高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專用)第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(分層精練)(原卷版+解析)

第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·寧夏·高一六盤山高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在鐵路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)到某一點(diǎn)的距離分別是，及，則兩點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．2．（2023春·山西運(yùn)城·高一康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）河北省正定縣的須彌塔是中國(guó)建筑寶庫(kù)的珍貴遺產(chǎn)，是我國(guó)古建筑之精品，是中國(guó)古代高超的建筑工程技術(shù)和建筑藝術(shù)成就的例證.一名身高1的同學(xué)假期到河北省正定縣旅游，他在A處仰望須彌塔尖，仰角為，他沿直線向塔行走了后仰望須彌塔尖，仰角為，據(jù)此估計(jì)該須彌塔的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù):A． B． C． D．3．（2023秋·廣西南寧·高三南寧二中校考期末）圭表（如圖1）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至.圖2是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽(yáng)高度角（即∠ABC）為29.5°，夏至正午太陽(yáng)高度角（即∠ADC）為76.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長(zhǎng)）為a，則表高（即AC的長(zhǎng)）為（）A． B．C． D．4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西方向上，燈塔B在觀察站南偏東方向上，則燈塔A在燈塔B的（

）A．北偏東方向上 B．北偏西方向上 C．南偏東方向上 D．南偏西方向上5．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，兩點(diǎn)在河的兩岸，在同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)，測(cè)得的距離，則兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一艘船航行到點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得燈塔與其相距30海里，如圖所示.隨后該船以20海里/小時(shí)的速度，沿直線向東南方向航行1小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得燈塔在其北偏東方向，則（

）A． B． C． D．7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）小明在學(xué)完《解直角三角形》一章后，利用測(cè)角儀和校園旗桿的拉繩測(cè)量校園旗桿的高度，如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長(zhǎng)度相等，小明先將PB拉到的位置，測(cè)得（為水平線），測(cè)角儀的高度為1米，則旗桿的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）當(dāng)孩子“嗖”地滑下來(lái)時(shí)，能享受到成功的喜悅.滑滑梯為兒童體育活動(dòng)器械的一種，若測(cè)得，，，，，則滑滑梯的高度（

）A．18 B． C．20 D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．A、D之間的距離為海里C．A、B兩處島嶼間的距離為海里D．B、D之間的距離為海里10．（2023春·山東青島·高一山東省青島第五十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在海岸上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，D，C在D的正西方向，距離為2km，在某天10:00觀察到某航船在A處，此時(shí)測(cè)得∠ADC=30°，5分鐘后該船行駛至B處，此時(shí)測(cè)得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，則（

）A．當(dāng)天10:00時(shí)，該船位于觀測(cè)點(diǎn)C的北偏西15°方向B．當(dāng)天10:00時(shí)，該船距離觀測(cè)點(diǎn)CkmC．當(dāng)船行駛至B處時(shí)，該船距觀測(cè)點(diǎn)CkmD．該船在由A行駛至B的這5min內(nèi)行駛了km三、填空題11．（2023春·甘肅白銀·高一?？茧A段練習(xí)）小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為______________．12．（2023春·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，飛鳥甲、小魚乙處于同一平面，甲自左向右飛行，甲發(fā)現(xiàn)乙在水面上以的速度自左向右作勻速直線運(yùn)動(dòng)（此時(shí)甲、乙之間的距離為10m，乙在甲右偏下60°的方向上），立刻以的速度斜向下作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則甲一次性成功捕獲乙的最短時(shí)間約為______.（，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）四、解答題13．（2023春·江蘇南京·高一南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸地面上兩點(diǎn)間的距離，某人在河岸邊上選取了兩點(diǎn)，使得，且（米），現(xiàn)測(cè)得，其中，．求：(1)的值；(2)兩點(diǎn)間的距離（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)）14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某林場(chǎng)為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)和，某日兩個(gè)觀測(cè)站都觀測(cè)到了處出現(xiàn)火情，在點(diǎn)處觀測(cè)到的方位角為．在點(diǎn)處，觀測(cè)到的方位角為．B點(diǎn)和點(diǎn)相距25千米，求觀測(cè)站與火情之間的距離．15．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場(chǎng)的橫截面示意圖，雪道分為兩部分，小明同學(xué)在點(diǎn)測(cè)得雪道的坡度，在點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的俯角．若雪道長(zhǎng)為270m，雪道長(zhǎng)為260m．(1)求該滑雪場(chǎng)的高度h；(2)據(jù)了解，該滑雪場(chǎng)要用兩種不同的造雪設(shè)備來(lái)滿足對(duì)于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時(shí)造雪量比乙設(shè)備少，且甲設(shè)備造雪所用的時(shí)間與乙設(shè)備造雪所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩種設(shè)備每小時(shí)的造雪量．B能力提升1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，2小時(shí)后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里2．（2023·貴州·校聯(lián)考二模）鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中．已知人眼距離地面高度，某建筑物高，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物的位置，測(cè)量人與鏡子的距離，將鏡子后移a米，重復(fù)前面中的操作，則測(cè)量人與鏡子的距離，則鏡子后移距離a為（

）A．6m B．5m C．4m D．3m3．（2023秋·海南·高一海南華僑中學(xué)校考期末）王之渙《登鸛雀樓》：白日依山盡，黃河入海流，欲窮千里目，更上一層樓.詩(shī)句不僅刻畫了祖國(guó)的壯麗河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得遠(yuǎn)”的哲理，因此成為千古名句.我們從數(shù)學(xué)角度來(lái)思考：欲窮千里目，需上幾層樓？把地球看作球體，地球半徑，如圖，設(shè)為地球球心，人的初始位置為點(diǎn)，點(diǎn)是人登高后的位置（人的高度忽略不計(jì)），按每層樓高計(jì)算，“欲窮千里目”即弧的長(zhǎng)度為，則需要登上樓的層數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．5800 B．6000 C．6600 D．700004．（2023秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量某座山的山頂A到山腳某處B的距離（AB垂直于水平面），研究人員在距D研究所處的觀測(cè)點(diǎn)C處測(cè)得山頂A的仰角為，山腳B的俯角為.若該研究員還測(cè)得B到C處的距離比到D處的距離多，且，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂作為測(cè)量基點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角，，從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高（單位：）為（

）A． B． C． D．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，海上一觀測(cè)站A接到在北偏西方向上一艘商船D的求助電話，得知該商船需要加燃油，觀測(cè)站人員準(zhǔn)備讓在商船D正東方向的一艘商船B向它輸送燃油，速度為每小時(shí)120海里，此時(shí)商船B距觀測(cè)站海里，20分鐘后測(cè)得商船B位于距觀測(cè)站30海里的C處，再經(jīng)過(guò)___________分鐘商船B到達(dá)商船D處．2．（2023春·貴州黔西·高一?？茧A段練習(xí)）要航測(cè)某座山的海拔高度，如圖，飛機(jī)的航線與山頂M在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為海拔10000米，速度為900km/h，航測(cè)員先測(cè)得對(duì)山頂?shù)母┙菫椋?jīng)過(guò)飛過(guò)M點(diǎn)）后又測(cè)得對(duì)山頂?shù)母┙菫?，求山頂?shù)暮０胃叨萠__．（精確到m）（可能要用到的數(shù)據(jù)：）3．（2023春·甘肅蘭州·高一蘭州一中?？茧A段練習(xí)）一艘從南京駛往重慶的客船“東方之星”在長(zhǎng)江中游湖北監(jiān)利水域遭遇龍卷風(fēng)翻沉.如圖所示，是江面上位于東西方向相距千米的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于點(diǎn)北偏東，點(diǎn)北偏西的客船東方之星（點(diǎn)）發(fā)出求救信號(hào)，位于點(diǎn)南偏西且與點(diǎn)相距千米的點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為千米每小時(shí)，該救援船到達(dá)點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？4．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）雨天外出雖然有雨傘，時(shí)常卻總免不了淋濕衣袖、褲腳、背包等，小明想通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法研究如何撐傘可以讓淋濕的面積盡量?。疄榱撕?jiǎn)化問(wèn)題小明做出下列假設(shè)：假設(shè)1：在網(wǎng)上查閱了人均身高和肩寬的數(shù)據(jù)后，小明把人假設(shè)為身高、肩寬分別為170cm、40cm的矩形“紙片人”：假設(shè)2：受風(fēng)的影響，雨滴下落軌跡視為與水平地面所成角為的直線；假設(shè)3：傘柄OT長(zhǎng)為，可繞矩形“紙片人”上點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)；假設(shè)4：傘面為被傘柄OT垂直平分的線段AB，．以如圖1方式撐傘矩形“紙片人”將淋濕“褲腳”；以如圖2方式撐被矩形“紙片人”將淋濕“頭和肩膀”．(1)如圖3在矩形“紙片人”上身恰好不被淋濕時(shí)，求其“褲腳”被淋濕（陰影）部分的面積（結(jié)果精確到）；(2)請(qǐng)根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)小明建立的數(shù)學(xué)模型提兩條改進(jìn)建議（無(wú)需求解改進(jìn)后的模型，如果建議超過(guò)兩條僅對(duì)前兩條評(píng)分）5．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）人類從未停下對(duì)自然界探索的腳步，位于美洲大草原點(diǎn)處正上空的點(diǎn)處，一架無(wú)人機(jī)正在對(duì)獵豹捕食羚羊的自然現(xiàn)象進(jìn)行航拍．已知位于點(diǎn)西南方向的草從處潛伏著一只饑餓的獵豹，獵豹正盯著其東偏北15°方向上點(diǎn)處的一只羚羊，且無(wú)人機(jī)拍攝獵豹的俯角為45°，拍攝羚羊的俯角為60°，假設(shè)A，B，C三點(diǎn)在同一水平面上．(1)求此時(shí)獵豹與羚羊之間的距離的長(zhǎng)度；(2)若此時(shí)獵豹到點(diǎn)處比到點(diǎn)處的距離更近，且開始以的速度出擊，與此同時(shí)機(jī)警的羚羊以的速度沿北偏東15°方向逃跑，已知獵豹受耐力限制，最多能持續(xù)奔跑，試問(wèn)獵豹這次捕獵是否有成功的可能?請(qǐng)說(shuō)明原因．第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·寧夏·高一六盤山高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在鐵路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)到某一點(diǎn)的距離分別是，及，則兩點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理得：，.故選：C.2．（2023春·山西運(yùn)城·高一康杰中學(xué)校考階段練習(xí)）河北省正定縣的須彌塔是中國(guó)建筑寶庫(kù)的珍貴遺產(chǎn)，是我國(guó)古建筑之精品，是中國(guó)古代高超的建筑工程技術(shù)和建筑藝術(shù)成就的例證.一名身高1的同學(xué)假期到河北省正定縣旅游，他在A處仰望須彌塔尖，仰角為，他沿直線向塔行走了后仰望須彌塔尖，仰角為，據(jù)此估計(jì)該須彌塔的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù):A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，，因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得，所以，其中，故又，又，所以，又該同學(xué)身高，所以塔高約為.故選：.3．（2023秋·廣西南寧·高三南寧二中?？计谀┕绫恚ㄈ鐖D1）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至.圖2是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽(yáng)高度角（即∠ABC）為29.5°，夏至正午太陽(yáng)高度角（即∠ADC）為76.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長(zhǎng)）為a，則表高（即AC的長(zhǎng)）為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題可知

，在△BAD中由正弦定理得：，即，又因?yàn)樵谥?，，所?故選：D4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西方向上，燈塔B在觀察站南偏東方向上，則燈塔A在燈塔B的（

）A．北偏東方向上 B．北偏西方向上 C．南偏東方向上 D．南偏西方向上【答案】D【詳解】由條件及題圖可知，為等腰三角形，所以，又，所以，所以，因此燈塔A在燈塔B的南偏西方向上．故選：D．5．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，兩點(diǎn)在河的兩岸，在同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)，測(cè)得的距離，則兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，故，由正弦定理，，故m故選：D6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一艘船航行到點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得燈塔與其相距30海里，如圖所示.隨后該船以20海里/小時(shí)的速度，沿直線向東南方向航行1小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得燈塔在其北偏東方向，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意可知，，海里，由正弦定理可得=，代入數(shù)據(jù)得.故選：C.7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）小明在學(xué)完《解直角三角形》一章后，利用測(cè)角儀和校園旗桿的拉繩測(cè)量校園旗桿的高度，如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長(zhǎng)度相等，小明先將PB拉到的位置，測(cè)得（為水平線），測(cè)角儀的高度為1米，則旗桿的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【詳解】由題設(shè)，，而，所以，可得米.故選：C8．（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）當(dāng)孩子“嗖”地滑下來(lái)時(shí)，能享受到成功的喜悅.滑滑梯為兒童體育活動(dòng)器械的一種，若測(cè)得，，，，，則滑滑梯的高度（

）A．18 B． C．20 D．【答案】C【詳解】在中，由正弦定理得，即，解得，因?yàn)椋?，所?故選：C二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．A、D之間的距離為海里C．A、B兩處島嶼間的距離為海里D．B、D之間的距離為海里【答案】BC【詳解】解：由題意可知，，，，，所以，故A錯(cuò)誤；，在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正確；在中，因?yàn)?，，所?海里)，故D錯(cuò)誤；在中，由余弦定理得，(海里)，故C正確.故選：BC.10．（2023春·山東青島·高一山東省青島第五十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在海岸上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，D，C在D的正西方向，距離為2km，在某天10:00觀察到某航船在A處，此時(shí)測(cè)得∠ADC=30°，5分鐘后該船行駛至B處，此時(shí)測(cè)得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，則（

）A．當(dāng)天10:00時(shí)，該船位于觀測(cè)點(diǎn)C的北偏西15°方向B．當(dāng)天10:00時(shí)，該船距離觀測(cè)點(diǎn)CkmC．當(dāng)船行駛至B處時(shí)，該船距觀測(cè)點(diǎn)CkmD．該船在由A行駛至B的這5min內(nèi)行駛了km【答案】ABD【詳解】A選項(xiàng)中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因?yàn)镃在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正確.B選項(xiàng)中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，則∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=，故B正確.C選項(xiàng)中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，則BD=CD=2，于是BC=2，故C不正確.D選項(xiàng)中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，即AB=km，故D正確.故選：ABD．三、填空題11．（2023春·甘肅白銀·高一?？茧A段練習(xí)）小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為______________．【答案】【詳解】由題意知：，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，所以，且在中，故答案為：12．（2023春·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，飛鳥甲、小魚乙處于同一平面，甲自左向右飛行，甲發(fā)現(xiàn)乙在水面上以的速度自左向右作勻速直線運(yùn)動(dòng)（此時(shí)甲、乙之間的距離為10m，乙在甲右偏下60°的方向上），立刻以的速度斜向下作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則甲一次性成功捕獲乙的最短時(shí)間約為______.（，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）【答案】1.5【詳解】如圖，記飛鳥甲在點(diǎn)，小魚乙在點(diǎn)，設(shè)甲一次性成功捕獲乙的地點(diǎn)是，時(shí)間為，易得，，，，由余弦定理，，整理得，得或（舍去），所以.故答案為：1.5.四、解答題13．（2023春·江蘇南京·高一南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸地面上兩點(diǎn)間的距離，某人在河岸邊上選取了兩點(diǎn)，使得，且（米），現(xiàn)測(cè)得，其中，．求：(1)的值；(2)兩點(diǎn)間的距離（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)(2)119米．【詳解】（1）由為銳角，，可得，則；（2）三角形中，由，則，則，設(shè)到距離為，則，，則（米），答：兩點(diǎn)間的距離為119米．14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某林場(chǎng)為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)和，某日兩個(gè)觀測(cè)站都觀測(cè)到了處出現(xiàn)火情，在點(diǎn)處觀測(cè)到的方位角為．在點(diǎn)處，觀測(cè)到的方位角為．B點(diǎn)和點(diǎn)相距25千米，求觀測(cè)站與火情之間的距離．【答案】千米【詳解】在中，，，，，由正弦定理可得，即，所以（千米），所以觀測(cè)站與火情之間的距離為千米15．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場(chǎng)的橫截面示意圖，雪道分為兩部分，小明同學(xué)在點(diǎn)測(cè)得雪道的坡度，在點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的俯角．若雪道長(zhǎng)為270m，雪道長(zhǎng)為260m．(1)求該滑雪場(chǎng)的高度h；(2)據(jù)了解，該滑雪場(chǎng)要用兩種不同的造雪設(shè)備來(lái)滿足對(duì)于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時(shí)造雪量比乙設(shè)備少，且甲設(shè)備造雪所用的時(shí)間與乙設(shè)備造雪所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩種設(shè)備每小時(shí)的造雪量．【答案】(1)235m(2)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是，乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是．【詳解】（1）解：過(guò)作，過(guò)作，兩直線交于，過(guò)作垂直地面交地面于，如圖：根據(jù)題知，∴．∵BC的坡度，∴．設(shè)，則，∵，∴，解得（負(fù)值已舍去），∴，所以，該滑雪場(chǎng)的高度h為235m．（2）解：設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，也符合題意，∴．所以，甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是，乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是．B能力提升1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，2小時(shí)后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【詳解】由題設(shè)可得如下示意圖，且，即，由圖知：，則，又，所以，則海里.故選：A2．（2023·貴州·校聯(lián)考二模）鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中．已知人眼距離地面高度，某建筑物高，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物的位置，測(cè)量人與鏡子的距離，將鏡子后移a米，重復(fù)前面中的操作，則測(cè)量人與鏡子的距離，則鏡子后移距離a為（

）A．6m B．5m C．4m D．3m【答案】A【詳解】如圖：設(shè)建筑物最高點(diǎn)為A，建筑物底部為，第一次觀察時(shí)鏡面位置為，第一次觀察時(shí)人眼睛位置為C處，第二次觀察時(shí)鏡面位置為，設(shè)到之間的距離為，由光線反射性質(zhì)得，所以，即，①同理可得，②①②兩式相比得，解得，代入①得，故選：A．3．（2023秋·海南·高一海南華僑中學(xué)?？计谀┩踔疁o《登鸛雀樓》：白日依山盡，黃河入海流，欲窮千里目，更上一層樓.詩(shī)句不僅刻畫了祖國(guó)的壯麗河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得遠(yuǎn)”的哲理，因此成為千古名句.我們從數(shù)學(xué)角度來(lái)思考：欲窮千里目，需上幾層樓？把地球看作球體，地球半徑，如圖，設(shè)為地球球心，人的初始位置為點(diǎn)，點(diǎn)是人登高后的位置（人的高度忽略不計(jì)），按每層樓高計(jì)算，“欲窮千里目”即弧的長(zhǎng)度為，則需要登上樓的層數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．5800 B．6000 C．6600 D．70000【答案】C【詳解】設(shè)，弧的長(zhǎng)為.由題意可得，.顯然，，則在中，有，所以.所以，.所以，需要登上樓的層數(shù)約為.故選：C.4．（2023秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量某座山的山頂A到山腳某處B的距離（AB垂直于水平面），研究人員在距D研究所處的觀測(cè)點(diǎn)C處測(cè)得山頂A的仰角為，山腳B的俯角為.若該研究員還測(cè)得B到C處的距離比到D處的距離多，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，，，則在中由余弦定理可得：，解得：，則，，過(guò)點(diǎn)C作，研究人員在距D研究所處的觀測(cè)點(diǎn)C處測(cè)得山頂A的仰角為，山腳B的俯角為，，，則，，則，，則，，故選：B.5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂作為測(cè)量基點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角，，從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高（單位：）為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在中，，因?yàn)?，則為等腰直角三角形，故，在中，，，則，由正弦定理可得，，在中，，又因?yàn)?，則.故選：C.C綜合素養(yǎng)1．（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，海上一觀測(cè)站A接到在北偏西方向上一艘商船D的求助電話，得知該商船需要加燃油，觀測(cè)站人員準(zhǔn)備讓在商船D正東方向的一艘商船B向它輸送燃油，速度為每小時(shí)120海里，此時(shí)商船B距觀測(cè)站海里，20分鐘后測(cè)得商船B位于距觀測(cè)站30海里的C處，再經(jīng)過(guò)___________分鐘商船B到達(dá)商船D處．【答案】15【詳解】在中，海里，海里，海里，由余弦定理得，則．在中，因?yàn)?，所以海里，所以分鐘，即再?jīng)過(guò)15分鐘商船B到達(dá)商船D處．故答案為：15.2．（2023春·貴州黔西·高一?？茧A段練習(xí)）要航測(cè)某座山的海拔高度，如圖，飛機(jī)的航線與山頂M在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為海拔10000米，速度為900km/h，航測(cè)員先測(cè)得對(duì)山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過(guò)飛過(guò)M點(diǎn)）后又測(cè)得對(duì)山頂?shù)母┙菫?，求山頂?shù)暮０胃叨萠__．（精確到m）（可能要用到的數(shù)據(jù)：）【答案】6340m【詳解】因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得，，，作于，則，所以的海拔高度為.故答案為：.3．（2023春·甘肅蘭州·高一蘭州一中校考階段練習(xí)）一艘從南京駛往重慶的客船“東方之星”在長(zhǎng)江中游湖北監(jiān)利水域遭遇龍卷風(fēng)翻沉.如圖所示，是江面上位于東西方向相距千米的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于點(diǎn)北偏東，點(diǎn)北偏西的客船東方之星（點(diǎn)）發(fā)出求救信號(hào)，位于點(diǎn)南偏西且與點(diǎn)相距千米的點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為千米每小時(shí)，該救援船到達(dá)點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】小時(shí)【詳解】由題意知