專題04 隨機(jī)變量及其分布（考點(diǎn)串講+熱考題型）（高教版2021·拓展模塊下冊(cè)）（原卷版）

專題04隨機(jī)變量及其分布考點(diǎn)串講考點(diǎn)串講考點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量及其分布（1）隨機(jī)變量的基本概念隨機(jī)變量的概念：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.常用希臘字母、等表示．離散型隨機(jī)變量的概念：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．連續(xù)型隨機(jī)變量的概念：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量．（2）離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個(gè)值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡(jiǎn)稱ξ的分布列．ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…注：分布列的兩個(gè)性質(zhì)：任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足：，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此可以得出離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)：，；，．考點(diǎn)二、離散型隨機(jī)變量的期望和方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列，如下表所示X…P…則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望。稱為隨機(jī)變量的方差，稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．考點(diǎn)三、二項(xiàng)分布（1）重伯努利試驗(yàn)(次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))：我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn).（2）二項(xiàng)分布：一般地，在重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為，.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作．（3）二項(xiàng)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布，即,則,.考點(diǎn)四、正態(tài)分布（1）正態(tài)曲線正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)只能改變對(duì)稱軸的位置，曲線的形狀沒(méi)有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線顯然對(duì)于任意，，它的圖象在軸的上方．可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1，我們稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①；當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”；σ越大，曲線越“矮胖”，如圖②.若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記為，特別地，當(dāng)，時(shí)，稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．（2）正態(tài)曲線的特點(diǎn)：曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；曲線在處達(dá)到峰值；當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近軸．（3）正態(tài)分布的期望與方差若，則，．（4）正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率：；；．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為原則．（5）利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法對(duì)稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線對(duì)稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線對(duì)稱的區(qū)間概率相等．如：；．“”法：利用落在區(qū)間內(nèi)的概率分別是0．6827，0．9545，0．9973求解．熱考題型熱考題型類型一、離散型隨機(jī)變量及其分布【例1】下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)ξ；②一個(gè)沿x軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在x軸上的位置η；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)X；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離Y．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】若隨機(jī)變量ξ只能取兩個(gè)值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫出ξ的分布列.【變式1】下列隨機(jī)變量X不是離散型隨機(jī)變量的是()A．某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的游客數(shù)量為XB．某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為XC．某水文站觀察到一天中長(zhǎng)江的水位為XD．某立交橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)為X【變式2】籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分的分布列．類型二、離散型隨機(jī)變量的期望和方差【例1】一袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)球，用X表示取出球的最大編號(hào)，則EX=（A．2 B．3 C．103 D．【例2】若隨機(jī)變量X的概率分布表如下：X01P0.4則（

）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【變式1】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P3a1則X的數(shù)學(xué)期望EX=（32 B．2C．52 D．【變式2】投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表所示．股票A收益的分布列收益X/元-02概率0.10.30.6股票B收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益大？(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？類型三、二項(xiàng)分布【例1】某批數(shù)量很大的產(chǎn)品的次品率為p，從中任意取出4件，則其中恰好含有3件次品的概率是（

）A．p3 B．pC．C43p【例2】設(shè)隨機(jī)變量X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p等于（

）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【例3】一批產(chǎn)品的一等品率為0.9，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的一等品件數(shù)，則D(X)=.【變式1】若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率是多大.【變式2】同時(shí)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣恰有一枚正面向上的次數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是（

）A．12 B．1C．32 D．【變式3】設(shè)X為隨機(jī)變量，X～B(n,13)，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2，則A．80243 B．13C．4243 D．13類型四、正態(tài)分布【例1】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a,4)且P(X>1)=0.5,則實(shí)數(shù)a=（

）A．1 B．3C．2 D．4【例2】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,σ2,且PX≤4=0.84A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【變式1】已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N3,σ2,?A．0.16 B．0.34 C．0.66