高三數(shù)學一輪復習五層訓練(新高考地區(qū))第37練橢圓(原卷版+解析)

第37練橢圓一、課本變式練1.（人A選擇性必修一P115習題3.1T6變式）已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，則點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2.（人A選擇性必修一P115習題3.1T5變式）已知橢圓為C的左?右焦點，為C上一點，且的內心，若的面積為2b，則n的值為（

）A． B． C． D．33.（人A選擇性必修一P115習題3.1T12變式）橢圓的一個短軸端點到一個焦點的距離為______．4.（人A選擇性必修一P115習題3.1T4變式）已知焦點在x軸上的橢圓C經(jīng)過點，且離心率為，則橢圓C的方程為______．二、考點分類練(一)橢圓的定義5.（2022屆湖南省湘潭市高三下學期三模）橢圓的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線l與E交于A，B兩點，若△ABF2的周長為12，則E的離心率為（

）A． B． C． D．6.已知是橢圓的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．(二)橢圓的方程7．已知橢圓C：的右焦點為，右頂點為A，O為坐標原點，過OA的中點且與坐標軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，若四邊形OMAN是正方形，則C的方程為（

）A． B． C． D．8.（2022屆海南省?？谑懈呷龑W生學科能力診斷）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求C的方程；(2)動直線l與圓相切，與C交于M，N兩點，求O到線段MN的中垂線的最大距離．(三)橢圓的幾何性質9.（2022屆河北省衡水市部分學校高三下學期4月聯(lián)考）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上點到焦點的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．10.（2022屆山東省濟南市歷城第二中學高三下學期沖刺卷）設，F(xiàn)為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上的動點，且橢圓上至少有17個不同的點，，，，…組成公差為d的遞增等差數(shù)列，則（

）A．的最大值為B．的面積最大時，C．d的取值范圍為D．橢圓上存在點P，使11.已知橢圓C：1的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．(四)定點定值及最值問題12.（2022屆天津市部分區(qū)高三上學期期末）已知橢圓的一個頂點為，離心率為.(1)求橢圓的方程(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點A，B，與軸交于點E，線段AB的中點為P，直線過點E且垂直于（其中O為原點），證明直線過定點.13.已知橢圓的短軸長為2，離心率為，下頂點為A，右頂點為B.(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過點的直線交橢圓C于P，Q兩點（點P在點Q下方），過點P作x軸的垂線交直線AB于點D，交直線BQ于點E，求證：為定值.14.（2023屆安徽省十校聯(lián)考高三上學期第一次教學質量檢測）如圖，已知橢圓的左、右頂點分別是，且經(jīng)過點，直線恒過定點且交橢圓于兩點，為的中點.(1)求橢圓的標準方程;(2)記的面積為S，求S的最大值.三、最新模擬練15.（2022屆上海市位育中學高三沖刺）已知橢圓的右焦點為，點是橢圓上三個不同的點，則“成等差數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件16.（2022屆安徽省合肥市第六中學高三下學期高考前診斷暨預測）已知斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點，與x軸，y軸分別交于C，D兩點，若C，D恰好是線段的兩個三等分點，則橢圓E的離心率e為（

）A． B． C． D．17.（多選）（2023屆云南省昆明市五華區(qū)高三上學期8月質量檢測）橢圓的左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，與C的另一交點為M，與C的另一交點為N，若直線與直線的斜率之積為，則（

）A．C的離心率為B．C．的周長為18D．設的面積為，的面積為，則18.（2022屆四川省瀘縣第五中學高三下學期適應性考試）橢圓C：的上、下頂點分別為A，C，如圖，點B在橢圓上，平面四邊形ABCD滿足，且，則該橢圓的短軸長為_________．19.（2023屆浙江省杭州市桐廬中學高三階段性測試）如圖，橢圓：的離心率為，F(xiàn)是的右焦點，點P是上第一角限內任意一點，，，若，則的取值范圍是_______．20.（2023屆云南省下關第一中學高三上學期見面考）已知橢圓過點，離心率為，直線與橢圓交于兩點，過點作，垂足為C點，直線AC與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程；(2)試問是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．21.（2023屆廣東省六校高三上學期第一次聯(lián)考）橢圓經(jīng)過點且離心率為；直線與橢圓交于A，兩點，且以為直徑的圓過原點.(1)求橢圓的方程；(2)若過原點的直線與橢圓交于兩點，且，求四邊形面積的最大值.22.（2022屆云南師范大學附屬中學高三高考適應性月考）已知橢圓：經(jīng)過點，離心率為，為坐標原點.(1)求的方程；(2)設，分別為的左、右頂點，為上一點（不在坐標軸上），直線交軸于點，為直線上一點，且，求證：，，三點共線.四、高考真題練23.(2022高考全國卷甲)橢圓的左頂點為A,點P,Q均在C上,且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為,則C的離心率為（）A. B. C. D.24.（2022新高考全國卷1）已知橢圓,C的上頂點為A,兩個焦點為,,離心率為．過且垂直于的直線與C交于D,E兩點,,則的周長是________．25.（2022新高考全國卷2）已知直線l與橢圓在第一象限交于A,B兩點,l與x軸,y軸分別交于M,N兩點,且,則l的方程為_______．26.（2022高考全國卷乙）已知橢圓E的中心為坐標原點,對稱軸為x軸、y軸,且過兩點．（1）求E的方程；（2）設過點的直線交E于M,N兩點,過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,點H滿足．證明：直線HN過定點．五、綜合提升練27.已知橢圓E:的左焦點為F，過點P(2，t)作橢圓E的切線PA、PB，切點分別是A、B，則三角形ABF面積最大值為（

）A． B．1 C．2 D．28.（多選）（2022屆重慶市第八中學校高三下學期適應性月考）橢圓的左、右焦點分別是，離心率為e，點A、B、P在橢圓E上，且滿足(其中O為坐標原點)，則下列說法正確的是(

)A．若是等腰直角三角形，則B．的取值范圍是C．直線過定點(定點坐標與a，b有關)D．為定值(定值與a，b有關)29.（2023屆四川省成都市高三摸底測試）已知橢圓的左，右焦點分別為，，以坐標原點O為圓心，線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點A．若，則橢圓C的離心率的取值范圍為______．30.（2022屆上海市徐匯區(qū)高三下學期三模）已知橢圓：焦距為，過點，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點?.(1)求橢圓的方程；(2)若，的最大值；(3)設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為.若?和點共線，求實數(shù)的值.第37練橢圓一、課本變式練1.（人A選擇性必修一P115習題3.1T6變式）已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，則點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，所以，所以，而，所以點軌跡是以為焦點，長軸長是4的橢圓．設其方程為，，，，則，所以點軌跡方程是．故選C．2.（人A選擇性必修一P115習題3.1T5變式）已知橢圓為C的左?右焦點，為C上一點，且的內心，若的面積為2b，則n的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】由題意可得，的內心到x軸的距離就是內切圓的半徑.又點P在橢圓C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故選C.3.（人A選擇性必修一P115習題3.1T12變式）橢圓的一個短軸端點到一個焦點的距離為______．【答案】【解析】由題意，即為一個短軸端點到一個焦點的距離4.（人A選擇性必修一P115習題3.1T4變式）已知焦點在x軸上的橢圓C經(jīng)過點，且離心率為，則橢圓C的方程為______．【答案】【解析】由題意，設橢圓的方程為，由題可知，解得，橢圓的方程為.二、考點分類練(一)橢圓的定義5.（2022屆湖南省湘潭市高三下學期三模）橢圓的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線l與E交于A，B兩點，若△ABF2的周長為12，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為的周長為，根據(jù)橢圓的定義可得，解得，則，所以，則橢圓的離心率為.故選A.6.已知是橢圓的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在橢圓中，由橢圓的定義可得，因為，所以，在中，，由余弦定理得，即所以所以的離心率.故選C(二)橢圓的方程7．已知橢圓C：的右焦點為，右頂點為A，O為坐標原點，過OA的中點且與坐標軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，若四邊形OMAN是正方形，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓方程可知，由四邊形OMAN是正方形可知，又點M在橢圓C上，則有，解得，又橢圓C的右焦點為，則，結合橢圓中，解得，，則橢圓C的方程為.故選A8.（2022屆海南省?？谑懈呷龑W生學科能力診斷）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求C的方程；(2)動直線l與圓相切，與C交于M，N兩點，求O到線段MN的中垂線的最大距離．【解析】(1)由題知：，解得.所以的方程為．(2)當?shù)男甭什淮嬖跁r，線段MN的中垂線為軸，此時到中垂線的距離為0．當?shù)男甭蚀嬖跁r，設，，．因為與圓相切，則到的距離為，所以．聯(lián)立方程，得，則，可得的中點為．則MN的中垂線方程為，即．因此到中垂線的距離為（當且僅當，時等號成立）．綜上所述，到線段MN的中垂線的最大距離為．(三)橢圓的幾何性質9.（2022屆河北省衡水市部分學校高三下學期4月聯(lián)考）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上點到焦點的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設橢圓的半焦距為，由題意可得，解得，，所以橢圓C的離心率，故選A.10.（2022屆山東省濟南市歷城第二中學高三下學期沖刺卷）設，F(xiàn)為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上的動點，且橢圓上至少有17個不同的點，，，，…組成公差為d的遞增等差數(shù)列，則（

）A．的最大值為B．的面積最大時，C．d的取值范圍為D．橢圓上存在點P，使【答案】ABC【解析】由橢圓方程知，.選項A：因為P為橢圓上的動點，所以，所以的最大值為，故A正確；選項B：當點P為短軸頂點時，的高最大，所以的面積最大，此時，所以B正確；選項C：設，，，…組成公差為d的等差數(shù)列為，所以，，，故C正確；選項D：因為，又，所以，而，當且僅當時取等號.此時，故此時最大.此時故D不成立.故選ABC．11.已知橢圓C：1的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．【答案】(，]【解析】設，由，知，因為，在橢圓上，，所以四邊形為矩形，；由，可得1，由橢圓的定義可得，

①，平方相減可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.(四)定點定值及最值問題12.（2022屆天津市部分區(qū)高三上學期期末）已知橢圓的一個頂點為，離心率為.(1)求橢圓的方程(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點A，B，與軸交于點E，線段AB的中點為P，直線過點E且垂直于（其中O為原點），證明直線過定點.【解析】(1)依題意，，∴，又，，∴，∴∴橢圓的標準方程為.(2)由（1）知右焦點坐標為，設直線方程為，，，由得，，∴，∴，，∴直線的斜率∴直線的斜率，令得點坐標為，∴直線的方程為，即∴直線恒過定點.13.已知橢圓的短軸長為2，離心率為，下頂點為A，右頂點為B.(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過點的直線交橢圓C于P，Q兩點（點P在點Q下方），過點P作x軸的垂線交直線AB于點D，交直線BQ于點E，求證：為定值.【解析】(1)依題意，b=1，，解得，橢圓C的方程為：；(2)依題意作下圖：設，直線l的方程為，將點(2,-1)代入得：m=-2k-1，直線l：y=kx-(2k+1)；由于橢圓C：，∴A（0，-1），B（2,0），聯(lián)立方程，得，，，直線AB的方程為：x-2y-2=0，直線BQ的方程為：，，，運用…①易證得：…②，下面證明②：，運用①中的韋達定理：=0，即②成立，∴，即點E和P的縱坐標之和等于D點縱坐標的2倍，∴D點是線段EP的中點，即；綜上，橢圓C的方程為：，，故為定值.14.（2023屆安徽省十校聯(lián)考高三上學期第一次教學質量檢測）如圖，已知橢圓的左、右頂點分別是，且經(jīng)過點，直線恒過定點且交橢圓于兩點，為的中點.(1)求橢圓的標準方程;(2)記的面積為S，求S的最大值.【解析】（1）由題意可得，直線恒過定點，因為為的中點，所以，即.因為橢圓經(jīng)過點，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）設.由得恒成立，則，則又因為點到直線的距離，所以令，則，因為，時，，在上單調遞增，所以當時，時，故.即S的最大值為.三、最新模擬練15.（2022屆上海市位育中學高三沖刺）已知橢圓的右焦點為，點是橢圓上三個不同的點，則“成等差數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題設有，故，而，故，同理，，若成等差數(shù)列，則，故，若，則即，故成等差數(shù)列，故“成等差數(shù)列”是“”的充要條件，故選C16.（2022屆安徽省合肥市第六中學高三下學期高考前診斷暨預測）已知斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點，與x軸，y軸分別交于C，D兩點，若C，D恰好是線段的兩個三等分點，則橢圓E的離心率e為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設，，∵C，D分別是線段的兩個三等分點，∴，，則，得，利用點差法，由兩式相減得，整理得到，即，所以.故選C．17.（多選）（2023屆云南省昆明市五華區(qū)高三上學期8月質量檢測）橢圓的左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，與C的另一交點為M，與C的另一交點為N，若直線與直線的斜率之積為，則（

）A．C的離心率為B．C．的周長為18D．設的面積為，的面積為，則【答案】ABCD【解析】如圖所示：設，聯(lián)立，得，解得，，則，所以，因為直線與直線的斜率之積為，所以，即，則，所以，，則，，，所以，，則，故選ABCD18.（2022屆四川省瀘縣第五中學高三下學期適應性考試）橢圓C：的上、下頂點分別為A，C，如圖，點B在橢圓上，平面四邊形ABCD滿足，且，則該橢圓的短軸長為_________．【答案】6【解析】由題意得，設，由可得在以為直徑的圓上，又原點為圓上弦的中點，所以圓心在的垂直平分線上，即在軸上，則，又可得，故圓心坐標為，所以圓的方程為，將代入可得，又，解得，則，故短軸長為.19.（2023屆浙江省杭州市桐廬中學高三階段性測試）如圖，橢圓：的離心率為，F(xiàn)是的右焦點，點P是上第一角限內任意一點，，，若，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】由于點在橢圓上運動時，與軸的正方向的夾角在變，所以先設，又由，可知，從而可得，而點在橢圓上，所以將點的坐標代入橢圓方程中化簡可得結果．【詳解】設，，，則，由，得，代入橢圓方程，得，化簡得恒成立，由此得，即，故．20.（2023屆云南省下關第一中學高三上學期見面考）已知橢圓過點，離心率為，直線與橢圓交于兩點，過點作，垂足為C點，直線AC與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程；(2)試問是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．【解析】（1）由已知得，解得，所以．（2）由已知，不妨設，則，，所以，，所以，代入橢圓的方程得：，設，則，即，所以，即，所以，即，即，也即為定值．21.（2023屆廣東省六校高三上學期第一次聯(lián)考）橢圓經(jīng)過點且離心率為；直線與橢圓交于A，兩點，且以為直徑的圓過原點.(1)求橢圓的方程；(2)若過原點的直線與橢圓交于兩點，且，求四邊形面積的最大值.【解析】（1）橢圓經(jīng)過點，,橢圓的離心率為，則，即,即，解得，所以橢圓的方程為.（2）當直線斜率不存在時，設以AB為直徑的圓的圓心為，則，則不妨取，故，解得，故方程為，直線過中點，即為軸，得，，故；直線斜率存在時，設其方程為，，，聯(lián)立，可得，則①，②，

③，以為直徑的圓過原點即，化簡可得，將②③兩式代入，整理得，即④，將④式代入①式，得恒成立，則，設線段中點為，由，不妨設，得，又∵，∴，又由，則點坐標為，化簡可得，代回橢圓方程可得即，則，綜上，四邊形面積的最大值為.22.（2022屆云南師范大學附屬中學高三高考適應性月考）已知橢圓：經(jīng)過點，離心率為，為坐標原點.(1)求的方程；(2)設，分別為的左、右頂點，為上一點（不在坐標軸上），直線交軸于點，為直線上一點，且，求證：，，三點共線.【解析】(1)由題意，得，，又因為，所以，，故橢圓的方程為(2)證明：，，設，則，所以直線的方程為，令，得點的坐標為，設，由，得顯然，直線的方程為，將代入，得，即，故直線的斜率存在，且又因為直線的斜率，所以，即，，三點共線．四、高考真題練23.(2022高考全國卷甲)橢圓的左頂點為A,點P,Q均在C上,且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為,則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得,設,則,則,故,又,則,所以,即,所以橢圓的離心率.故選A.24.（2022新高考全國卷1）已知橢圓,C的上頂點為A,兩個焦點為,,離心率為．過且垂直于的直線與C交于D,E兩點,,則的周長是________．【答案】13【解析】∵橢圓的離心率為,∴,∴,∴C的方程可化為,不妨設左焦點為,右焦點為,如圖所示,∵,∴,∴為正三角形,∵過且垂直于的直線與C交于D,E兩點,為線段的垂直平分線,直線的方程：,代入橢圓方程,整理化簡得,∴,∴,得,∵為線段的垂直平分線,根據(jù)對稱性,,∴的周長等于的周長,利用橢圓的定義得周長為.25.（2022新高考全國卷2）已知直線l與橢圓在第一象限交于A,B兩點,l與x軸,y軸分別交于M,N兩點,且,則l的方程為_______．【答案】【解析】解法一：設的中點為,因為,所以,設,,則,,所以,即所以,即,設直線,,,令得,令得,即,,所以,即,解得或（舍去）,又,即,解得或（舍去）,所以直線,即解法二：,設的中點為,則,設,,則,,所以,即所以,即,所以,由得,兩式聯(lián)立解得,所以所以直線AB方程為,即26.（2022高考全國卷乙）已知橢圓E的中心為坐標原點,對稱軸為x軸、y軸,且過兩點．（1）求E的方程；（2）設過點的直線交E于M,N兩點,過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,點H滿足．證明：直線HN過定點．【解析】（1）設橢圓E的方程為,過,則,解得,,所以橢圓E方程為：.（2）,所以,①若過點的直線斜率不存在,直線.代入,可得,,代入AB方程,可得,由得到.求得HN方程：,過點.②若過點的直線斜率存在,設.聯(lián)立得,可得,,且聯(lián)立可得可求得此時,將,代入整理得,將代入,得顯然成立,綜上,可得直線HN過定點五、綜合提升練27.已知橢圓E:的左焦點為F，過點P(2，t)作橢圓E的切線PA、PB，切點分別是A、B，則三角形ABF面積最大值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由橢圓方程，知，，設