九下第一章《三角函數》-解析版

一、三角函數的定義1．（2020-2021成都雙流棠湖中學九年級（上）期中·1）（3分）若銳角滿足，則的度數是A． B． C． D．【考點】特殊角的三角函數值【專題】實數；符號意識【分析】直接利用特殊角的三角函數值進而得出答案．【解答】解：，．故選：．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵．2．（2020-2021成都雙流中和中學九年級（上）期中·2）（3分）在中，，，，則的長為A． B．6 C．8 D．10【考點】：銳角三角函數的定義【專題】：解直角三角形及其應用；66：運算能力【分析】設，根據正切的定義用表示出，根據勾股定理計算，得到答案．【解答】解：設，，，，由勾股定理得，，即，解得，，，故選：．【點評】本題考查的是銳角三角函數的定義、勾股定理，掌握銳角的對邊與鄰邊的比叫做的正切是解題的關鍵．3．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·1）（3分）sin30°的值是（）A． B． C． D．【分析】根據特殊角的三角函數值可得答案．【解答】解：sin30°＝，故選：A．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數值，關鍵是掌握30°、45°、60°角的各種三角函數值．4．（2021-2022成都錦江區(qū)嘉祥外國語學校九年級（上）期中·2）（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足為點D，下列四個三角函數正確的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝【分析】利用三角函數的定義解答即可．【解答】解：因為∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，故選：B．【點評】此題考查三角函數的問題，關鍵是利用三角函數的定義解答．5．（2021-2022成都錦江區(qū)嘉祥外國語學校九年級（上）期中·12）（4分）在正方形網格中，三角形ABC的三個頂點都在網格中的格點上，則tan∠B的值為．【分析】連接CD，根據在直角三角形中，正切為對邊比鄰邊，可得答案．【解答】解：連接CD，如圖，由圖可知，D為AB的中點，AC＝BC，∴CD⊥AB，Rt△BDC中，CD＝＝，BD＝＝2，∴tan∠B＝＝＝．【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．二、解直角三角形1．（2021-2022成都青羊區(qū)石室中學九年級（上）期中·7）（3分）如圖，是放置在正方形網格中的一個角，則A． B． C．1 D．【考點】：解直角三角形【專題】：解直角三角形及其應用；69：應用意識【分析】利用等腰直角三角形的性質即可解問題即可．【解答】解：如圖，連接．觀察圖象可知是等腰直角三角形，，，，故選：．【點評】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．2．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·10）（3分）如圖，△ABC的頂點在正方形網格的格點上，則cos∠ACB的值為（）A． B． C． D．【分析】根據圖形得出AD的長，進而利用三角函數解答即可．【解答】解：過A作AD⊥BC于D，∴DC＝1，AD＝3，∴AC＝，∴cos∠ACB＝，故選：D．【點評】此題考查解直角三角形，關鍵是利用三角函數解答．3．（2021-2022成都青羊區(qū)樹德中學九年級（上）期中·10）（3分）如圖，在平面直角坐標系內有一點，連接，則與軸正方向所夾銳角的正弦值是A． B． C． D．【考點】坐標與圖形性質；解直角三角形【專題】解直角三角形及其應用；應用意識【分析】如圖作軸于，利用勾股定理求出，根據正弦定義計算即可．【解答】解：作軸于，如右圖．，，，，．故選：．【點評】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是記住銳角三角函數定義．4．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·11）（4分）某斜坡的坡度i＝，則該斜坡的坡角為°．【分析】根據坡度＝坡角的正切值，據此直接解答．【解答】解：∵斜坡的坡度i＝，∴該斜坡的坡角為：60°．故答案為：60．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確理解及掌握坡度及坡角的定義是解題關鍵．5．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·14）（4分）如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為點E．若，AD＝5，則AB的長為．【分析】根據余角的性質得到∠ACD＝∠ADE，根據矩形的性質得到AB∥CD，BC＝AD＝5，根據三角函數的定義即可得到結論．【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，BC＝AD＝5，∴∠BAC＝∠ACD，∵，∴＝，∴AC＝＝，由勾股定理得，AB＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了矩形的性質、勾股定理、平行線的性質、解直角三角形等知識；熟練掌握勾股定理與解直角三角形是解題的關鍵．6．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·23）（4分）如圖，校園內有一棵與地面垂直的樹，數學興趣小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地面成60°角時，第二次是陽光與地面成30°角時，兩次測量的影長相差8米，則樹高米．（結果保留根號）【分析】設出樹高，利用所給角的正切值分別表示出兩次影子的長，然后作差建立方程即可．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴BC＝＝，同理：BD＝，∵兩次測量的影長相差8米，∴﹣＝8，∴x＝4故答案為4．【點評】本題考查解直角三角形的應用，關鍵是根據三角函數的幾何意義得出各線段的比例關系，從而得出答案．7．（2020-2021成都雙流棠湖中學九年級（上）期中·22）（3分）如圖，在中，，，的垂直平分線交于，連接，若，則．【方程思想】【考點】：線段垂直平分線的性質；：解直角三角形【專題】：解直角三角形及其應用；1：常規(guī)題型【分析】由設、，據此得出、，由勾股定理可得，解之求得的值可得答案．【解答】解：在中，，設、，則，，在中，由勾股定理可得，解得：或（舍，則，故答案為：．【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，勾股定理的應用，熟記性質與定理并準確識圖是解題的關鍵．8．（2021-2022成都青羊區(qū)樹德中學九年級（上）期中·23）（4分）如圖，小陽發(fā)現電線桿的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，的坡度為；且此時測得1米桿在地面上的影長為2米，則電線桿的高度為米．【考點】解直角三角形的應用坡度坡角問題【專題】解直角三角形及其應用；應用意識【分析】過點作于，交的延長線于，根據坡度的概念分別求出、，根據題意求出，進而求出．【解答】解：過點作于，交的延長線于，則四邊形為矩形，，，在中，的坡度為，設米，則米，由勾股定理得：，解得：，（舍去），米，米，米，由題意得：米，米，故答案為：．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．三、三角函數的應用1．（2020-2021成都雙流棠湖中學九年級（上）期中·17）（8分）如圖，，兩點被池塘隔開，在外選一點，連接，．測得，，．根據測得的數據，求的長（結果取整數）．參考數據：，，．【考點】解直角三角形的應用【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力；應用意識【分析】通過作高，構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系，列方程求解即可．【解答】解：如圖，過點作，垂足為，在中，，，設，在中，，，又，，又，即，，解得，，答：的長約為．【點評】本題考查直角三角形的邊角關系，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數，是正確解答的前提，通過作輔助線構造直角三角形是常用的方法．2．（2020-2021成都雙流中和中學九年級（上）期中·18）（8分）圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂，支架與立柱分別交于，兩點，燈臂與支架交于點，已知，，，求支架的長．（結果精確到，參考數據：，，【考點】解直角三角形的應用【專題】解直角三角形及其應用；應用意識【分析】如圖2，過作于，則，根據三角函數的定義即可得到結論．【解答】解：如圖2，過作于，則，，，，，，，答：支架的長約為．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練運用銳角三角函數的定義，本題屬于中等題型．3．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·18）（8分）如圖，小瑩在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進行測量，先測得居民樓AB與CD之間的距離AC為35m，后站在M點處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°，居民樓AB的頂端B的仰角為55°，已知居民樓CD的高度為16.6m，小瑩的觀測點N距地面1.6m．求居民樓AB的高度（精確到1m）．（參考數據：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）．【分析】過點N作EF∥AC交AB于點E，交CD于點F，可得AE＝MN＝CF＝1.6m，EF＝AC＝35m，再根據銳角三角函數可得BE的長，進而可得AB的高度．【解答】解：過點N作EF∥AC交AB于點E，交CD于點F，則AE＝MN＝CF＝1.6m，EF＝AC＝35m，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，則DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15（m），在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15m，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20（m），在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN?tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6（m），∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30（m）．答：居民樓AB的高度約為30m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解決本題的關鍵是掌握仰角俯角定義．4．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·7）（8分）如圖，數學興趣小組利用硬紙板自制的Rt△ABC來測量操場旗桿MN的高度，他們通過調整測量位置，并使邊AC與旗桿頂點M在同一直線上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目測點A到地面的距離AD＝1.5米，到旗桿的水平距離AE＝20米，求旗桿MN的高度．【分析】利用相似三角形的性質求出EM，利用矩形的性質求出EN，可得結論．【解答】解：∵∠CAB＝∠EAM，∠ACB＝∠AEM＝90°，∴△ACB∽△AEM，∴，∴，∴EM＝12.5（米），∵四邊形ADNE是矩形，∴AD＝EN＝1.5（米），∴MN＝ME+EN＝12.5+1.5＝14（米）．【點評】本題考查相似三角形的應用，矩形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．5．（2021-2022成都大邑縣九年級（上）期中·16）（6分）如圖，利用標桿BE測量建筑物的高度，如果標桿BE高1.2m，測得AB＝1.6m，BC＝12.4m，樓高CD是多少？【分析】先根據題意得出△ABE∽△ACD，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出CD的值．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.2，AB＝1.6，BC＝12.4，∴AC＝14，∴＝，∴CD＝10.5．答：樓高CD是10.5m．【點評】本題考查的是相似三角形的應用，熟知相似三角形的對應邊成比例的性質是解答此題的關鍵．6．（2021-2022成都簡陽九年級（上）期中·19）（10分）李航想利用太陽光測量樓高．他帶著皮尺來到一棟樓下，發(fā)現對面墻上有這棟樓的影子，針對這種情況，他設計了一種測量方案，具體測量情況如下：如示意圖，李航邊移動邊觀察，發(fā)現站到點E處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同．此時，測得李航落在墻上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（點A、E、C在同一直線上）．已知李航的身高EF是1.6m，請你幫李航求出樓高AB．【分析】過點D作DN⊥AB，可得四邊形CDME、ACDN是矩形，即可證明△DFM∽△DBN，從而得出BN，進而求得AB的長．【解答】解：過點D作DN⊥AB，垂足為N．交EF于M點，∴四邊形CDME、ACDN是矩形，∴AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），∴MF＝EF﹣ME＝1.6﹣1.2＝0.4（m），∴依題意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，＝，即：＝，∴BN＝20（m），∴AB＝BN+AN＝20+1.2＝21.2（m）答：樓高為21.2m．【點評】本題考查了平行投影和相似三角形的應用，是中考常見題型，要熟練掌握．7．（2021-2022成都金牛區(qū)鐵路中學九年級（上）期中·19）（8分）如圖，小明欲測量一座古塔的高度，他拿出一根竹桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過竹桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面1.6m，竹桿頂端離地面2.4m，小明到竹桿的距離DF＝2m，竹桿到塔底的距離DB＝33m，求這座古塔的高度．【分析】先根據小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EH⊥AB可知，BH＝DG＝EF＝1.6m，再小明眼睛離地面1.6m，竹桿頂端離地面2.4m求出CG的長，由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA，再根據相似三角形的對應邊成比例可求出AH的長，進而得出AB的長．【解答】解：∵小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EH⊥AB∴BH＝DG＝EF＝1.6m，EG＝DF，GH＝DB，∵小明眼睛離地面1.6m，竹桿頂端離地面2.4m，∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.6＝0.8m，∵CD∥AB，∴△EGC∽△EHA，DF＝2m，DB＝33m，∴＝，即＝，解得AH＝14m．∴AB＝AH+BH＝14+1.6＝15.6m．答：古塔的高度是15.6米．【點評】本題考查的是相似三角形的應用，先根據題意得出相似三角形，再根據相似三角形的對應邊成比例得出結論是解答此題的關鍵．8．（2021-2022成都錦江區(qū)嘉祥外國語學校九年級（上）期中·18）（8分）隨著我國首艘自主建造航母“山東艦”的正式服役，標志者我國已進入“雙航母”時代．已知“山東艦”艦長BD為315m，航母前端點E到水平甲板BD的距離DE為6m，艦島頂端A到BD的距離是AC，經測量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝＝80.6°．（參考數據：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）（1）若設AC＝xm，用含x的代數式表示BC與CD的長度．（2）請計算艦島AC的高度（結果精確到1m）．【分析】（1）作EH⊥AC于H，分別在Rt△A