復(fù)習(xí)09概率（九大考點(diǎn)）（原卷版）

復(fù)習(xí)09概率一、隨機(jī)抽樣1.統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念名稱定義總體調(diào)查對(duì)象的全體稱為整體個(gè)體組成整體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象稱為個(gè)體樣本從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為樣本一、有限樣本空間與隨機(jī)事件1.隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱試驗(yàn),常用字母表示.隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特點(diǎn):（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè);（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.2.試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和樣本空間項(xiàng)目定義字母表示樣本點(diǎn)我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)用表示樣本點(diǎn)樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間用表示樣本空間有限樣本空間如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果則稱樣本空間為有限樣本空間3.三種事件的定義隨機(jī)事件我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件,并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫(xiě)字母表示.在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱為事件發(fā)生必然事件作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生,所以總會(huì)發(fā)生,我們稱為必然事件不可能事件空集不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,我們稱為不可能事件二、事件的關(guān)系和運(yùn)算1.事件的包含關(guān)系定義一般地,若事件發(fā)生,則事件一定發(fā)生,我們就稱事件包含事件(或事件包含于事件)含義發(fā)生導(dǎo)致發(fā)生符號(hào)表示(或)圖形表示特殊情況如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,則稱事件與事件相等,記作2.并事件(或和事件)定義一般地,事件與事件至少有一個(gè)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件中,或者在事件中,我們稱這個(gè)事件為事件與事件的并事件(或和事件)含義與至少有一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示(或)圖形表示3.交事件(或積事件)定義一般地,事件與事件同時(shí)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件中,也在事件中,我們稱這樣的一個(gè)事件為事件與事件的交事件(或積事件)含義與同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示(或)圖形表示4.互斥事件(或互不相容事件)定義一般地,如果事件與事件不能同時(shí)發(fā)生,也就是說(shuō)是一個(gè)不可能事件,即,則稱事件與事件互斥(或互不相容)含義與不能同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示圖形表示5.對(duì)立事件定義一般地,如果事件和事件在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，那么稱事件與事件互為對(duì)立.事件的對(duì)立事件記為含義與有且僅有一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示,圖形表示三、古典概型及概率性質(zhì)1.概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值),稱為事件的概率,事件的概率用表示.2.古典概型一般地,如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)(簡(jiǎn)稱為有限性),而且可以認(rèn)為每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等(簡(jiǎn)稱等可能性),則稱這樣的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.3.古典概型概率公式一般地,設(shè)試驗(yàn)是古典概型,樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn),事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn),則定義事件的概率，其中,和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).4.概率的基本性質(zhì)一般地,概率具有如下性質(zhì):性質(zhì)1:對(duì)任意的事件,都有.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即.性質(zhì)3:如果事件與事件互斥,那么.如果事件兩兩互斥,那么事件發(fā)生的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和,即性質(zhì)4:如果事件和事件互為對(duì)立事件,那么性質(zhì)5:如果,那么.性質(zhì)6:設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,我們有.四、相互獨(dú)立對(duì)任意兩個(gè)事件與,如果成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.（1）如果與相互獨(dú)立,則與，與，與也相互獨(dú)立.（2）與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率的計(jì)算公式如下表:事件相互獨(dú)立概率計(jì)算公式同時(shí)發(fā)生同時(shí)不發(fā)生至少有一個(gè)不發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生恰有一個(gè)發(fā)生五、頻率與概率1.頻率的穩(wěn)定性大量試驗(yàn)證明,在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中,一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大,頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小,即事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率估計(jì)概率2.隨機(jī)模擬1.隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù)像彩票搖獎(jiǎng)那樣,把10個(gè)質(zhì)地和大小相同的號(hào)碼球放入搖獎(jiǎng)器中,充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球,這個(gè)球上的號(hào)碼就稱為隨機(jī)數(shù).計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的,具有周期性(周期很長(zhǎng)),它們具有類似隨機(jī)數(shù)的性質(zhì),因此計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)不是真正的隨機(jī)數(shù),我們稱為偽隨機(jī)數(shù).2.產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的常用方法：①用計(jì)算器產(chǎn)生;②用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生;③抽簽法.3.隨機(jī)模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來(lái)做模擬試驗(yàn),通過(guò)模擬試驗(yàn)得到的頻率來(lái)估計(jì)概率,這種用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法稱為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡洛方法.考點(diǎn)01 事件的分類及表示【方法點(diǎn)撥】用樣本點(diǎn)表示隨機(jī)事件,首先弄清試驗(yàn)的樣本空間,不重不漏列出所有的樣本點(diǎn).然后找出滿足隨機(jī)事件要求的樣本點(diǎn),從而用這些樣本點(diǎn)組成的集合表示隨機(jī)事件.【例1】下列事件中，必然事件的個(gè)數(shù)是（）①2028年8月18日，北京市不下雨；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在時(shí)結(jié)冰；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號(hào)簽；④向量的模不小于0.A．1 B．2 C．3 D．4【例2】指出下列試驗(yàn)的條件和結(jié)果：(1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)；(2)從裝有大小相同但顏色不同的，，，這4個(gè)球的袋中，任取1個(gè)球；(3)從裝有大小相同但顏色不同的，，，這4個(gè)球的袋中，一次任取2個(gè)球．【變式11】下列事件中，確定性現(xiàn)象的個(gè)數(shù)為（

）①三角形內(nèi)角和為；②三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；③三角形中兩個(gè)內(nèi)角和小于；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊．A．1 B．2C．3 D．4【變式12】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：(1)某人購(gòu)買福利彩票一注，中獎(jiǎng)500萬(wàn)元；(2)三角形的兩邊之和大于第三邊；(3)沒(méi)有空氣和水，人類可以生存下去；(4)從分別標(biāo)有1，2，3，4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號(hào)標(biāo)簽；(5)科學(xué)技術(shù)達(dá)到一定水平后，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”將會(huì)出現(xiàn)．【變式13】甲、乙兩人做出拳游戲（錘、剪、布），用表示結(jié)果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳.(1)寫(xiě)出樣本空間；(2)用集合表示事件“甲贏”；(3)用集合表示事件“平局”.考點(diǎn)02 事件的關(guān)系和運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】（1）事件的包含與相等可以從集合的角度理解,事件的包含關(guān)系就是集合間的子集與真子集的關(guān)系；（2）進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí),一是要緊扣運(yùn)算的定義,二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.【例3】（多選）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒(méi)有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【例4】試驗(yàn)：連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).①事件A表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為5”；②事件B表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為2”；③事件C表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)1”；④事件D表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”.試用樣本點(diǎn)表示下列事件，并指出樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).(1)(2)(3).【變式21】（多選）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，給出以下四個(gè)事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．是必然事件C． D．【變式22】擲一枚骰子，下列事件：擲出奇數(shù)點(diǎn)，擲出偶數(shù)點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)小于.則①；②.【變式23】擲一枚骰子，觀察其向上的點(diǎn)數(shù)，可能得到以下事件：“出現(xiàn)1點(diǎn)”；“出現(xiàn)2點(diǎn)”；“出現(xiàn)4點(diǎn)”；“出現(xiàn)5點(diǎn)”；“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1”；“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”；“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”；“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”.請(qǐng)判斷下列兩個(gè)事件的關(guān)系：（1）BH；（2）DJ；（3）EI；（4）AG.考點(diǎn)03 古典概型【方法點(diǎn)撥】計(jì)算古典概型事件的概率步驟：①算出樣本點(diǎn)的總個(gè)數(shù)n；②求出事件A所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù);③代入公式求出概率.【例5】甲、乙、丙三名同學(xué)相互做傳球訓(xùn)練,第一次由甲將球傳出,每次傳球時(shí),傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一個(gè)人,則次傳球后球在甲手中的概率為（

）A． B． C． D．【例6】一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的前提下，為估計(jì)口袋中黃球的個(gè)數(shù)，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出個(gè)球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復(fù)上述過(guò)程次，共摸出紅球次，根據(jù)上述數(shù)值，估計(jì)口袋中大約有黃球（

）個(gè)．A． B． C． D．【變式31】對(duì)數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，它可以改進(jìn)數(shù)字的計(jì)算方法、提高計(jì)算速度和準(zhǔn)確度.已知，，若從集合M，N中各任取一個(gè)數(shù)x，y，則為整數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【變式32】從集合中任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和不小于的概率是（

）A． B． C． D．【變式33】在①高一或高二學(xué)生的概率為；②高二或高三學(xué)生的概率為；③高三學(xué)生的概率為這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.已知某高中的高一有學(xué)生600人，高二有學(xué)生500人，高三有學(xué)生a人，若從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到___________.(1)求a的值；(2)若按照高一和高三學(xué)生人數(shù)的比例情況，從高一和高三的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人是高三學(xué)生的概率.考點(diǎn)04 互斥與對(duì)立的辨別【方法點(diǎn)撥】設(shè)事件與所含的結(jié)果組成的集合分別為.①若事件件與互斥,則集合;②若事件件與對(duì)立,則集合且.【例7】書(shū)架上有2本數(shù)學(xué)書(shū)和2本語(yǔ)文書(shū)，從這4本書(shū)中任取2本，那么互斥但不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．“至少有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“都是語(yǔ)文書(shū)”B．“至少有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“至多有1本語(yǔ)文書(shū)”C．“恰有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“恰有2本數(shù)學(xué)書(shū)”D．“至多有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“都是語(yǔ)文書(shū)”【例8】撲克牌中的秘密撲克牌有54張，52張正牌表示一年有52個(gè)星期，2張副牌中的大貓代表太陽(yáng)，小貓代表月亮；黑桃、紅桃、方塊、梅花表示春、夏、秋、冬四季，紅色牌代表白晝，黑色牌代表黑夜；每一季13個(gè)星期與撲克牌每一花色13張正好一致，52張牌的點(diǎn)數(shù)相加是364，再加上小貓的一點(diǎn)，是365，與一般年份天數(shù)相同；如果再加上大貓的一點(diǎn)，那就正好是閏年的天數(shù).撲克牌的K、Q、J共有12張，既表示一年有12個(gè)月，又表示太陽(yáng)在一年中經(jīng)過(guò)12個(gè)星座.現(xiàn)從52張撲克牌（除去大貓和小貓）中任抽1張.問(wèn)題（1）“抽出代表夏季的牌”與“抽出代表秋季的牌”是不是互斥事件，是不是對(duì)立事件？（2）“抽出代表白晝的牌”與“抽出代表黑夜的牌”是不是互斥事件，是不是對(duì)立事件？（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”是不是互斥事件，是不是對(duì)立事件？【變式41】（多選）一個(gè)不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球.設(shè)事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一個(gè)黑球”，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．P和R是互斥事件B．P和Q是對(duì)立事件C．Q和R是對(duì)立事件D．Q和R是互斥事件，但不是對(duì)立事件【變式42】一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.將這個(gè)玩具向上拋擲一次，設(shè)事件表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，則（

）A．與是互斥而非對(duì)立事件 B．與是對(duì)立事件C．與是互斥而非對(duì)立事件 D．與是對(duì)立事件【變式43】從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．考點(diǎn)05 求互斥事件與對(duì)立事件的概率【方法點(diǎn)撥】利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣的具體步驟:①給總體中的每個(gè)個(gè)體編號(hào);②在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取某行【例9】袋中有紅球、黑球、黃球、綠球共12個(gè)，它們除顏色外完全相同，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，則得到黑球、黃球、綠球的概率分別是，，.【例10】若事件為兩個(gè)互斥事件，且，有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）①②③④A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【變式51】已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場(chǎng)勞動(dòng)，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為．【變式52】擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率均為，事件表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則一次試驗(yàn)中，事件（表示事件的對(duì)立事件）發(fā)生的概率為.【變式53】為了備戰(zhàn)第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（2024法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)），中國(guó)奧運(yùn)健兒刻苦訓(xùn)練，成績(jī)穩(wěn)步提升．射擊隊(duì)的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如下表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次：(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率．考點(diǎn)06 求獨(dú)立事件的概率【方法點(diǎn)撥】求相互獨(dú)立事件的概率的步驟：①先用字母表示出事件,再分析題中涉及的事件,并把題中涉及的事件分為若干個(gè)彼此互斥事件的和;②求出這些彼此互斥事件的概率;③根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式求出結(jié)果.【例11】某班元旦晚會(huì)中設(shè)置了抽球游戲，盒子中裝有完全相同的3個(gè)白球和3個(gè)紅球.游戲規(guī)則如下：①每次不放回的抽取一個(gè)，直至其中一種顏色的球恰好全部取出時(shí)游戲結(jié)束；②抽取3次完成游戲?yàn)橐坏泉?jiǎng)，抽取4次完成游戲?yàn)槎泉?jiǎng).則甲同學(xué)獲得二等獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．【例12】如圖，一個(gè)電路中有三個(gè)電器元件，每個(gè)元件正常工作的概率均為，這個(gè)電路是通路的概率是（

）A． B． C． D．【變式61】學(xué)生甲想?yún)⒓幽掣咧行Ｋ{(lán)球投籃特長(zhǎng)生考試，測(cè)試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機(jī)會(huì)，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進(jìn)第一球，則直接進(jìn)入下一輪，若第一次沒(méi)有投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則進(jìn)入下一輪，否則不預(yù)錄??；③若他在三分線處投進(jìn)第一球，則直接錄取，若第一次沒(méi)有投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則錄取，否則不預(yù)錄取.已知學(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為，假設(shè)學(xué)生甲每次投進(jìn)與否互不影響.則學(xué)生甲共投籃三次就結(jié)束考試得概率為（

）A． B． C． D．【變式62】某疾病全球發(fā)病率為，該疾病檢測(cè)的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測(cè)的誤診率（未患病者判定為陽(yáng)性的概率）為，則某人檢測(cè)成陽(yáng)性的概率約為（

）A． B． C． D．【變式63】某高校強(qiáng)基計(jì)劃入圍有3道面試題目，若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第3次為止．李想同學(xué)答對(duì)每道題目的概率都是0.6，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的．(1)求李想第二次答題通過(guò)面試的概率；(2)求李想最終通過(guò)面試的概率.考點(diǎn)07 判斷是否為獨(dú)立事件【方法點(diǎn)撥】事件的獨(dú)立性的判斷:①定義法:事件相互獨(dú)立?；②由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件的發(fā)生是否相互影響；【例13】盒中有4個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，第一次在盒中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回.設(shè)事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個(gè)球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個(gè)球中有白球”，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與相互獨(dú)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【例14】下面所給出的兩個(gè)事件與相互獨(dú)立嗎?(1)拋擲一枚骰子，事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”，事件“出現(xiàn)2點(diǎn)”；(2)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，事件“第一枚出現(xiàn)正面”，事件“第二枚出現(xiàn)反面”；(3)在裝有2紅1綠三個(gè)除顏色外完全相同的小球的口袋中，任取一個(gè)小球，觀察顏色后放回袋中，事件“第一次取到綠球”，“第二次取到綠球”．【變式71】（多選）有6個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.用表示第一次取到的小球的標(biāo)號(hào)，用表示第二次取到的小球的標(biāo)號(hào)，記事件：為偶數(shù)，：為偶數(shù)，C：，則（

）A． B．與相互獨(dú)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【變式72】同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說(shuō)法正確的有（

）A．事件A與事件B對(duì)立 B．事件A與事件B相互獨(dú)立C．事件A與事件C相互獨(dú)立 D．【變式73】一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異．(1)采取不放回的方式從袋中依次任意摸出兩球，設(shè)事件“兩次摸出球的標(biāo)號(hào)之和大于5”，寫(xiě)出等可能性的樣本空間并求事件發(fā)生的概率；(2)采取有放回的方式從袋中依次任意摸出兩球，設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)是奇數(shù)”，設(shè)事件“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)是偶數(shù)”，那么事件與事件是否相互獨(dú)立？考點(diǎn)08 頻率與概率【方法點(diǎn)撥】頻率是事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值,利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機(jī)變量,當(dāng)很大時(shí),頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng),這個(gè)穩(wěn)定值就是概率.【例15】?jī)擅瑢W(xué)在一次用頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)是（

）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率；B．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率；C．轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；D．從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概率．【例16】對(duì)一批西裝進(jìn)行了多次檢查，并記錄結(jié)果如下表：抽取件數(shù)50100150200300400檢出次品件數(shù)579152130檢出次品頻率(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算并填寫(xiě)每次檢出次品的頻率；(2)從這批西裝中任意抽取一件，抽到次品的經(jīng)驗(yàn)概率是多少？(3)如果要銷售1000件西裝，至少要額外準(zhǔn)備多少件正品西裝以供買到次品的顧客調(diào)換？【變式81】一個(gè)盒子中有若干白色圍棋子，為了估計(jì)其中圍棋子的數(shù)目，小明將100顆黑色圍棋子放入其中，充分?jǐn)嚢韬箅S機(jī)抽出了20顆，數(shù)得其中有5顆黑色圍棋子，根據(jù)這些信息可以估計(jì)白色圍棋子的數(shù)目為顆．【變式82】欲利用隨機(jī)數(shù)表從00，01，02，…，59這些編號(hào)中抽取一個(gè)容量為6的樣本，抽取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表的第1行第11列開(kāi)始向右讀取，每次讀取兩位，直到取足樣本，則第4個(gè)被抽取的樣本的編號(hào)為【變式83】某商場(chǎng)設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)（如圖所示），并規(guī)定：顧客購(gòu)物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域（不考慮指針落在分界線上的情況）就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)m68111136345564701落在“鉛筆”區(qū)域的頻率(1)計(jì)算并完成表格；(2)請(qǐng)估計(jì)，當(dāng)n很大時(shí)，落在“鉛筆”區(qū)域的頻率將會(huì)接近多少？(3)假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，你獲得鉛筆的概率約是多少？考點(diǎn)09 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合【例17】某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號(hào)電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”，收集了使用該型號(hào)電動(dòng)汽車年以上的部分客戶的數(shù)據(jù)，得到他們的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”.從年齡在歲以下的客戶中抽取位歸為組，從年齡在歲（含歲）以上的客戶中抽取位歸為組，將他們的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成如下莖葉圖:注：“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動(dòng)汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值.(1)分別求出組客戶與組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值；(2)在兩組客戶中，從“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”大于的客戶中各隨機(jī)抽取位客戶，求組客戶的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于組客戶的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的概率(3)試比較兩組客戶數(shù)據(jù)方差的大小.（結(jié)論不要求證明）【例18】為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），高一年級(jí)某班班主任對(duì)本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：(1)①求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)；②用分層抽樣的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立學(xué)習(xí)小組，再?gòu)脑撔〗M派3人接受檢測(cè)，求檢測(cè)的3人來(lái)自同一區(qū)間的概率.(2)①估計(jì)這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的25%分位數(shù)；②將該班學(xué)生周末學(xué)習(xí)時(shí)間從低到高排列，那么估計(jì)第10名同學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)；【變式91】某保險(xiǎn)公司決定每月給推銷員確定個(gè)具體的銷售目標(biāo)，對(duì)推銷員實(shí)行目標(biāo)管理.銷售目標(biāo)確定的適當(dāng)與否，直接影響公司的經(jīng)濟(jì)效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當(dāng)月隨機(jī)抽取了50位推銷員上個(gè)月的月銷售額（單位：萬(wàn)元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

求：(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出月銷售額在小組內(nèi)的頻率，并根據(jù)直方圖估計(jì)，月銷售目標(biāo)定為多少萬(wàn)元時(shí)，能夠使的推銷員完成任務(wù).(2)該公司決定從月銷售額為和的兩個(gè)小組中，選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗(yàn)，求選出的推銷員來(lái)自不同小組的概率.(3)第一組中推銷員的銷售金額的平均數(shù)為13，方差1.96，第七組中推銷員的銷售金額的平均數(shù)為25，方差3.16，求這兩組中所有推銷員的銷售金額的平均數(shù)，方差.【變式92】為迎接第二屆湖南旅發(fā)大會(huì)，郴州某校舉辦“走遍五大洲，最美有郴州”知識(shí)能力測(cè)評(píng)，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)直方圖，估計(jì)這次知識(shí)能力測(cè)評(píng)的平均數(shù)；(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從，兩個(gè)區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，再?gòu)倪@4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間的概率；(3)學(xué)校決定從知識(shí)能力測(cè)評(píng)中抽出成績(jī)最好的兩個(gè)同學(xué)甲乙進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)知識(shí)搶答賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得1分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的人獲得冠軍．已知甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲至少得1分的概率是，甲乙兩人誰(shuí)獲得最終勝利的可能性大？并說(shuō)明理由．【變式93】某學(xué)校開(kāi)展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)若從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績(jī)，求5人中成績(jī)不高于50分的人數(shù)；(2)以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)以及中位數(shù)；(3)若學(xué)校安排甲、乙兩位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，甲、乙是否獲優(yōu)秀等級(jí)互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率．一、單選題1．某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃訓(xùn)練，連續(xù)投籃兩次，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩次都投中”，事件B表示隨機(jī)事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一次投中”，事件D表示隨機(jī)事件“至少有一次投中”，則下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．2．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（

）A．與互為對(duì)立事件 B．與互斥C．與相等 D．3．保險(xiǎn)柜的密碼由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四個(gè)數(shù)字組成，假設(shè)一個(gè)人記不清自己的保險(xiǎn)柜密碼，只記得密碼全部由奇數(shù)組成且按照遞增順序排列，則最多輸入2次就能開(kāi)鎖的概率是（

）A． B． C． D．4．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“向上的點(diǎn)數(shù)為i”，其中，“向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與B互斥 B． C．與相互獨(dú)立 D．5．已知甲袋中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)小球，乙袋中有標(biāo)號(hào)分別為2，3，4，5的四個(gè)小球，這些球除標(biāo)號(hào)外完全相同，第一次從甲袋中取出一個(gè)小球，第二次從乙袋中取出一個(gè)小球，事件表示“第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為3”，事件表示“第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為偶數(shù)”，事件表示“兩次取出的小球標(biāo)號(hào)之和為7”，事件表示“兩次取出的小球標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)”，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與是互斥事件 C．與是對(duì)立事件 D．與相互獨(dú)立二、多選題6．下列事件是隨機(jī)事件的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．某人給其朋友打，卻忘