2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（4）教學(xué)教案 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（4）教學(xué)教案新人教A版必修4科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱(chēng)）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（4）教學(xué)教案新人教A版必修4教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為高中數(shù)學(xué)新人教A版必修4第一章“三角函數(shù)”中的1.4.3節(jié)“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（4）”。教學(xué)內(nèi)容主要圍繞正切函數(shù)的周期性、奇偶性以及在坐標(biāo)系中的圖象特點(diǎn)展開(kāi)。與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系在于，學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的基本性質(zhì)和圖象，能夠識(shí)別并運(yùn)用這些函數(shù)解決一些基礎(chǔ)問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的探究，深化對(duì)周期性、奇偶性等概念的理解，并學(xué)會(huì)繪制及分析正切函數(shù)的圖象，進(jìn)一步鞏固對(duì)三角函數(shù)的整體認(rèn)識(shí)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在通過(guò)正切函數(shù)性質(zhì)與圖象的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。學(xué)生將能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述正切函數(shù)的周期性、奇偶性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)分析正切函數(shù)的性質(zhì)，邏輯推理出其圖象特點(diǎn)，增強(qiáng)邏輯推理素養(yǎng)；并能結(jié)合實(shí)際情境，構(gòu)建正切函數(shù)模型，解決具體問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。此外，通過(guò)自主探究與合作交流，發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和團(tuán)隊(duì)合作精神，為培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。學(xué)情分析本節(jié)課面向的是高中一年級(jí)學(xué)生，他們?cè)谥R(shí)層面已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象及簡(jiǎn)單應(yīng)用，具備了一定的三角函數(shù)基礎(chǔ)。在能力方面，學(xué)生具備一定的觀(guān)察能力、邏輯思維能力和問(wèn)題解決能力，能夠通過(guò)觀(guān)察函數(shù)圖象分析函數(shù)性質(zhì)。然而，對(duì)于正切函數(shù)的性質(zhì)及其圖象的掌握程度可能較為薄弱，需要在本節(jié)課中加強(qiáng)引導(dǎo)和訓(xùn)練。

在素質(zhì)方面，學(xué)生普遍具有較好的學(xué)習(xí)態(tài)度，對(duì)新知識(shí)充滿(mǎn)好奇心，但在自主學(xué)習(xí)能力和團(tuán)隊(duì)合作方面存在一定差異。部分學(xué)生在課堂上的參與度不高，需要教師在教學(xué)過(guò)程中關(guān)注并引導(dǎo)其積極參與。此外，學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)可能缺乏將理論知識(shí)與實(shí)際情境結(jié)合的能力，這將對(duì)課程學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。

在行為習(xí)慣方面，學(xué)生已養(yǎng)成了一定的課堂紀(jì)律和學(xué)習(xí)習(xí)慣，但仍需教師在教學(xué)過(guò)程中注重培養(yǎng)其良好的學(xué)習(xí)方法和思考習(xí)慣，以提高學(xué)習(xí)效率。綜上所述，本節(jié)課需關(guān)注學(xué)生知識(shí)層面的薄弱環(huán)節(jié)，加強(qiáng)能力培養(yǎng)，并關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異，以提高整體教學(xué)效果。教學(xué)資源1.硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備、黑板、直尺、三角板、繪圖儀；

2.軟件資源：PPT課件、數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）、三角函數(shù)圖象教學(xué)掛圖；

3.課程平臺(tái)：學(xué)校局域網(wǎng)教學(xué)平臺(tái)、班級(jí)群共享空間；

4.信息化資源：電子課本、在線(xiàn)數(shù)學(xué)資源庫(kù)、教學(xué)視頻；

5.教學(xué)手段：講授法、小組合作探究、互動(dòng)提問(wèn)、案例分析、課后作業(yè)。教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入新課

同學(xué)們，我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)探討了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象，今天我們將進(jìn)入正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的學(xué)習(xí)。首先，我想請(qǐng)同學(xué)們回顧一下正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性和奇偶性，誰(shuí)能來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

（學(xué)生回答）

很好，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的這些性質(zhì)在我們的日常生活中有很多應(yīng)用。那么，正切函數(shù)作為三角函數(shù)的另一個(gè)重要組成部分，它又具有哪些性質(zhì)呢？今天我們將一起來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題。

2.自主探究

首先，請(qǐng)大家打開(kāi)課本，翻到第一章“三角函數(shù)”的1.4.3節(jié)，閱讀正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象部分。請(qǐng)大家注意，我們要研究的正切函數(shù)的定義域是什么？周期是多少？它是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？

（學(xué)生閱讀并思考）

（學(xué)生回答）

非常好，正切函數(shù)的定義域是除了π/2+kπ之外的所有實(shí)數(shù)，周期是π，而且它是一個(gè)奇函數(shù)。那么，這些性質(zhì)如何影響正切函數(shù)的圖象呢？

3.小組合作

（學(xué)生小組合作繪制圖象）

（學(xué)生回答）

是的，正切函數(shù)的圖象在每個(gè)周期內(nèi)都是先上升后下降，且在每個(gè)周期結(jié)束時(shí)都會(huì)穿過(guò)x軸。同時(shí)，由于它是奇函數(shù)，圖象在原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

4.內(nèi)容講解

現(xiàn)在，我將結(jié)合大家的探究成果，詳細(xì)講解正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象。首先，我們來(lái)看正切函數(shù)的定義域和值域。正切函數(shù)的定義域是（-π/2+kπ,π/2+kπ），其中k為整數(shù)，值域是整個(gè)實(shí)數(shù)集。

正切函數(shù)的周期性體現(xiàn)在它每隔π重復(fù)一次，這是因?yàn)檎泻瘮?shù)的周期是π。在周期內(nèi)，正切函數(shù)的圖象呈現(xiàn)出先上升后下降的趨勢(shì)，且在每個(gè)周期結(jié)束時(shí)都會(huì)穿過(guò)x軸。

此外，正切函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，這意味著它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。這一點(diǎn)可以從正切函數(shù)的圖象中明顯看出。

5.應(yīng)用舉例

下面，我們來(lái)研究一下正切函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。請(qǐng)看這個(gè)例子：

（展示案例，與學(xué)生一起分析解決問(wèn)題）

6.總結(jié)提升

現(xiàn)在，我們來(lái)回顧一下本節(jié)課的主要內(nèi)容。正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象有哪些關(guān)鍵點(diǎn)？請(qǐng)同學(xué)們來(lái)說(shuō)一說(shuō)。

（學(xué)生回答）

非常好，正切函數(shù)的定義域、周期性、奇偶性以及圖象特點(diǎn)都是我們需要掌握的重點(diǎn)。希望大家能夠通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對(duì)這些內(nèi)容有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。

7.課后作業(yè)

為了鞏固今天所學(xué)的知識(shí)，我給大家布置以下作業(yè)：

（1）完成課本第1.4.3節(jié)后的練習(xí)題；

（2）思考正切函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，并嘗試撰寫(xiě)一篇小論文。

請(qǐng)大家認(rèn)真完成作業(yè)，我們下節(jié)課將一起分享和討論。

8.課堂小結(jié)

最后，我想說(shuō)，學(xué)習(xí)三角函數(shù)不僅僅是掌握它的性質(zhì)和圖象，更重要的是學(xué)會(huì)運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。希望同學(xué)們?cè)谡n后能夠繼續(xù)思考，將所學(xué)知識(shí)內(nèi)化為自己的能力。這節(jié)課我們就到這里，謝謝大家！教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-數(shù)學(xué)期刊、雜志：介紹正切函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如工程技術(shù)、物理現(xiàn)象等領(lǐng)域；

-科普書(shū)籍：關(guān)于三角函數(shù)的發(fā)展歷程、數(shù)學(xué)家的故事，激發(fā)學(xué)生興趣；

-數(shù)學(xué)網(wǎng)站：提供有關(guān)三角函數(shù)的在線(xiàn)學(xué)習(xí)資源，如教學(xué)視頻、習(xí)題庫(kù)等（不提供具體網(wǎng)址）；

-數(shù)學(xué)軟件：介紹GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件在繪制正切函數(shù)圖象、分析性質(zhì)方面的應(yīng)用；

-線(xiàn)下活動(dòng)：組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽、講座、科普活動(dòng)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.拓展建議：

-閱讀拓展：鼓勵(lì)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)期刊、雜志和科普書(shū)籍，了解正切函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，拓展知識(shí)面；

-在線(xiàn)學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，觀(guān)看教學(xué)視頻，加深對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)與圖象的理解；

-實(shí)踐探究：學(xué)生可以嘗試使用數(shù)學(xué)軟件繪制正切函數(shù)圖象，探究其性質(zhì)，提高動(dòng)手操作能力；

-交流分享：鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上分享自己的拓展學(xué)習(xí)成果，提高表達(dá)能力和團(tuán)隊(duì)合作能力；

-跨學(xué)科學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生將三角函數(shù)知識(shí)與其他學(xué)科知識(shí)相結(jié)合，如物理、工程等，提高解決問(wèn)題的能力。課后作業(yè)1.利用正切函數(shù)的性質(zhì)，證明以下等式：

sin(3π/4)=cos(π/4)

提示：考慮正切函數(shù)的周期性和奇偶性。

解答：

因?yàn)閠an(π/4)=sin(π/4)/cos(π/4)=1，

所以sin(π/4)=cos(π/4)。

由于sin和cos函數(shù)的周期性，我們有：

sin(3π/4)=sin(π/4+π/2)=cos(π/4)。

2.已知tan(α)=2，求證：tan(2α)=-8/3。

解答：

根據(jù)正切函數(shù)的二倍角公式：

tan(2α)=2tan(α)/(1-tan2(α))，

將tan(α)=2代入公式，得到：

tan(2α)=2*2/(1-22)=-8/3。

3.某直角三角形的兩個(gè)銳角分別為α和β，已知tan(α)=3/4，求證：tan(β)=4/3。

解答：

在直角三角形中，α+β=π/2，

所以tan(β)=tan(π/2-α)=1/tan(α)=4/3。

4.求正切函數(shù)y=tan(x)在區(qū)間[-π/2,π/2]上的最大值和最小值。

解答：

正切函數(shù)在[-π/2,π/2]上先增后減，最大值出現(xiàn)在π/4，最小值出現(xiàn)在-π/4，

所以最大值為tan(π/4)=1，最小值為tan(-π/4)=-1。

5.已知某函數(shù)f(x)=2tan(x)-3，求函數(shù)的定義域。

解答：

函數(shù)f(x)=2tan(x)-3的定義域與tan(x)的定義域相同，即x≠π/2+kπ，其中k為整數(shù)。板書(shū)設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-正切函數(shù)的定義域：x≠π/2+kπ

-正切函數(shù)的周期性：周期為π

-正切函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)

-正切函數(shù)的圖象特點(diǎn)：上升、下降、穿過(guò)x軸

-正切函數(shù)的應(yīng)用：實(shí)際問(wèn)題中的角度計(jì)算

②關(guān)鍵詞：

-定義域

-周期性

-奇偶性

-圖象特點(diǎn)

-應(yīng)用

③核心句：

-正切函數(shù)的周期是π，圖象在每個(gè)周期內(nèi)先上升后下降。

-正切函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

-正切函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常用于計(jì)算角度。

板書(shū)設(shè)計(jì)示例：

```

正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

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定義域：x≠π/2+kπ

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周期性：周期為π

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奇偶性：奇函數(shù)

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圖象特點(diǎn)：↑↓穿x軸

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應(yīng)用：角度計(jì)算

```

板書(shū)設(shè)計(jì)注重簡(jiǎn)潔明了，通過(guò)圖形和箭頭連接各知識(shí)點(diǎn)，突出正切函數(shù)的核心內(nèi)容，同時(shí)具有一定的藝術(shù)性和趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。課堂1.課堂評(píng)價(jià)：

-通過(guò)課堂提問(wèn)，了解學(xué)生對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)與圖象的掌握程度，關(guān)注學(xué)生在回答問(wèn)題時(shí)是否能夠準(zhǔn)確運(yùn)用相關(guān)概念和性質(zhì)；

-觀(guān)察學(xué)生在小組合作探究過(guò)程中的表現(xiàn)，了解他們?cè)趫F(tuán)隊(duì)合作、問(wèn)題解決等方面的能力，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與、互相學(xué)習(xí)；

-在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，通過(guò)學(xué)生的解答情況，評(píng)估他們對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)與圖象的運(yùn)用能力，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)生在解題過(guò)程中遇到的問(wèn)題；

-結(jié)合學(xué)生課堂參與度、提問(wèn)回答、小組討論等情況，綜合評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，針對(duì)不同學(xué)生給予個(gè)性化的指導(dǎo)和建議