2023-2024學年九年級數(shù)學上冊單元速記·巧練（北師大版）第4章 圖形的相似（壓軸題專練）（原卷版）（北師大版）

第4章圖形的相似（壓軸題專練）題型01：相似三角形的解答證明題1．在中，為邊上一點．

(1)如圖1，若，求證：．(2)若為的中點，，①如圖2，若，，求的長；②如圖3，若，，直接寫出的長．2．已知：在中，，點E是的中點，F(xiàn)是直線上一點，連接，將沿著折疊，點C的對應點為D，連接．

(1)如圖1，若點D在線段上，求證：；(2)如圖2，與交于點M，連接，若，求證：點M是的中點；(3)如圖3，點F在延長線上，與交于點M，交于點N，若，，求．3．在中，，在中，，且．

(1)如圖1，當時，連接，請直接寫出線段和線段的數(shù)量關系；(2)當時，繞點C逆時針旋轉到如圖2的位置，時，試猜想線段三條線段之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；(3)當時，繞點C逆時針旋轉到如圖3的位置，時，請直接寫出線段三條線段之間的數(shù)量關系．4．某校組織數(shù)學興趣探究活動，愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖、圖、圖中，、是的中線，于點，像這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．

【特例探究】(1)如圖，當，時，______，______；如圖，當，時，______，______；【歸納證明】(2)請你觀察（）中的計算結果，猜想、、三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖證明你的結論．【拓展證明】(3)如圖，在中，，，、、分別是邊、、的中點，連結并延長至，使得，連結，當于點時，求的長．題型02：相似三角形在特殊平行四邊形中的應用5．已知四邊形是菱形，，．

(1)如圖1，P是上一點，連接并延長，交的延長線于點E，交于點F，若，①求的長；②求的長；(2)如圖2，M是的中點，連接，過點M作交的延長線于點N，點Q在上，連接，分別過點B，N作直線的垂線，垂足分別為G，H，若，求的長；(3)如圖3，J為上一點，L為上一點，，分別過點J，L作，的平行線，兩條直線交于點K，將四邊形繞點B順時針旋轉，如圖4，直線交直線于點R，求的值及的度數(shù)．6．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形中，為邊上一點，將沿翻折到處，延長交邊于點，求證：；（2）探究：如圖②，在矩形中，為邊上一點，且，，將沿翻折到處，延長交邊于點，延長交邊于點，且，求的長．（3）拓展：如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點，．將沿翻折得到，直線交于點，求的長．

7．綜合與實踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，諸葛小組將正方形紙片沿過點的直線折疊，使點落在正方形內部的點處，折痕為，再將紙片沿過點的直線折疊，使與重合，折痕為，請寫出圖中的一個角；(2)【拓展探究】如圖，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點的對應點恰好落在折痕上的點處，連接交于點．度；若，求線段的長；(3)【遷移應用】如圖，在矩形，點，分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點落在點處，點落在點處，點，，恰好在同一直線上，若點為的三等分點，，，請直接寫出線段的長．8．在矩形中，點E是射線上一動點，連接，過點B作BF⊥AC于點G，交直線于點F．

(1)當矩形是正方形時，以點F為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．如圖1，則線段與之間的數(shù)量關系是，位置關系是；(2)如圖2，若點E在線段上，以點F為直角頂點在矩形的外部作直角三角形，且，連接．判斷線段與之間的數(shù)量關系與位置關系，并證明；(3)如圖3，若點E在線段的延長線上，F(xiàn)在線段的延長線上，且，，M是中點，連接，，求的值．題型03：相似三角形與平面直角坐標系9．如圖1，在平面直角坐標系中，直線過點，，與軸交于點．點，分別為線段，上的一點（不含端點），且．

(1)求和的值；(2)當與中的一個角相等時，求線段的長；(3)如圖2，連接交于點，將點繞點逆時針旋轉至點，若點到軸的距離恰好等于的長，求的面積．10．如圖1，已知直線交x軸于，交y軸于B．

(1)直接寫出k的值為_________；B點坐標為_________；(2)如圖2，過點的直線與交于點P，點Q為射線上一動點，若點Q到直線的距離為，求點Q的橫坐標t的值；(3)如圖3，已知點，點為直線右側一點，且滿足，求點N坐標．11．如圖1，在平面直角坐標系中，正方形的頂點在軸的正半軸上．如圖2，將正方形繞點逆時針旋轉，旋轉角為，交直線于點，交軸于點．

(1)當旋轉角為多少度時，；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）(2)若點，①求的長；②連接對角線交直線于點，求的長；(3)如圖3，對角線交軸于點，交直線于點，連接．將與的面積分別記為與，設，，求關于的函數(shù)表達式．12．如圖所示，直線與軸相交于點，與y軸相交于點B，將沿著y軸折疊，使點A落在x軸上，點A的對應點為點C．(1)求點C的坐標；(2)設點P為線段上的一個動點，點P與點A、C不重合，連接，以點P為端點作射線交于點M，使，①求證：；②是否存在點P使為直角三角形?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．題型04：動點問題13．探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．

【初步感知】(1)如圖1，當時，興趣小組探究得出結論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關系，請寫出結論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關系的一般結論（直接寫出結論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接，設的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．14．某托管服務數(shù)學興趣小組針對如下問題進行探究，在等邊中，，點在射線上運動，連接，以為一邊在右側作等邊．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖（1），當點在線段上運動時不與點重合,連接則線段與的數(shù)量關系是___________；直線與的位置關系是___________；(2)【拓展延伸】如圖（2），當點在線段的延長線上運動時，直線相交于點，請?zhí)骄康拿娣e與的面積之間的數(shù)量關系；(3)【問題解決】當點在射線上運動時點不與點重合，直線相交于點，若的面積是，請求出線段的長．15．綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學活動．(1)操作判斷如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中線段與線段的關系．

(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點，請求出線段與的關系，并說明理由．

(3)拓展應用如圖3，已知正方形紙片的邊長為2，動點由點向終點做勻速運動，動點由點向終點做勻速運動，動點、同時開始運動，且速度相同，連接、，交于點，連接，則線段長度的最小值為______，點的運動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）

題型05：動態(tài)幾何16．綜合與實踐綜合與實踐課上，數(shù)學老師讓同學們以“矩形的旋轉”為主題開展教學活動．【操作判斷】

如圖①，在矩形中，，點M，P分別在邊，上（均不與端點重合）且，以和為鄰邊作矩形，連接，．（1）如圖②，當時，與的數(shù)量關系為，與的數(shù)量關系為．【遷移探究】（2）如圖③，當時，天天先將矩形繞點A順時針旋轉，再連接，則CN與之間的數(shù)量關系是．【拓展應用】（3）在（2）的條件下，已知，，當矩形旋轉至C，N，M三點共線時，求線段的長．17．如圖，在平面直角坐標系中，正方形的兩直角邊分別在坐標軸的正半軸上，分別取的中點，連接，已知．

(1)求證：．(2)求的面積．(3)將沿翻折，使得落在點處，連接．若點在軸正半軸上（異于點），點在軸上，要使得以點，為頂點的三角形與相似，求點的坐標；若不存在，試說明理由．18．如圖1，中，，，點在內部，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接．

(1)直接寫出線段與的關系為________；(2)如圖2，連接，當，，三點共線時，作于點交于點，求的值；(3)在（2）的條件下，設與交于點，若，直接寫出的值．（用含的式子表示）題型06：最值、定值問題19．在中，，將繞點B順時針旋轉得到，其中點A，C的對應點分別為點，．

(1)如圖1，當點落在的延長線上時，求的長；(2)如圖2，當點落在的延長線上時，連接，交于點M，求的長；(3)如圖3，連接，，直線交于點D，點E為的中點，連接．在旋轉過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．20．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形與正方形的頂B重合，、分別在、邊上，連接，則有：①______；②直線與直線所夾的銳角等于______度；（2）理解運用將圖1中的正方形繞點B逆時針旋轉，連接、，①如圖2，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若D、F、G三點在同一直線上，且過邊的中點O，，直接寫出的長等于______；（3）拓展延伸如圖4，點P是正方形的邊上一動點（不與A、B重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點F，連接，若，則的值是否是定值？請說明理由．

21．某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】(1)如圖，在正