立體幾何空間垂直關(guān)系高一下學(xué)期人教A版2019

空間中的垂直關(guān)系知識精講一．線線垂直如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．二.直線與平面垂直1.概念：如果一條直線和一個平面相交于點，并且和這個平面內(nèi)過交點的任何直線都垂直，則稱這條直線與這個平面互相垂直．這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面，交點叫垂足．垂線上任意一點到垂足間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段．垂線段的長度叫做這個點到平面的距離．如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖．直線與平面互相垂直，記作．2.線面垂直的判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直．3.線面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行．直線與平面垂直的性質(zhì)有：（1）一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線．（2）推論1：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面；（3）推論2：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行；（4）垂直于同一直線的兩個平面平行．三．平面與平面垂直1．面面垂直如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，則稱這兩個平面互相垂直．2．平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．可簡述成“線面垂直面面垂直”3．兩平面垂直的性質(zhì)（1）兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．符號表示為：且則定理可簡記為：面面垂直線面垂直（2）定理：兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩相交平面的交線垂直于第三個平面．三點剖析1．線面垂直的判定方法（1）利用判定定理．如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交的直線垂直，那么這條直線就和這個平面垂直，即：要證，只需在內(nèi)找兩條相交直線，證明，從而可得．簡言之，線線垂直線面垂直．（2）作定理用的推論．如果兩條平行線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．（3）用面面垂直的性質(zhì)定理．如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面．（4）作定理用的正確命題．如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么也垂直于另一個平面．2．面面垂直的證明方法（1）證明兩個平面垂直，主要途徑是：①利用面面垂直的定義，即如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直．②面面垂直的判定定理，即如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．（2）證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直線面垂直面面垂直來實現(xiàn)的；因此，在關(guān)于垂直問題的論證中，要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖解題思路：線面垂直與面面垂直最終歸納為線線垂直，證共面的兩直線垂直通常利用勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)；證不共面的兩直線垂直通常利用線面垂直的性質(zhì)或利用之后學(xué)習(xí)的空間向量。直線與平面垂直直線與平面垂直例題1、設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面．給出下列四個命題，其中正確命題的序號是（）①若，，則②若，則③若，則④若，則A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】A【解析】①若，則，是直線和平面垂直的判定，正確；②若，則，推出，滿足直線和平面垂直的判定，正確；③若，則，兩條直線可能相交，也可能異面，不正確．④若，則中與可能相交或異面．④考慮長方體的頂點，與可以相交．不正確．例題2、如圖，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求證：BD⊥平面ACC1A1．【解析】∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1⊥平面ADCD,∴BD⊥CC1∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵AC，CC1平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1．例題3、已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，分別為棱的中點，底面，且直線與直線所成的角為．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求四棱錐的體積．（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得面？請說明理由．【解析】因為分別為正方形的兩邊的中點，所以,所以，為平行四邊形，得，又因為平面，且平面，所以平面．（Ⅱ）因為，所以為直線與所成的角，所以，所以．因為是四棱錐的高，所以，所求體積為（Ⅲ）當(dāng)是中點時，有⊥面．取中點，連，則面．∴，∴，∴面．隨練1、下列命題中錯誤的是（）A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β【答案】D【解析】由題意可知：A、結(jié)合實物：教室的門面與地面垂直，門面的上棱對應(yīng)的直線就與地面平行，故此命題成立；B、假若平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，根據(jù)面面垂直的判定定理可知兩平面垂直．故此命題成立；C、結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可以分別在α、β內(nèi)作異于l的直線垂直于交線，再由線面垂直的性質(zhì)定理可知所作的垂線平行，進(jìn)而得到線面平行再由線面平行的性質(zhì)可知所作的直線與l平行，又∵兩條平行線中的一條垂直于平面那么另一條也垂直于平面，故命題成立；D、舉反例：教室內(nèi)側(cè)墻面與地面垂直，而側(cè)墻面內(nèi)有很多直線是不垂直與地面的．故此命題錯誤．故選D．隨練2、如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EFBC．（答案圖）證明FO∥平面CDE；（II）設(shè)BC=CD，證明EO⊥平面CDF．【解析】（I）證明：取CD中點M，連接OM．EM．在矩形ABCD中，OMBC，又EFBC，則EFOM．于是四邊形EFOM為平行四邊形．∴FO∥EM．又因為FO不在平面CDE，且EM?平面CDE，∴FO∥平面CDE．（II）證明：連接FM．由（I）和已知條件，在等邊△CDE中，CM=DM，EM⊥CD且EM=CD=BC=EF．因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM．∵CD⊥OM，CD⊥EM，∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO．而FM∩CD=M，所以EO⊥平面CDF．隨練3、如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1中點．（1）求證C1D⊥平面A1B；（2）當(dāng)點F在BB1上什么位置時，會使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．【解析】（1）證明：∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．又D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1．∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B．（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延長DE交BB1于F，連結(jié)C1F，則AB1⊥平面C1DF，點F即為所求．事實上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DFC1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF隨練4、如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．求證：平面【解析】在梯形中，∵，，，∴，∴，∴，∵平面平面，平面∩平面，?平面，∴平面．平面與平面垂直例題1、如圖，為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA．【解析】（1）如圖，取EC中點F，連結(jié)DF．∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，得DB⊥平面ABC．∴DB⊥AB，EC⊥BC．∵BD∥CE，BD＝CE＝FC，則四邊形FCBD是矩形，DF⊥EC．又BA＝BC＝DF，∴，所以DE＝DA．（2）取AC中點N，連結(jié)MN、NB，∵M(jìn)是EA的中點，∴MNEC．由BDEC，且BD⊥平面ABC，可得四邊形MNBD是矩形，于是DM⊥MN．∵DE＝DA，M是EA的中點，∴DM⊥EA．又EAMN＝M，∴DM⊥平面ECA，而DM平面BDM，則平面ECA⊥平面BDM．（3）∵DM⊥平面ECA，DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．例題2、如圖，已知：在菱形中，，底面，，分別是與的中點．求證：；（2）求證：平面；

（3）在線段上是否存在一點，使平面PDM？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．【解析】（1）連接，則．∵平面∴又與相交于∴平面∴（2）取的中點，連接，則四邊形是平行四邊形．∴，又?平面，?平面，∴平面．（3）當(dāng)是的中點時，可使平面，∵，是的中點∴∵菱形中，∴中，又∴∵底面∴∴平面∴又∴平面射影問題例題1、如圖，正方形所在平面，過作與垂直的平面分別交、、于、K、，求證：、分別是點在直線和上的射影．【解析】∵面，∴，∵為正方形，∴，∵與相交，∴面，面，∴．由已知面，且面，∴，∵，∴面，面，∴，即為點在直線上的射影例題2、如圖，在棱長為的正方體中，是側(cè)棱上的一點，．（1）試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論．【解析】（1）連，設(shè)與相交于點與平面相交于點，連結(jié)，因為平面，平面∩平面，故，所以又，所以平面，故是與平面所成的角．在中，，即．所以，當(dāng)時，直線與平面所成的角的正切值為．（2）可以推測，點應(yīng)當(dāng)是的中點，因為,且，所以平面，又平面，故．那么根據(jù)三垂線定理知，在平面的射影與垂直．拓展拓展1、在長方體中，，點為上的點，且．求證：平面．【解析】由長方體的性質(zhì)可得平面，．再根據(jù)，可得，故有，，即．再利用直線和平面垂直的判定定理證得平面．在長方體中，由于平面，而平面，∴．設(shè)，顯然．由于，點為上的點，且，設(shè)，則,直角三角形中，，直角三角形中，，∴，∴，∴∴．平面拓展2、給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是（）A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④【答案】D【解析】①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；如果這兩條直線平行，可能得到兩個平面相交，所以不正確．②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；這是判定定理，正確．③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；可能是異面直線．不正確．④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．正確．故選D．拓展3、已知：三棱錐，