專題1.9 有理數(shù)（全章知識梳理與考點分類講解）（人教版）（解析版）

專題1.9有理數(shù)（全章知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】有理數(shù)（1）整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).（2）有理數(shù)的分類：①②0-10-1-2-3123越來越大數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向、單位長度的一條直線.【知識點三】相反數(shù)（1）只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)；互為相反數(shù)，0的相反數(shù)0;（2）注意：a-b+c的相反數(shù)是-a+b-c；a+b的相反數(shù)是-a-b；【知識點四】絕對值(1)數(shù)軸上一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值，用“||”表示。(2)絕對值可表示為：或；(3)①非負(fù)性：|a|≥0②|a|=|-a|③若|a|=b則a=±b④；.【知識點五】有理數(shù)的大小比較比較兩個負(fù)數(shù)的大小，絕對值大的反而小。比較兩個負(fù)數(shù)的大小的步驟如下：①先求出兩個數(shù)負(fù)數(shù)的絕對值；②比較兩個絕對值的大?。虎鄹鶕?jù)“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】正負(fù)數(shù)的意義【例1】一個物體沿著東西兩個相反的方向運動，如果把向東的方向規(guī)定為正方向，那么向東運動5m，向西運動各應(yīng)記作什么？運動了6m，運動了，運動了0m各表示什么意義？【答案】向西運動米怎樣表示米；運動0m米表示物體沒有運動．解：分析：利用向東前進記為“＋”，向西前進記為“?”，再根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，可得結(jié)果．解：一個物體沿東西兩個相反的方向運動時可以用正負(fù)數(shù)表示它們的運動，如果向東運動5米記作＋5米，那么向西運動6.8米怎樣表示?6.8米；如果運動6m米表示物體向東運動6米，運動?15m米表示物體向西運動15米，運動0m米表示物體沒有運動．點撥：本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)，正確理解正負(fù)數(shù)表示相反意義的量是解題關(guān)鍵．【變式1】下列說法錯誤的是（

）．A．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)B．零上6攝氏度可以寫成＋6℃，也可以寫成6℃C．向東走一定用正數(shù)表示，向西走一定用負(fù)數(shù)表示【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念和性質(zhì)判斷即可．解：∵0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，∵零上6攝氏度可以寫成＋6℃，也可以寫成6℃，∴B正確，不符合題意；∵正方向可以自主確定，∴向東走一定用正數(shù)表示，向西走一定用負(fù)數(shù)表示，是錯誤的，∴C不正確，符合題意；故選C．【點撥】本題考查了有理數(shù)的基本概念，熟練掌握有理數(shù)的基本概念是解題的關(guān)鍵．【變式2】某登山隊從大本營出發(fā)，在向上攀登的過程中，測得所在位置的氣溫y℃與向上攀登的高度xkm的幾組對應(yīng)值如表：若每向上攀登1km，所在位置的氣溫下降幅度基本一致，則向上攀登的海拔高度為2.5km時，登山隊所在位置的氣溫約為．【答案】-10【分析】根據(jù)題意和表格中各個數(shù)據(jù)的變化規(guī)律即可推測向上攀登的海拔高度為2.5km時，登山隊所在位置的氣溫大于是多少．解：由表格中的數(shù)據(jù)可知，每上升0.5km，溫度大約下降3℃，∴向上攀登的海拔高度為2.5km時，登山隊所在位置的氣溫約為﹣10℃，故答案為﹣10．【點撥】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確正數(shù)和負(fù)數(shù)在題目中的實際意義，此題答案不唯一，在﹣10.8≤t≤﹣9.6范圍內(nèi)即可．【題型2】有理數(shù)的分類【例2】（23-24六年級上·山東威?！て谥校┱埌严铝懈鲾?shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，，，，，，，，，，正數(shù)集合：{…}整數(shù)集合：{…}正分?jǐn)?shù)集合：{…}非負(fù)整數(shù)集合：{…}【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、非負(fù)整數(shù)的定義進行分類即可．解：正數(shù)集合：，，，，，；整數(shù)集合：，，，；正分?jǐn)?shù)集合：，，，；非負(fù)整數(shù)集合：，．【變式1】下列說法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，其中正確的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類依此作出判斷，即可得出答案．解：①、0是最小的整數(shù)，說法錯誤，因為整數(shù)有正、負(fù)、0之分；②、一個有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，說法錯誤，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；③、非負(fù)數(shù)指的是正數(shù)和0，說法錯誤；④、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，說法正確；故選：D．【點撥】本題考查了有理數(shù)的分類以及正數(shù)負(fù)數(shù)的有關(guān)概念，正確理解有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級上·四川樂山·階段練習(xí)）將下列數(shù)分類：，12，，，，0，，．正有理數(shù)集合{…}；非負(fù)整數(shù)集合{…}；負(fù)分?jǐn)?shù)集合{…}．【答案】12，，，12，，0，【分析】本題主要考查了有理數(shù)的相關(guān)定義，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．化簡各數(shù)，進而分別利用正有理數(shù)、非負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)分析，再分類填寫．解：正有理數(shù)集合{12，，，…}；非負(fù)整數(shù)集合{12，，0…}；負(fù)分?jǐn)?shù)集合{，…}．故答案為：12，，，；

12，，0；，．【題型3】數(shù)軸（數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用）【例3】（23-24七年級上·山西臨汾·階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是4．（1）在數(shù)軸上標(biāo)出原點O．（2）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并按從小到大的順序用“”連接起來．2.5，，，【答案】(1)見解析(2)見解析，【分析】本題主要考查在數(shù)軸上表示有理數(shù)以及有理數(shù)的大小比較：（1）根據(jù)點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是4找出原點即可；（2）把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，從左到右用“＜”連接起來即可．解：（1）解：原點O如圖，（2）解：，各點在數(shù)軸上表示為：故．【變式1】（2024·河北唐山·一模）如圖，點，對應(yīng)的數(shù)分別為，，對于結(jié)論：①；②；③．下列說法正確的是（

）A．僅①②對 B．僅①③對 C．僅②對 D．①②③都對【答案】D【分析】本題考查了數(shù)軸，熟悉掌握從數(shù)軸上提取信息是解題的關(guān)鍵；根據(jù)數(shù)軸得到，，，逐一判斷即可．解：由題意可得：，，，①，正確；②，正確；③，正確；故選：D．【變式2】（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知有理數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，那么下列結(jié)論正確的有（填序號）．①；②；③【答案】①②/②①【分析】本題考查了根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)，由數(shù)軸可知：，即可求解．解：由數(shù)軸可知：，∴，故①②正確，③錯誤，故答案為：①②．【題型4】數(shù)軸與相反數(shù)【例4】（23-24七年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）給出下列6個數(shù)：，，0，，4，，在這些數(shù)中：（1）負(fù)整數(shù)有，互為相反數(shù)的兩個數(shù)是；（2）畫出數(shù)軸，將這些數(shù)表示在數(shù)軸上，并把這些數(shù)用“＜”號連接起來．【答案】(1)，；，；(2)圖見解析，【分析】本題考查了絕對值的意義，用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，相反數(shù)和有理數(shù)的大小比較等知識點，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）先將各數(shù)化簡，再根據(jù)有理數(shù)的分類和相反數(shù)的意義作答即可；（2）先在數(shù)軸上表示出各個數(shù)，再比較即可．解：（1），∴負(fù)整數(shù)有，；互為相反數(shù)的兩個數(shù)是，；故答案為：，；，；（2）如圖所示：故．【變式1】（22-23七年級上·湖北宜昌·期末）如圖，的相反數(shù)在數(shù)軸上的位置為（）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】C【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義可得的相反數(shù)為2，再在數(shù)軸上確定其位置即可．解：的相反數(shù)為2，結(jié)合數(shù)軸可知，2在數(shù)軸上的位置為點，∴的相反數(shù)在數(shù)軸上的位置為點．故選：C．【點撥】本題主要考查了相反數(shù)和數(shù)軸的知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習(xí)）若與互為相反數(shù)，則的值為．【答案】2【分析】此題主要考查相反數(shù)．根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)得，求解即可，解題的關(guān)鍵是熟知相反數(shù)的性質(zhì)．解：∵與互為相反數(shù)，，解得：，故答案為：2．【題型5】絕對值【例5】（23-24七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）有理數(shù)、在數(shù)軸上如圖，（1）在數(shù)軸上表示、；（2）用、或填空：______，______，______，______（3）試用連接，0，，【答案】(1)見解析；(2)，，，；(3)【分析】本題考查了絕對值的性質(zhì)，利用數(shù)軸判斷式子的正負(fù)，有理數(shù)大小比較，掌握有理數(shù)大小比較方法，相反數(shù)的意義，數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上表示出、；（2）根據(jù)數(shù)軸得到，再利用絕對值的意義可得結(jié)論；（3）根據(jù)數(shù)軸得到，，，再判斷式子的正負(fù)和大小．（1）解：與a，與b都是關(guān)于原點對稱的，與在數(shù)軸上的位置如下圖：（2）由圖可知：，，，，，故答案為：，，，；（3），，，，，，，．【變式1】（23-24七年級上·福建莆田·階段練習(xí)）已知與4互為相反數(shù)，的絕對值是最小的正整數(shù)，已知，則的值為（

）A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5【答案】D【分析】先根據(jù)相反數(shù)的定義以及絕對值的定義求得a、b的值，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得m、n的值，然后計算即可．掌握幾個非負(fù)數(shù)的和為零，則每個非負(fù)數(shù)均為零是解題的關(guān)鍵．解：∵與4互為相反數(shù)，的絕對值是最小的正整數(shù)，∴，∵，∴或，又∵，或，，∴或，∴或，∴或，∴的值為3或5．故選：D．【變式2】（23-24七年級上·四川成都·期末）如果，那么的值為．【答案】【分析】本題考查絕對值的非負(fù)性，根據(jù)絕對值的非負(fù)性求出、的值，再代入計算即可．解：，，，，解得，，．故答案為：．【題型6】數(shù)軸上的動點問題【例6】（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）我們知道，在數(shù)軸上，表示數(shù)a到原點的距離，這是絕對值的幾何意義，進一步地，數(shù)軸上兩個點A、B，分別用a，b表示，那么A、B兩點之間的距離為：．利用此結(jié)論，回答以下問題：（1）數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是______．（2）表示：_________；表示：__________．（3）根據(jù)以上結(jié)論，若，則=__________．【答案】(1)15；（2)數(shù)軸上表示x的點與表示2的點之間的距離；數(shù)軸上表示x的點與表示的點之間的距離；(3)．【分析】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合解決含有絕對值的計算問題，關(guān)鍵是利用數(shù)軸確定算式的結(jié)果；（1）直接根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．代入數(shù)值計算即可求兩點間的距離；（2）根據(jù)兩點間的距離求解即可；（3）比較每個絕對值中數(shù)的大小，根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離化簡即可．解：（1）數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是；故答案為：15；（2）A、B兩點之間的距離為：，表示數(shù)軸上表示x的點與表示2的點之間的距離；表示數(shù)軸上表示x的點與表示的點之間的距離；故答案為：數(shù)軸上表示x的點與表示2的點之間的距離；數(shù)軸上表示x的點與表示的點之間的距離；（3）表示的點之間的距離；表示的點1之間的距離；表示的點m之間的距離；表示的點m之間的距離；表示到點1之間的距離；故答案為：【變式1】（22-23七年級上·廣西南寧·期中）下列四組有理數(shù)大小的比較正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則、絕對值的性質(zhì)、相反數(shù)的意義逐項判斷即可求解，掌握有理數(shù)的大小比較法則和絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：、∵，，，∴，故該選項錯誤，不合題意；、∵，，∴，故該選項錯誤，不合題意；、，故該選項錯誤，不合題意；、∵，，∴，故該選項正確，符合題意；故選：．【變式2】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在數(shù)軸上，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)為，點是數(shù)軸上的動點．點沿數(shù)軸的負(fù)方向運動，在運動過程中，當(dāng)點到點的距離與點到點的距離比是時，點表示的數(shù)是．

【答案】或/或【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題、數(shù)軸上兩點間的距離，可分為“當(dāng)點運動到點右側(cè)時”和“當(dāng)點運動到點左側(cè)時”兩種情況討論，根據(jù)“點到點的距離與點到點的距離比是”，列式計算即可，根據(jù)數(shù)軸得到兩點間的距離是解題的關(guān)鍵．解：∵在點運動過程中，點到點的距離與點到點的距離比是，∴，當(dāng)點運動到點右側(cè)時，，∴此時點表示的數(shù)是；當(dāng)點運動到點左側(cè)時，，∴此時點表示的數(shù)是，綜上所述，點表示的數(shù)是或，故答案為：或．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·內(nèi)蒙古·中考真題）點A在數(shù)軸上，點A所對應(yīng)的數(shù)用表示，且點A到原點的距離等于3，則a的值為（

）A．或1 B．或2 C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義列絕對值方程解答即可．解：由題意得：|2a+1|=3當(dāng)2a+1＞0時，有2a+1=3，解得a=1當(dāng)2a+1＜0時，有2a+1=-3，解得a=-2所以a的值為1或-2．故答案為A．【點撥】本題考查了絕對值的幾何意義，根據(jù)絕對值的幾何意義列出絕對值方程并求解是解答本題的關(guān)鍵．【例2】（2019·山東棗莊·中考真題）點在數(shù)軸上的位置如圖所示，為原點，，．若點所表示的數(shù)為，則點所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和數(shù)軸可以用含a的式子表示出點B表示的數(shù)，本題得以解決．解：為原點，，，點所表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為：，故選．【點撥】本題考查數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2、拓展延伸【例1】解答下列問題（1）若有理數(shù)、滿足，且，求的值．（2）已知有理數(shù)、、的在數(shù)軸上的位置如圖所示，請化簡：．

【答案】（1）6或8．（2）．【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)解得x，y的值，分情況討論得