高考數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)第01講數(shù)列的基本知識與概念(六大題型)(講義)(原卷版+解析)

第01講數(shù)列的基本知識與概念目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．2021年北京卷第10題，4分2020年浙江卷第11題，4分高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是數(shù)列與函數(shù)結合考查單調性、周期性、最值性.知識點一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．（2）數(shù)列與函數(shù)的關系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．知識點二、數(shù)列的分類（1）按照項數(shù)有限和無限分：（2）按單調性來分：知識點三、數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．【解題方法總結】（1）若數(shù)列的前項和為，通項公式為，則注意：根據(jù)求時，不要忽視對的驗證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則題型一：數(shù)列的周期性例1．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，已知，，，且，則（

）A． B． C． D．例2．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，對所有的正整數(shù)都有，則（

）A．

B．

C．

D．例3．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的第100項為（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式1．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．1變式2．（2023·全國·高三對口高考）設函數(shù)定義如下，數(shù)列滿足，且對任意自然數(shù)均有，則的值為（

）x1234541352A．1 B．2 C．4 D．5變式3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）在數(shù)列中，已知，當時，是的個位數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1變式4．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．4【解題方法總結】解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．題型二：數(shù)列的單調性例4．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）設數(shù)列的前n項和為，則“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不是充分也不是必要條件例5．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若存在實數(shù)，使單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5．（2023·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學?？奸_學考試）數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式7．（2023·江蘇南通·高三期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式9．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前n項和，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【解題方法總結】解決數(shù)列的單調性問題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關系進行判斷數(shù)形結合法結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷題型三：數(shù)列的最大（?。╉椑?．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學校考模擬預測）數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項等于______.例8．（2023·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前n項和，若，則的最小值為______．例9．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為_________變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項，則k的取值范圍為______．變式11．（2023·高三課時練習）數(shù)列的通項公式為若是中的最大項，則a的取值范圍是______．變式12．（2023·北京·高三北京八中?？茧A段練習）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項的值是__________．變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知，若數(shù)列中最小項為第3項，則______．變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，則的最小值為___________.【解題方法總結】求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當x∈N*時所對應的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進而求出數(shù)列的最大（?。╉棧?）通過通項公式研究數(shù)列的單調性，利用確定最大項，利用確定最小項．（3）比較法：若有或時，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項為；若有或時，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項為．題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題例10．（2023·全國·高三專題練習）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．110 B．128 C．144 D．89例11．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）我國南宋數(shù)學家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14例12．（2023·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為.記第n個k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：，可以推測的表達式，由此計算（

）A．4020 B．4010 C．4210 D．4120變式15．（2023·全國·高三專題練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（

）A．28 B．36 C．45 D．55變式16．（2023·全國·高三專題練習）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開始用數(shù)字來表達這個世界．在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之數(shù)五十”進行了一系列推論，用來解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖．該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數(shù)列為，則（

）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024變式17．（2023·全國·高三專題練習）觀察下列各式：；；；；；則（

）A．28 B．76 C．123 D．10變式18．（2023·全國·高三專題練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列．類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（）A．36 B．25 C．49 D．64【解題方法總結】特殊值法、列舉法找規(guī)律題型五：數(shù)列的恒成立問題例13．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式，前n項和是，對于，都有，則k＝______．例14．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若恒成立，則實數(shù)k的最小值為______．例15．（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習）數(shù)列滿足(，且)，，對于任意有恒成立，則的取值范圍是___________.變式19．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．變式20．（2023·河北唐山·高三唐山一中校考階段練習）數(shù)列滿足，，若不等式，對任何正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解題方法總結】分離參數(shù)，轉化為最值問題．題型六：遞推數(shù)列問題例16．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2009項之和為______.例17．（2023·全國·高三專題練習）正項數(shù)列中，，，猜想通項公式為_________．例18．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）數(shù)列滿足，，寫出一個符合上述條件的數(shù)列的通項公式______.變式21．（2023·全國·模擬預測）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領域也有著廣泛的應用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第______項．變式22．（2023·全國·高三專題練習）將一個2021邊形的每個頂點染為紅、藍、綠三種顏色之一，使得相鄰頂點的顏色互不相同．問：有多少種滿足條件的染色方法？變式23．（2023·全國·高三專題練習）已知平面上有n條直線，其中任意兩條不平行，任何三條不共線．問：這些直線把平面分成多少個部分？其中有多少個部分是無界的？變式24．（2023·全國·高三專題練習）（1）學生甲手里有一枚質地均勻的硬幣，他投擲10次，不連續(xù)出現(xiàn)正面的可能情形有多少種？（2）用1，2，3，4四個數(shù)字組成一個6位數(shù)，要求不允許兩個1緊挨在一起，那么可以組成多少個不同的6位數(shù)？1．（2021?北京）已知是各項為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為A．9 B．10 C．11 D．122．（2018?上海）設為數(shù)列的前項和，“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．（2020?浙江）已知數(shù)列滿足，則．

第01講數(shù)列的基本知識與概念目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．2021年北京卷第10題，4分2020年浙江卷第11題，4分高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是數(shù)列與函數(shù)結合考查單調性、周期性、最值性.知識點一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．（2）數(shù)列與函數(shù)的關系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．知識點二、數(shù)列的分類（1）按照項數(shù)有限和無限分：（2）按單調性來分：知識點三、數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．【解題方法總結】（1）若數(shù)列的前項和為，通項公式為，則注意：根據(jù)求時，不要忽視對的驗證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則題型一：數(shù)列的周期性例1．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，已知，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，因為，所以，整理得，由于，解得，從而，，可知，因為，所以．故選：C．例2．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，對所有的正整數(shù)都有，則（

）A．

B．

C．

D．【答案】B【解析】由得，兩式相加得，，是以6為周期的數(shù)列，而，.故選：B.例3．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的第100項為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由題意有，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構成一個新數(shù)列，則，，，，，，，，，則數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，則，則數(shù)列的第100項為3，故選：．變式1．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【解析】數(shù)列中，，可知，，，故數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，所以.故選：A變式2．（2023·全國·高三對口高考）設函數(shù)定義如下，數(shù)列滿足，且對任意自然數(shù)均有，則的值為（

）x1234541352A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】由對任意自然數(shù)均有，且，可得，，，，，，所以數(shù)列是項為周期的周期數(shù)列，且前四項分別為，所以.故選：B.變式3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）在數(shù)列中，已知，當時，是的個位數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】因為，當時，是的個位數(shù)，所以，，，，，，，，，，可知數(shù)列中，從第3項開始有，即當時，的值以6為周期呈周期性變化，又，故.故選：C.變式4．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】因為，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，，所以數(shù)列的周期為，則.故選：C【解題方法總結】解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．題型二：數(shù)列的單調性例4．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）設數(shù)列的前n項和為，則“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不是充分也不是必要條件【答案】A【解析】數(shù)列中，對任意，，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；當數(shù)列為遞增數(shù)列時，，即，所以，，如數(shù)列不滿足題意，必要性不成立；所以“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A例5．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若存在實數(shù)，使單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由單調遞增，得，由，得，∴.時，得①，時，得，即②，若，②式不成立，不合題意；若，②式等價為，與①式矛盾，不合題意.綜上，排除B，C，D.故選：A例6．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，兩式相減可得，則，當時，可得滿足上式，故，所以，因數(shù)列為單調遞增數(shù)列，即，則整理得，令，則，當時，，當時，，于是得是數(shù)列的最大項，即當時，取得最大值，從而得，所以的取值范圍為．故選：A變式5．（2023·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學校考開學考試）數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】B【解析】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價于對任意恒成立，即對任意恒成立，因為，且可以無限接近于0，所以，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若數(shù)列為遞增數(shù)列，則，即由，所以有，反之，當時，，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充要條件，故選：C.變式7．（2023·江蘇南通·高三期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實數(shù)t的取值范圍為，故選：C變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是遞增數(shù)列，所以，即．如圖所示，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知，當時，，且．故當時，，且，依此類推可得，滿足是遞增數(shù)列，即的取值范圍是．故選:A.變式9．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前n項和，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，當時，，故可知當時，單調遞減，故為遞減數(shù)列，只需滿足，即．故選：A【解題方法總結】解決數(shù)列的單調性問題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關系進行判斷數(shù)形結合法結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷題型三：數(shù)列的最大（?。╉椑?．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學?？寄M預測）數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項等于______.【答案】/1.75【解析】數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構成一個新數(shù)列為：，該數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以因為所以當時，，即，又，所以數(shù)列的最大項為第二項，其值為.故答案為：.例8．（2023·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前n項和，若，則的最小值為______．【答案】【解析】依題意，數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則，于是，令，則有，顯然當時，，即，因此當時，數(shù)列是遞增的，又，所以的最小值為.故答案為：例9．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為_________【答案】9【解析】由已知可得，，所以當時，有.則有，，，，兩邊分別相加可得，，所以.當時，滿足條件.所以，，所以.設，根據(jù)對勾函數(shù)的性質可知，當時，單調遞減；當時，單調遞增.又，，所以，當或時，有最小值為9.故答案為：9.變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項，則k的取值范圍為______．【答案】【解析】因為，所以，又，，所以是首項為64，公比為k的等比數(shù)列，則，則，因為是唯一的最大項，所以，即，解得，即k的取值范圍為.故答案為：.變式11．（2023·高三課時練習）數(shù)列的通項公式為若是中的最大項，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】當時，單調遞增，因此時，取得最大值為，當時，，因為是中的最大項，所以解得，故答案為:.變式12．（2023·北京·高三北京八中校考階段練習）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項的值是__________．【答案】【解析】設，則該數(shù)列當時，取最大值，又因為，而，故當或時，此數(shù)列取最大項，其值為，，故此數(shù)列最大項的值是：故答案為：變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知，若數(shù)列中最小項為第3項，則______．【答案】【解析】因為開口向上，對稱軸為，則由題意知，所以．故答案為：.變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，則的最小值為___________.【答案】/【解析】因為，易知數(shù)列為遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項為，即最小值為.故答案為：【解題方法總結】求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當x∈N*時所對應的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進而求出數(shù)列的最大（?。╉棧?）通過通項公式研究數(shù)列的單調性，利用確定最大項，利用確定最小項．（3）比較法：若有或時，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項為；若有或時，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項為．題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題例10．（2023·全國·高三專題練習）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．110 B．128 C．144 D．89【解析】已知表示第n行中的黑圈個數(shù)，設表示第n行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和2個黑圈，所以，，又因為，，所以，；，；，；，；，；．故選：C.例11．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）我國南宋數(shù)學家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14【解析】由題意可知：若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1，2，3，4，...，可以看成構成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，可得當，所有項的個數(shù)和為55，第56項為12，故選：B.例12．（2023·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為.記第n個k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：，可以推測的表達式，由此計算（

）A．4020 B．4010 C．4210 D．4120【解析】由題意可得：，，，.由此可歸納，所以，故選：B.變式15．（2023·全國·高三專題練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（

）A．28 B．36 C．45 D．55【解析】由題意可得，三角數(shù)列的通項為，則三角數(shù)列的前若干項為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….，設正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為，則，其前若干項為1，4，9，16，25，36，49，…，∴在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是36.故選：B.變式16．（2023·全國·高三專題練習）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開始用數(shù)字來表達這個世界．在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之數(shù)五十”進行了一系列推論，用來解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖．該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數(shù)列為，則（

）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【解析】由題設中的數(shù)據(jù)可知數(shù)列滿足：，，故，故選：B．變式17．（2023·全國·高三專題練習）觀察下列各式：；；；；；則（

）A．28 B．76 C．123 D．10【解析】設則通過觀察不難發(fā)現(xiàn)：從而故，故選：C.變式18．（2023·全國·高三專題練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列．類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（）A．36 B．25 C．49 D．64【解析】由題意可得，三角數(shù)列的通項為，則三角數(shù)列的前若干項為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…，設正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為，則，其前若干項為1，4，9，16，25，36，49，…，∴在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是36．故選：A．【解題方法總結】特殊值法、列舉法找規(guī)律題型五：數(shù)列的恒成立問題例13．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式，前n項和是，對于，都有，則k＝______．【答案】5【解析】如圖，為和的圖象，設兩個交點為，，因為，所以，因為，，所以，結合圖象可得，當時，，即，當時，，即，所以當時，取得最大值，即.故答案為：5.例14．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若恒成立，則實數(shù)k的最小值為______．【答案】/1.5【解析】∵，∴數(shù)列為單調遞減數(shù)列，．從而，即k的最小值為．故答案為：例15．（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習）數(shù)列滿足(，且)，，對于任意有恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】從而可得即，因為，所以.故答案為：變式19．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，∵不等式恒成立，∴，解得，故選：B．變式20．（2023·河北唐山·高三唐山一中?？茧A段練習）數(shù)列滿足，，若不等式，對任何正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，由此可知，所以，所以，對任何正整數(shù)恒成立，即．考點：數(shù)列與不等式．【解題方法總結】分離參數(shù)，轉化為最值問題．題型六：遞推數(shù)列問題例16．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2009項之和為______.【答案】/【解析】由，得，則，，∴數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，.由可得，，.故答案為：.例17．（2023·全國·高三專題練習）正項數(shù)列中，，，猜想通項公式為_________．【答案】【解析】方法一:由得，所以為等差數(shù)列，且公差為3，首項為1，故，故，方法二：由得，，由此可猜想故答案為：例18．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）數(shù)列滿足，，寫出一個符合上述條件的數(shù)列的通項公式______.【答案】（答案不唯一）【解析】由得：，則當時，，，故滿足遞推關系，又，滿足，滿足條件的數(shù)列的一個通項公式為：.故答案為：（答案不唯一）.變式21．（2023·全國·模擬預測）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領域也有著廣泛的應用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第______項．【答案】【解析】由可得.故答案為：.變式2