湖北省騰云聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省“騰?云”聯(lián)盟2024—2025學(xué)年度上學(xué)期八月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答策標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A.B.C.D.2.設(shè)，“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心的是（）A.B.C.D.4.過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.B.C.D.5.中國航天英雄太空旅程時(shí)間一覽表如下，則太空旅程時(shí)間數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為（）神舟五號(hào)神舟六號(hào)神舟七號(hào)神舟九號(hào)神舟十號(hào)神舟十一號(hào)神舟十二號(hào)神舟十三號(hào)神舟十四號(hào)神舟十五分神舟十六神舟十七號(hào)21時(shí)23分5天3天13天15天33天90天183天183天187天154天187天A.3B.8C.9D.1836.如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱.若側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過的四等分點(diǎn)處，，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為（）A.B.C.D.7.直線經(jīng)過函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則的最小值為（）A.9B.C.D.8.已知函數(shù)，且恒成立，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他記錄了100次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；騎自行車平均用時(shí)，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)和騎自行車用時(shí)都服從正態(tài)分布.則下列說法中正確的是（）（參考數(shù)值：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.）A.B.C.D.10.已知平面四邊形中，，和，將平面四邊形沿對(duì)角線翻折，得到四面體.則下列說法正確的是（）A.無論翻折到何處，B.四面體的體積的最大值為C.當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的體積為D.當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：①若，則；②對(duì)一切正實(shí)數(shù)，則（）A.B.C.，恒有成立D.存在正實(shí)數(shù)，使得成立三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若平面內(nèi)不共線的向量兩兩夾角相等，且，則__________.13.從有5個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到紅球的條件下第4次摸到紅球的概率為__________.14.已知拋物線，從拋物線內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)平行于軸的光線經(jīng)過拋物線上點(diǎn)反射后交拋物線于點(diǎn)，直線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為__________；的面積為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足.（1）求；（2）若，且的面積為，求.16.（15分）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）討論關(guān)于方程的解的個(gè)數(shù).17.（15分）如圖，已知四棱錐中，平面，且（1）證明：平面；（2）已知銳二面角的正弦值為，求二面角的余弦值.18.（17分）已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡記為；點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡記為；已知直線與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，線段和線段的中點(diǎn)分別為.（1）求曲線和曲線的方程；（2）已知的面積為，求直線的斜率的值.19.（17分）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“A型擴(kuò)展”.如將數(shù)列進(jìn)行“A型擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列：第二次得到數(shù)列設(shè)第次“A型擴(kuò)展”后所得數(shù)列為（其中），并記；在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入后項(xiàng)與前項(xiàng)的商，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“B型擴(kuò)展”.即將數(shù)列進(jìn)行“B型擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列；第二次得到數(shù)列設(shè)第次“B型擴(kuò)展”后所得數(shù)列為（其中），當(dāng)時(shí)，記.（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列1，2第3次“A型拓展”得到的數(shù)列的第6項(xiàng)；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，記的各項(xiàng)和為，記進(jìn)行第一次“B型拓展”后得到的新數(shù)列，記各項(xiàng)和為，使得成立.（其中，是第二問中數(shù)列的通項(xiàng)公式）若存在，寫出一個(gè)滿足條件的的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由.湖北省“騰·云”聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度上學(xué)期8月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：江夏區(qū)第一中學(xué)命題教師：湯文審題教師：胡軍鄭俊考試時(shí)間：2024年8月12日下午15：00-17：00試卷滿分：150分一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】B【詳解】因?yàn)椋?故選：B2.【答案】A【詳解】當(dāng)是純虛數(shù)時(shí)，一定有，但是當(dāng)時(shí)，只有當(dāng)時(shí)，才能是純虛數(shù)，所以"復(fù)數(shù)是純虛數(shù)"是""的充分而不必要條件，故選：A3.【答案】D【詳解】，故D正確.4.【答案】A【詳解】中，，即5.【答案】C【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列后得到21時(shí)23分，3天，5天，13天，15天，33天，90天，154天，183天，183天，187天，187天，，下四分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即9.6.【答案】B【詳解】設(shè)當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為，依題意，側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過的四等分點(diǎn)處，，所以水的體積，解得.故選：B7.【答案】A【詳解】，，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則直線經(jīng)過點(diǎn)，即，故選：A8.【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則，要使恒成立，即若，則，要使恒成立，即，即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增要使恒成立，即綜上所述，的取值范圍為二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】AD【詳解】由題意可設(shè)，所以；所以A正確，B錯(cuò)誤；由題意可得：坐公交車用時(shí)可得，故C錯(cuò)誤；，那么，坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車.故D正確.10.【答案】ACD對(duì)于選項(xiàng)，取線段的中點(diǎn)，連接，是等邊三角形，中，平面，平面，又平面故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)平面平面時(shí)，四面體的體積最大，最大值為故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即兩兩垂直將四面體補(bǔ)成正方體，則外接球半徑為，外接球體積為故C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，將四面體補(bǔ)成正方體取中點(diǎn)中點(diǎn)，易得平面，是二面角的平面角，故D正確.11.【答案】BCD【詳解】A錯(cuò)，無法確定的值；B對(duì)，令，代入條件②中，，即C對(duì)，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，D對(duì)，D對(duì)，取，由于，從而成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即而公差，所以當(dāng)n充分大時(shí)，可使.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【詳解】因?yàn)槠矫鎯?nèi)不共線平面向量兩兩的夾角相等，即兩兩的夾角為，13.答案：【詳解】用表示事件"第次摸到紅球"，表示事件"第次摸到紅球"，.14.【答案】；【詳解】設(shè)切線與軸交于點(diǎn)，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，過焦點(diǎn)，即與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；，直線的斜率為直線的傾斜角為，且即四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.【詳解】（1）由題設(shè)及正弦定理得，即.，整理得，即，，即.（2）由得，由余弦定理得即.16.（1）函數(shù)的定義域?yàn)榱?，解得?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，有極小值綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為極小值為，且無極大值.（2）令，解得當(dāng)吋，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長，從而當(dāng)時(shí)，結(jié)合（1）中分析可得，的大致圖象如圖所示，方程的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由（1）可得當(dāng)時(shí)，有最小值由圖可得，當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)解當(dāng)或時(shí)，方程有且僅有1個(gè)解.當(dāng)時(shí)，方程有且僅有兩個(gè)解.17.【詳解】（1）法一：如圖1，延長和相交于點(diǎn)，連接，，，即又，即平面平面平面法二：如圖2，過作平行交于點(diǎn)即，，，，均平行于平面，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面平面，又平面平面法三：如圖2，過作平行交于點(diǎn)，連接，且平行，，即平行于，..均平行于平面，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面平面，又平面平面（2）法一：平面平面平面平面如圖3，過點(diǎn)作交于平面平面平面平面過點(diǎn)作交于平面為二面角的平面角，設(shè)，則平面平面，又，中，，則過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則為二面角的平面角，綜上所述，二面角的余弦值為法二：如圖4，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線于的延長線交于點(diǎn)過作交于，連接，平面平面平面平面平面平面平面平面平面又平面，即為二面角的平面角平面平面，又，中，，則，，中，邊上的高設(shè)二面角的平面角為平面綜上所述，二面角的余弦值為.法三：如圖5，平面在平面內(nèi)過點(diǎn)引的垂線記為軸，以所在直線為軸，軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，平面平面，又，中，，則設(shè)平面的法向量為，取，則，平面的法向量為二面角的正弦值為，①，設(shè)二面角的平面角為，平面的法向量為②由①解得，代入②中，得綜上所述，二面角的余弦值為.18.（1）依題意可得，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓，即依題意可得，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，1為實(shí)軸長的雙曲線，即（2）設(shè)聯(lián)立消去得，，由韋達(dá)定理可得聯(lián)立.去得，，由韋達(dá)定理可得則線段的長度為點(diǎn)到直線的距離為，即，，，法一：，令在上單調(diào)遞增，，19.【答案】（1）8；（2）；【詳解】（1）將數(shù)列1，2進(jìn)行第一次"型拓展"得到1，2，2；進(jìn)行第二次"型拓展"得到；進(jìn)行第三次"型拓展"得到1，