的值；（2）求邊c的長(zhǎng)．16．如圖，四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中點(diǎn)．（1）求證：VA∥平面BDE；（2）求證：平面VAC⊥平面BDE．17．已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x+3y﹣29＝0相切．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線ax﹣y+5＝0（a＞0）與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得弦AB的垂直平分線l過(guò)點(diǎn)P（﹣2，4），若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是10m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD＝60°．（1）求BC的長(zhǎng)度；（2）在線段BC上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB＝α，∠DPC＝β，問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí)，α+β最小？19．設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且（1）求p的值；（2）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（3）證明：“數(shù)列an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x＝1，且y＝2”．20．已知函數(shù)f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．（1）當(dāng)x1＝0，x2＝1，x3＝2時(shí)，求函數(shù)f（x）的減區(qū)間；（2）求證：方程f′（x）＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）若方程f′（x）＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是α，β（α＜β），試比較x1+x2本題包括A，B共1小題，每小題10分，共20分．把答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．[選修4-2：矩陣與變換]21．試求曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M=1002[選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]22．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ-π3)=6，圓（1）請(qǐng)分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求直線l被圓截得的弦長(zhǎng)．【必做題】本題滿分10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．23．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，點(diǎn)P在棱DF上．（1）若P是DF的中點(diǎn)，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為63，求PF【必做題】本題滿分10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．24．甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為12，a（1）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）在概率P（ξ＝i）（i＝0，1，2，3）中，若P（ξ＝1）的值最大，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.1．∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，則z2故答案為：3﹣4i．2．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}∴A∪B＝{1，3，9}∴?U（A∪B）＝{5}，故答案為{5}．3．分層抽樣的抽取比例為：801600∴抽取學(xué)生的人數(shù)為600×1故答案為30．4．由題意可得x＝1，y＝2，r=5∴sinα=y∴sin（π﹣α）＝sinα=2故答案為：255．程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的取值如下所示：是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán)，所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：28故答案為：28．6．對(duì)于①，當(dāng)m∥n時(shí)，由直線與平面平行的定義和判定定理，不能得出m∥α，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)m?α，n?α，且m∥β，n∥β時(shí)，由兩平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)α∥β，且m?α，n?β時(shí)，由兩平面平行的性質(zhì)定理，不能得出m∥n，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)α⊥β，且α∩β＝m，n?α，m⊥n時(shí)，由兩平面垂直的性質(zhì)定理，能夠得出n⊥β，④正確；綜上知，正確命題的序號(hào)是④．故答案為：④．7．如圖所示：①當(dāng)x≥2時(shí)，由函數(shù)f（x）=2x單調(diào)遞減可得：0＜f（x）②當(dāng)0＜x＜2時(shí)，由函數(shù)f（x）＝（x﹣1）3單調(diào)遞增可得：﹣1＜f（x）＜1．由圖象可知：由0＜2k＜1可得0＜故當(dāng)0＜k＜12時(shí)，函數(shù)y＝kx與y∴滿足關(guān)于x的方程f（x）＝kx有兩個(gè)不同的實(shí)根的實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，故答案為(0，8．已知關(guān)于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0時(shí)，[x﹣（a+4a）]（x﹣4）＜0，其中a故解集為（a+4由于a+4a=-（﹣a當(dāng)且僅當(dāng)﹣a=-4a∴a+4a的最大值為﹣4，當(dāng)且僅當(dāng)a+4a=②a＝0時(shí)，﹣4（x﹣4）＞0，解集為（﹣∞，4），整數(shù)解有無(wú)窮多，故a＝0不符合條件；③a＞0時(shí)，[x﹣（a+4a）]（x﹣4）＞0，其中a∴故解集為（﹣∞，4）∪（a+4a，+∞），整數(shù)解有無(wú)窮多，故綜上所述，a＝﹣2．故答案為：﹣2．9．∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═55，sin∠PF1F2═2∴由正弦定理得PF1又∵tan∠PF1F2=∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2）=-12-21+12△PF1F2中用余弦定理，得PF12+PF22-2PF1?PF2cos∠①②聯(lián)解，得PF1=∴雙曲線的2a=153，結(jié)合2c=故答案為：310．根據(jù)所給的已知等式得到：各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1，最高次項(xiàng)的系數(shù)為該項(xiàng)次數(shù)的倒數(shù)，∴A=16，A解得B=-所以A﹣B=1故答案為：1411．由題意知f（x）＝x|x﹣a|在[2，+∞）上單調(diào)遞增．（1）當(dāng)a≤2時(shí)，若x∈[2，+∞），則f（x）＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，其對(duì)稱(chēng)軸為x=a此時(shí)a2＜2，所以f（（2）當(dāng)a＞2時(shí)，①若x∈[a，+∞），則f（x）＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，其對(duì)稱(chēng)軸為x=a2，所以f（x）在[②若x∈[2，a），則f（x）＝x（a﹣x）＝﹣x2+ax，其對(duì)稱(chēng)軸為x=a2，所以f（x）在[a2，a）上是遞減的，因此f在[2，a）上必有遞減區(qū)間．綜上可知a≤2．故答案為（﹣∞，2]．12．由（a→-c→）?（b→-c→）＝0可得c→2=（a→+b→）?c再由(a→+b→)2=a→2∴c→2=7|∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴c→2+17|解得7-32≤|故答案為[713．設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1則直線AC的方程可設(shè)為y=-1kx由y=kx+1x2a2+y2=1消去y，得（1+a2k2）x2+2∵A的坐標(biāo)（0，1），∴B的坐標(biāo)為（-2a2k1+a2k2，k?因此，AB=(0--同理可得：AC=1+1∴Rt△ABC的面積為S=12AB?AC=令t=|k+1k|∵t=|k+1k|≥2，∴當(dāng)且僅當(dāng)a2-1t=at，即t=a解之得a＝3或a=∵a=3+29716時(shí)，∴a＝3故答案為：314．∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即（t，et又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝xetx，∴過(guò)Q的切線斜率k＝tet設(shè)R（r，0），則k=et2∴r＝t-1即R（t-1t，0），PR＝t﹣（t-1又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S=e導(dǎo)數(shù)S′=et(t-1)當(dāng)t＞1時(shí)，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，S′＜0，∴t＝1為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，∴△PRS的面積的最小值為e2故答案為：e2二、解答題：本大題共6小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（1）角C為鈍角，由sinA=35，則cosA那么：tanA=∵tan（A﹣B）=13，即可得：tanB=即sinBcosB=13，sin2B解得：sinB=10（2）由（1）可知：sinB=10則cosB=那么：sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB=正弦定理：asinA可得：c＝13．16．證明：（1）連結(jié)OE．因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是棱VC的中點(diǎn)，所以VA∥OE，又因?yàn)镺E?平面BDE，VA?平面BDE，所以VA∥平面BDE；（2）因?yàn)閂O⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以VO⊥BD，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC?平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因?yàn)锽D?平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．17．（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）設(shè)圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y﹣29＝0相切，且半徑為5，所以|4m-即|4m﹣29|＝25．因?yàn)閙為整數(shù)，故m＝1．故所求圓的方程為（x﹣1）2+y2＝25．…（Ⅱ）把直線ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圓的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，由于直線ax﹣y+5＝0交圓于A，B兩點(diǎn)，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞5所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（512（Ⅲ）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，則直線l的斜率為-1l的方程為y=-即x+ay+2﹣4a＝0由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a＝0，解得a=3由于34∈使得過(guò)點(diǎn)P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB．…18．（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設(shè)BC＝x，則tan∠化簡(jiǎn)得3x2-20x-答：BC的長(zhǎng)度為103（2）設(shè)BP＝t，則CP=103-t(0設(shè)f(t)=103+t令f'（t）＝0，因?yàn)?＜t＜當(dāng)t∈(0，202-103)當(dāng)t∈(202-103，103所以，當(dāng)t=202-103時(shí)，因?yàn)?t2+103t-200因?yàn)閥＝tanx在(π2，答：當(dāng)BP為t=202-19．（1）解：n＝1時(shí)，由1=4-(1若p＝0時(shí)，Tn當(dāng)n＝2時(shí)，1+a22=4-而an＞0，所以p＝0不符合題意，故p＝2；（2）證明：當(dāng)p＝2時(shí)，Tn=43-②﹣①并化簡(jiǎn)得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，則3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，④﹣③得an+2=12an+1又因?yàn)閍2=12a1（3）證明：充分性：若x＝1，y＝2，由an=12n-1知an，2xan+1，2yan+2滿足2×22n=12n-1+42n+1，即a必要性：假設(shè)an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，又an所以2?2x?12顯然x＞y﹣2，設(shè)k＝x﹣（y﹣2），因?yàn)閤、y均為整數(shù)，所以當(dāng)k≥2時(shí)，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，故當(dāng)k＝1，且當(dāng)x＝1，且y﹣2＝0時(shí)上式成立，即證．20．（1）當(dāng)x1＝0，x2＝1，x3＝2時(shí)，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＝3x2﹣6x+2＜0解得，3-33故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（3-33（2）證明：∵f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），∴f′（x）＝（x﹣x2）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x2），又∵x1＜x2＜x3，∴f′（x1）＝（x1﹣x2）（x1﹣x3）＞0，f′（x2）＝（x2﹣x1）（x2﹣x3）＜0，f′（x3）＝（x3﹣x2）（x3﹣x1）＞0，故函數(shù)f′（x）在（x1，x2），（x2，x3）上分別有一個(gè)零點(diǎn)，故方程f′（x）＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）∵方程f′（x）＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是α，β（α＜β），∴f′（α）＝f′（β）＝0，而f′（x1+x22）＝（x1+x22-x2）（x1+x22-x3）+（x1=-14（x1﹣x2）f′（x2+x32）＝（x2+x32-x2）（x2+x32-x3）+（x2=-14（x3﹣x2）再結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，α＜x本題包括A，B共1小題，每小題10分，共20分．把答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．[選修4-2：矩陣與變換]21．∵M(jìn)=1002∴MN=1∴在矩陣MN變換下，xy→x'∴曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y＝2sin2x．…10分．[選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]22．（1）由ρsin(θ-π3)=6∴y-3x=12，即圓的方程為x2+y2＝100．（2）圓心（0，0）到直線3x-y+12=0的距離d=|12|(∴弦長(zhǎng)l=2100-36【