高考數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)第02講等差數(shù)列及其前n項和(練習)(原卷版+解析)

第02講等差數(shù)列及其前n項和（模擬精練+真題演練）1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）在等差數(shù)列中，已知，且，則當取最大值時，（

）A．10 B．11 C．12或13 D．132．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升3．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．814．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，則等于（

）A．63 B． C．45 D．5．（2023·北京海淀·?？既＃┮阎炔顢?shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）公差不為零的等差數(shù)列中，，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．7．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）設為等差數(shù)列的前n項和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知數(shù)列中，，當時，，，成等差數(shù)列.若，那么（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學?？级＃┮阎獮榈炔顢?shù)列，前項和為，，公差d=?2，則（

）A．=B．當n=6或7時，取得最小值C．數(shù)列的前10項和為50D．當n≤2023時，與數(shù)列（mN）共有671項互為相反數(shù)．10．（多選題）（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列對任意的整數(shù)，都有，則下列說法中正確的有（

）A．若，則B．若，，則C．數(shù)列可以是等差數(shù)列D．數(shù)列可以是等比數(shù)列11．（多選題）（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預測）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，成等比數(shù)列，則（

）A． B．C．當時，是的最大值 D．當時，是的最小值12．（多選題）（2023·廣東佛山·?？寄M預測）已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（

）A．若，，則B．若，，則C．若，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若為等差數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列13．（2023·上海黃浦·上海市大同中學?？既＃┠纤蔚臄?shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則______．

14．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）設隨機變量的分布列如下：123456P其中，，…，構(gòu)成等差數(shù)列，則___________.15．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差d為奇數(shù)，且同時滿足：①存在最大值；②；③．則數(shù)列的一個通項公式可以為______．（寫出滿足題意的一個通項公式）16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學?？既＃┮阎?，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則______.17．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）記等差數(shù)列的前n項和為，已知，．(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為，若，求m的值．18．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）設數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：數(shù)列中的任意不同的三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列.19．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知正項等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，(2)若數(shù)列的前項積滿足，記，求數(shù)列的前20項和.20．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，，從第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列．(1)求；(2)設，若恒成立，求的取值范圍．1．（2020?新課標Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊2．（2020?北京）在等差數(shù)列中，，．記，2，，則數(shù)列A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項 C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有個．4．（2022?乙卷（文））記為等差數(shù)列的前項和．若，則公差．5．（2021?上海）已知等差數(shù)列的首項為3，公差為2，則．6．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．7．（2020?海南）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前項和為．8．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．9．（2021?甲卷（理））記為數(shù)列的前項和，已知，，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．10．（2021?乙卷）記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項公式．

第02講等差數(shù)列及其前n項和（模擬精練+真題演練）1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）在等差數(shù)列中，已知，且，則當取最大值時，（

）A．10 B．11 C．12或13 D．13【答案】C【解析】因為在等差數(shù)列中，所以，所以，又因為，所以可知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且前12項為正，第13項以后均為負，所以當取最大值時，或13．故選：C．2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【答案】B【解析】設九只茶壺按容積從小到大依次記為，由題意可得，所以，故選：B3．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．81【答案】D【解析】設等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，所以.故選：D.4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，則等于（

）A．63 B． C．45 D．【答案】D【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，則，可得，且，可得，所以.故選：D.5．（2023·北京海淀·?？既＃┮阎炔顢?shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，所以且，則，若，不妨令，則，，，，，，顯然不單調(diào)，故充分性不成立，若為遞減數(shù)列，則不是常數(shù)數(shù)列，所以單調(diào)，若單調(diào)遞減，又在，上單調(diào)遞減，則為遞增數(shù)列，矛盾；所以單調(diào)遞增，則，且，其中當，時也不能滿足為遞減數(shù)列，故必要性成立，故“”是“為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）公差不為零的等差數(shù)列中，，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為,所以,因為公差不為零,,所以，B正確，A錯誤，取,則,此時,C,D均不正確,故選：B.7．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）設為等差數(shù)列的前n項和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】A【解析】由，得，即，所以數(shù)列為遞增的等差數(shù)列.因為，所以，即，則，，所以當且時，；當且時，.因此，有最小值，且最小值為.故選：A.8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知數(shù)列中，，當時，，，成等差數(shù)列.若，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，，成等差數(shù)列，則，由于，則，故選：D.9．（多選題）（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學?？级＃┮阎獮榈炔顢?shù)列，前項和為，，公差d=?2，則（

）A．=B．當n=6或7時，取得最小值C．數(shù)列的前10項和為50D．當n≤2023時，與數(shù)列（mN）共有671項互為相反數(shù)．【答案】AC【解析】對于A，等差數(shù)列中，，公差，則，，故A正確；對于B，由A的結(jié)論，，則，由d=?2當時，，，當時，，則當或6時，取得最大值，且其最大值為，B錯誤；對于C,,故C正確，對于D，由，則，則數(shù)列中與數(shù)列中的項互為相反數(shù)的項依次為：，，，，，可以組成以為首項，為公差的等差數(shù)列，設該數(shù)列為，則，若，解可得，即兩個數(shù)列共有670項互為相反數(shù)，D錯誤．故選：AC．10．（多選題）（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列對任意的整數(shù)，都有，則下列說法中正確的有（

）A．若，則B．若，，則C．數(shù)列可以是等差數(shù)列D．數(shù)列可以是等比數(shù)列【答案】BC【解析】若，當時，，解得，故A錯；若，，當時，，解得，當時，，解得，，根據(jù)遞推關(guān)系可知，當為奇數(shù)，即時，，故B正確；若，則成立，故數(shù)列可以是等差數(shù)列，即C正確；若數(shù)列是等比數(shù)列，假設公比為，則由，得，兩式相除得，，即，解得，不符合題意，則假設不成立，故D錯.故選：BC11．（多選題）（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預測）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，成等比數(shù)列，則（

）A． B．C．當時，是的最大值 D．當時，是的最小值【答案】ACD【解析】因為，，成等比數(shù)列，所以，即，整理得，因為，所以，所以，則，故A正確、B錯誤；當時單調(diào)遞減，此時，所以當或時取得最大值，即，故C正確；當時單調(diào)遞增，此時，所以當或時取得最小值，即，故D正確；故選：ACD12．（多選題）（2023·廣東佛山·?？寄M預測）已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（

）A．若，，則B．若，，則C．若，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若為等差數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列【答案】ABD【解析】對于選項A，由，得，則，故A項正確；對于選項B，由得，所以為等比數(shù)列，首項為，公比為2，所以，所以，故B項正確；對于選項C，因為，當時，，當時，，將代入，得，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C項錯誤.對于選項D，設等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列前項和公式可得，所以與n無關(guān)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D項正確.故選：ABD.13．（2023·上海黃浦·上海市大同中學?？既＃┠纤蔚臄?shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則______．

【答案】/【解析】依題意，在數(shù)列中，，當時，，滿足上式，因此，，數(shù)列的前項和為，則，所以.故答案為：14．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）設隨機變量的分布列如下：123456P其中，，…，構(gòu)成等差數(shù)列，則___________.【答案】【解析】因為，，…，構(gòu)成等差數(shù)列，所以，因為，所以，故答案為：15．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差d為奇數(shù)，且同時滿足：①存在最大值；②；③．則數(shù)列的一個通項公式可以為______．（寫出滿足題意的一個通項公式）【答案】（答案不唯一）【解析】由得，即．因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可知．設等差數(shù)列的公差為d，則，．因為存在最大值，所以公差，又因為d為奇數(shù)且，故可?。敃r，，；當時，，；當時，，．故答案為：（答案不唯一）16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學?？既＃┮阎?，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則______.【答案】【解析】因為數(shù)列是正奇數(shù)列，對于數(shù)列，當為奇數(shù)時，設，則為偶數(shù)；當為偶數(shù)時，設，則為奇數(shù)，所以，則，所以.故答案為：.17．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）記等差數(shù)列的前n項和為，已知，．(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為，若，求m的值．【解析】（1）設的公差為d，因為，所以，解得，又，所以．所以．（2）因為，所以，由，解得，所以．18．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）設數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：數(shù)列中的任意不同的三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列.【解析】（1）令，得.當時，①，又②，①②兩式相減，得，所以.所以數(shù)列是首項為－3，公比為2的等比數(shù)列，所以（2）假設數(shù)列中存在三項數(shù)列，，（其中）成等差數(shù)列，則，由（1）得，即，兩邊同時除以，得（*），因為（*）式右邊為奇數(shù)，左邊為偶數(shù)，所以（*）式不成立，假設不成立.所以數(shù)列中得任意不同的三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列.19．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知正項等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，(2)若數(shù)列的前項積滿足，記，求數(shù)列的前20項和.【解析】（1）由題知，是等比數(shù)列，設其公比為，由，可得：當時，，兩式相減得，，故數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由知：當時，，又，所以，由（1）設的公差為，則，由，則，，所以.即數(shù)列的前20項和為.20．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，，從第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列．(1)求；(2)設，若恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由題意得，，，…，數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，，，，，…，，將所有上式累加可得，．又也滿足上式，．（2）由（1）得，，則，恒成立，，恒成立，，即的取值范圍是．1．（2020?新課標Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】【解析】方法一：設每一層有環(huán)，由題意可知，從內(nèi)到外每環(huán)上扇面形石板數(shù)之間構(gòu)成等差數(shù)列，上層中心的首項為，且公差，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，且，則，則，則三層共有扇面形石板塊，方法二：設第環(huán)天心石塊數(shù)為，第一層共有環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設為的前項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，，，下層比中層多729塊，，，，解得，，故選：．2．（2020?北京）在等差數(shù)列中，，．記，2，，則數(shù)列A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項 C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】【解析】設等差數(shù)列的公差為，由，，得，．由，得，而，可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項為負值，自第6項開始為正值．可知，，，為最大項，自起均小于0，且逐漸減?。當?shù)列有最大項，無最小項．故選：．3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有個．【答案】98．【解析】等差數(shù)列的公差不為零，為其前項和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各項均不相等，，，中不同的數(shù)值有：．故答案為：