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文檔簡介

(第1課時)

課題:§3.1不等式與不等關(guān)系

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能:通過具體情景,感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,理解不等式(組)

的實際背景,掌握不等式的基本性質(zhì);

2.過程與方法:通過解決具體問題,學(xué)會依據(jù)具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法;

3.情態(tài)與價值:通過解決具體問題,體會數(shù)學(xué)在生活中的重要作用,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

【教學(xué)重點(diǎn)】

用不等式(組)表示實際問題的不等關(guān)系,并用不等式(組)研究含有不等關(guān)系的問題。理解不等式(組)

對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值。

【教學(xué)難點(diǎn)】

用不等式(組)正確表示出不等關(guān)系。

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入

在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系。如兩點(diǎn)之間線段最短,三角形兩邊

之和大于第三邊,等等。人們還經(jīng)常用長與短、高與矮、輕與重、胖與瘦、大與小、不超過或不少于等來

描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系。在數(shù)學(xué)中,我們用不等式來表示不等關(guān)系。

下面我們首先來看如何利用不等式來表示不等關(guān)系。

2.講授新課

1)用不等式表示不等關(guān)系

引例1:限速40km/h的路標(biāo),指示司機(jī)在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h,寫成不等式

就是:

v<40

引例2:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%,

寫成不等式組就是——用不等式組來表示

'f<2.5%

(p>2.3%

問題1:設(shè)點(diǎn)A與平面a的距離為d,B為平面a上的任意一點(diǎn),則

問題2:某種雜志原以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本。據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0.1元,銷售

量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于

20萬元呢?

解:設(shè)雜志社的定價為x元,則銷售的總收入為(8-二r六-2二5x0.2)x萬元,那么不等關(guān)系“銷售的總收入

仍不低于20萬元”可以表示為不等式

(8-Y^-p2x50.2)x>20

問題3:某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)的要求,600mm的數(shù)量不

能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足所有上述不等關(guān)系的不等式呢?

解:假設(shè)截得500mm的鋼管x根,截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意,應(yīng)有如下的不等關(guān)系:

(1)截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm;

(2)截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍;

(3)截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)。

要同時滿足上述的三個不等關(guān)系,可以用下面的不等式組來表示:

5OOx+600y<4000;

3x>y;

x>0;

y>0.

3.隨堂練習(xí)

1、試舉幾個現(xiàn)實生活中與不等式有關(guān)的例子。

2、課本P74的練習(xí)1、2

4.課時小結(jié)

用不等式(組)表示實際問題的不等關(guān)系,并用不等式(組)研究含有不等關(guān)系的問題。

5.作業(yè)

課本P75習(xí)題3.1[A組]第4、5題

2

(第2課時)

課題:§3.1不等式與不等關(guān)系

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能:掌握不等式的基本性質(zhì),會用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式;

2.過程與方法:通過解決具體問題,學(xué)會依據(jù)具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法;

3.情態(tài)與價值:通過講練結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式;

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式。

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入

在初中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過不等式的一些基本性質(zhì)。

請同學(xué)們回憶初中不等式的的基本性質(zhì)。

(1)不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù),不等號的方向不改變;

即若。>b=a±c〉/?±c

(2)不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù),不等號的方向不改變;

即若a〉仇c〉0=ac〉be

(3)不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù),不等號的方向改變。

即若a>b,c<0=>ac<be

2.講授新課

1、不等式的基本性質(zhì):

師:同學(xué)們能證明以上的不等式的基本性質(zhì)嗎?

證明:

1)(a+c)—(b+c)

=a—b>0,

?*.a+c>b+c

2),.?(a+c)-(b+c)=a-b>0,

a+c>b+c.

實際上,我們還有a>6力>cna>c,(證明:;a>b,b>c,

?*.a—b>0,b—c>0.

根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù),得

(a—b)+(b—c)>0,

3

即a—c>0,

??a>c?

于是,我們就得到了不等式的基本性質(zhì):

(1)a>b,b>c=>a>c

(2)a>ba+c>b-}-c

(3)a>h,c>0^>ac>be

(4)a>h.cac<hc

2、探索研究

思考,利用上述不等式的性質(zhì),證明不等式的下列性質(zhì):

(1)a>b,c>dna+c>b+d;

(2)a>h>O,c>d>0ac>hd;

11n

(3)a>h>O,nEN,n>l=>a>b\\[a>\fbo

證明:

1)Va>b,

/.a+c>b+c.①

Vc>d,

.\b+c>b+d.②

由①、②得a+c>b+d.

a>b,c>0ac>be]

2)>ac>hd

c>d,b>0=>be>bd

3)反證法)假設(shè)加(通,

yfa<>Jb=>a<b

則:若「「這都與a>b矛盾,

Ma=Mbna=b

:.'\[a>'\[b.

[范例講解]:

例1、已知。>b〉0,c<0,求證

cc

—>-o

ab

4

證明:以為a〉b〉O,所以ab>0,—>0?

ab

于是ax—>bx—,即

ababba

由c<0,得一>一

ab

3.隨堂練習(xí)1

1、課本P74的練習(xí)3

2、在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍枺?/p>

(1)(V3+V2)6+2V6;

(2)(V3—^^2,)2(V6—1)2;

1_]

(3)

V5-2V6-V5

(4)當(dāng)a>b>0時,log]alog,b

22

答案:(1)<(2)<(3)<(4)<

[補(bǔ)充例題]

例2、比較(a+3)(a—5)與例+2)例-4)的大小。

分析:此題屬于兩代數(shù)式比較大小,實際上是比較它們的值的大小,可以作差,然后展開,合并同類項之

后,判斷差值正負(fù)(注意是指差的符號,至于差的值究竟是多少,在這里無關(guān)緊要)。根據(jù)實數(shù)運(yùn)算的符號

法則來得出兩個代數(shù)式的大小。比較兩個實數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)運(yùn)算符號問題。

解:由題意可知:

(a+3)(a—5)—(a+2)(a—4)

=(a2—2a~15)—(a2—2a—8)

=-7<0

(a+3)(?—5)<(a+2)(a—4)

隨堂練習(xí)2

1、比較大小:

⑴(x+5)(x+7)與(x+6)2

(2)x2+5x+6與2x?+5x+9

4.課時小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì),并用不等式的性質(zhì)證明了一些簡單的不等式,還研究了如何比較兩個實數(shù)(代

數(shù)式)的大小——作差法,其具體解題步驟可歸納為:

第一步:作差并化簡,其目標(biāo)應(yīng)是"個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式;

第二步:判斷差值與零的大小關(guān)系,必要時須進(jìn)行討論;

第三步:得出結(jié)論

5.作業(yè)

課本P75習(xí)題3.1[A組]第2、3題:[B組]第1題

5

(第3課時)

課題:§3.2一元二次不等式及其解法

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能:理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系,掌握圖象法解一元二次不等式的

方法;培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力,培養(yǎng)分類討論的思想方法,培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力;

2.過程與方法:經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數(shù)圖象探究一元二次不等式

與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系,獲得一元二次不等式的解法;

3.情態(tài)與價值:激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,培養(yǎng)勇于探索的精神,勇于創(chuàng)新精神,同時體會事物之間普遍聯(lián)系

的辯證思想。

【教學(xué)重點(diǎn)】

從實際情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。

【教學(xué)難點(diǎn)】

理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系。

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入

從實際情境中抽象出一元二次不等式模型:

教材P76互聯(lián)網(wǎng)的收費(fèi)問題

教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題,最后得到一元二次不等式模型:X2-5X<0...........(1)

2.講授新課

1)一元二次不等式的定義

象x2-5x<0這樣,只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式

2)探究一元二次不等式x2-5x<0的解集

怎樣求不等式(1)的解集呢?

探究:

(1)二次方程的根與二次函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系

容易知道:二次方程的有兩個實數(shù)根:xt=0,x2=5

二次函數(shù)有兩個零點(diǎn):Xj=0,x2=5

于是,我們得到:二次方程的根就是二次函數(shù)的零點(diǎn)。

(2)觀察圖象,獲得解集

畫出二次函數(shù)y=/-5x的圖象,如圖,觀察函數(shù)圖象,可知:

當(dāng)x<0,或x>5時,函數(shù)圖象位于x軸上方,此時,y>0,B|Jx2—5x>0;

當(dāng)0<x<5時,函數(shù)圖象位于x軸下方,此時,y<0,即犬―5x<0;

所以,不等式爐-5》<0的解集是{xl0<x<5},從而解決了本節(jié)開始時提出的問題。

6

3)探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式,總可以化為以下兩種形式:以2+區(qū)+00,3〉0)或分2+云+(;<0,(4〉())

一般地,怎樣確定一元二次不等式a—+bx+c>0與a—+bx+c<0的解集呢?

組織討論:

從上面的例子出發(fā),綜合學(xué)生的意見,可以歸納出確定一元二次不等式的解集,關(guān)鍵要考慮以下兩點(diǎn):

(1)拋物線y=ax?+云+c與x軸的相關(guān)位置的情況,也就是一元二次方程ax2+bx+c=O的根的情況

(2)拋物線y=a/+bx+c的開口方向,也就是a的符號

總結(jié)討論結(jié)果:

(1)拋物線y^ax2+hx+c(a>0)與x軸的相關(guān)位置,分為三種情況,這可以由一元二次方程

a?+b無+c=0的判別式△=/一4此三種取值情況(△>0,A=0,A<0)來確定.因此,要分二種情況討論

(2)a〈0可以轉(zhuǎn)化為a>0

分A>0,A=0,MO三種情況,得到一元二次不等式辦2+區(qū)+”0與。/+云+。<0的解集

一元二次不等式a/+bx+c〉0或ax?+bx+c<0(aH0)的解集:

設(shè)相應(yīng)的一元二次方程+笈+。=0(。工0)的兩根為補(bǔ)超且當(dāng)4》2,A=^2-4ac,則不等式的解

的各種情況如下表:(讓學(xué)生獨(dú)立完成課本第77頁的表格)

A>0A=0A<0

222

y=ctx+/zx+cy=Ciix+6x+cy==ax+/?x+c

二次函數(shù)

rkJ

2

y-ax+bx+c[L

1\T

(a>0)的圖象\

Xx=X2XX

一元二次方程

有兩才目異實根有兩相等實根

ax2+bx+c=Ob

(X]<x)Xi=Xj~無實根

(a>0的艮22a

ax2+》x+c>0

{x\x<匹或X>x]b

2<XxW--*----

(a>0)的解集2aR

ax2+Z?x+c<0

<X<X]

卜區(qū)20

(〃>0)的解集0

7

[范例講解]

例2(課本第78頁)求不等式4/一4工+1〉0的解集.

解:因為△=(),方程4x2-4x+l=0的解是/=%2=;.

所以,原不等式的解集是{x

例3(課本第78頁)解不等式-/+2》-3〉0.

解:整理,得2x+3<0.

因為△<(),方程2尤+3=0無實數(shù)解,

所以不等式彳2—2x+3<0的解集是0.

從而,原不等式的解集是0.

3.隨堂練習(xí)

課本第80的練習(xí)1⑴、(3)、(5)、(7)

4.課時小結(jié)

解一元二次不等式的步驟:

①將二次項系數(shù)化為“+":A=ax2++c>0(nJ(<0)(a>0)

②計算判別式△,分析不等式的解的情況:

若A>0,則x<項或〉x;

i.A>0時,求根匹v/,2

若A<0,則X]<x<々.

‘若A>0,則的一切實數(shù);

ii.A=0時,求根玉=X2=工0,<若A<0,貝kG0;

若AK0,則

若A>0,則XER;

iii.A<O0寸,方程無解,

若A<0,則xe放.

③寫出解集.

5.評價設(shè)計

課本第80頁習(xí)題3.2[A]組第1題

8

(第4課時)

課題:§3.2一元二次不等式及其解法

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能:鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系;進(jìn)一步熟練解一元二次不等式的

解法;

2.過程與方法:培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力,一題多解的能力,培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力;

3.情態(tài)與價值:激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,培養(yǎng)勇于探索的精神,勇于創(chuàng)新精神,同時體會從不同側(cè)面觀察同

一事物思想

【教學(xué)重點(diǎn)】

熟練掌握一元二次不等式的解法

【教學(xué)難點(diǎn)】

理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入

1.一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系

2.一元二次不等式的解法步驟——課本第86頁的表格

2.講授新課

[范例講解]

例1某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離sm和汽車的速度xkm/h有如下的關(guān)系:

在一次交通事故中,測得這種車的剎車距離大于39.5m,那么這輛汽車剎車前的速度是多少?(精確到

0.01km/h)

11

解:設(shè)這輛汽車剎車前的速度至少為Xkm/h,根據(jù)題意,我們得到一x+—X02>39.5

20180

移項整理得:X2+9X-7110>0

顯然>0,方程/+9x-7110=0有兩個實數(shù)根,即

%a—88.94,々*79.94。所以不等式的解集為{xlx<—88.94,或x>79.94}

在這個實際問題中,x>0,所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h.

例4、?個汽車制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線,這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x(輛)與創(chuàng)造的

價值y(元)之間有如下的關(guān)系:

y=-2x2+220x

若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以匕那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛

摩托車?

解:設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車,根據(jù)題意,我們得到

-2X2+220X>6000

移項整理,得

9

X2-110X+3000<0

因為=100>0,所以方程――110X+3000=0有兩個實數(shù)根

X]=50,X,=60

由二次函數(shù)的圖象,得不等式的解為:50<x<60

因為x只能取正整數(shù),所以,當(dāng)這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51—59輛之間時,

這家工廠能夠獲得6000元以上的收益。

3.隨堂練習(xí)1

課本第80頁練習(xí)2

[補(bǔ)充例題]

▲應(yīng)用一(?元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系)

例:設(shè)不等式辦2+版+1>0的解集為求ab?

▲應(yīng)用二(一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系)

例:設(shè)4={》|——4x+3<0},8={xlx2—2x+a—8W0},且求a的取值范圍.

改:設(shè)犬―2x+a—8W0對于一切xe(l,3)都成立,求。的范圍.

改:若方程/—2x+a—8=0有兩個實根玉,馬,且玉23,x2<1,求。的范圍.

隨堂練習(xí)2

1、已知二次不等式ax?+灰+。<0的解集為{xlx<:或x>5,求關(guān)于x的不等式ex?-bx+a>0的解

集.

2、若關(guān)于m的不等式〃?/一(2m+13+〃?一120的解集為空集,求機(jī)的取值范圍.

改1:解集非空

改2:解集為一切實數(shù)

4.課時小結(jié)

進(jìn)一步熟練掌握一元二次不等式的解法

一元二次不等式與一元二次方程以及一元二次函數(shù)的關(guān)系

5.作業(yè)

課本第80頁的習(xí)題3.2[A]組第3、5題

10

(第5課時)

課題:§3.3.1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能:了解二元一次不等式的幾何意義,會用二元一次不等式組表示平面區(qū)域;

2.過程與方法:經(jīng)歷從實際情境中抽象出二元詼不等式組的過程,提高數(shù)學(xué)建模的能力;

3.情態(tài)與價值:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),體會數(shù)學(xué)來源與生活,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

【教學(xué)重點(diǎn)】

用二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域;

【教學(xué)難點(diǎn)】

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入

1.從實際問題中抽象出二元一次不等式(組)的數(shù)學(xué)模型

課本第82頁的“銀行信貸資金分配問題”

教師引導(dǎo)學(xué)生思考、探究,讓學(xué)生經(jīng)歷建立線性規(guī)劃模型的過程。

在獲得探究體驗的基礎(chǔ)上,通過交流形成共識:

2.講授新課

1.建立二元一次不等式模型

把實際問題包數(shù)學(xué)問題:

設(shè)用于企'業(yè)貸款的資金為x元,用于個人貸款的資金為y元。

(把文字語言包符號語言)

(資金總數(shù)為25000000元)=>x+y<25000000(1)

(預(yù)計企業(yè)貸款創(chuàng)收12%,個人貸款創(chuàng)收10%,共創(chuàng)收30000元以上)=(12%)x+(10%)y>30000即

12x+10y>3000000(2)

(用于企業(yè)和個人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)值)=>x>0,y>0(3)

將(1)(2)(3)合在一起,得到分配資金應(yīng)滿足的條件:

'x+y<25000000

<12x+lOy>3000000

x>0,y>0

2.二元一次不等式和二元一次不等式組的定義

(1)二元一次不等式:含有兩個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫做二元一次不等式。

(2)二元一次不等式組:有兒個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。

(3)二元一次不等式(組)的解集:滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(x,y),

11

所有這樣的有序?qū)崝?shù)對(x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集。

(4)二元一次不等式(組)的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系:

二元一次不等式(組)的解集是有序?qū)崝?shù)對,而點(diǎn)的坐標(biāo)也是有序?qū)崝?shù)對,因此,有序?qū)崝?shù)對就可以

看成是平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而,二元一次不等式(組)的解集就可以看成是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合。

3.探究二元一次不等式(組)的解集表示的圖形

(1)回憶、思考

回憶:初中一元一次不等式(組)的解集所表示的圖形——數(shù)軸上的區(qū)間

思考:在直角坐標(biāo)系內(nèi),二元?次不等式(組)的解集表示什么圖形?

(2)探究

從特殊到一般:

先研究具體的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的圖形。

如圖:在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),x-y=6表示一條直線。平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線分成三類:4

第一類:在直線x-y=6上的點(diǎn);,一

第二類:在直線x-y=6左上方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn);’

第三類:在直線x-y=6右下方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。力

設(shè)點(diǎn)是直線x-y=6上的點(diǎn),選取點(diǎn),使它的坐標(biāo)滿足不等式x-y〈6,請同學(xué)們完成課本

第83頁的表格,

橫坐標(biāo)X-3-2-10123

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)X

點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y2

并思考:

當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P有相同的橫坐標(biāo)時,它們的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系?

根據(jù)此說說,直線x-y=6左上方的坐標(biāo)與不等式x-y〈6有什么關(guān)系?

直線x-y=6右下方點(diǎn)的坐標(biāo)呢?

學(xué)生思考、討論、交流,達(dá)成共識:

在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次不等式x-y<6的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線x-y=6

的左上方;反過來,直線x-y=6左上方的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式x-y<6。

因此,在平面直角坐標(biāo)系中,不等式x-y<6表示直線x-y=6左上方的平面區(qū)域;如圖。

類似的:二元一次不等式x-y〉6表示直線x-y=6右下方的區(qū)域;如圖。

直線叫做這兩個區(qū)域的邊界

由特殊例子推廣到?般情況:

(3)結(jié)論:

二元一次不等式Ax^By^OQ在平面直角坐標(biāo)系中表示直線力廣Me0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.

(虛線表示區(qū)域不包括邊界直線)

4.二元一?次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法

由于對在直線Ax+By+(=Q同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By^C,所得到實數(shù)的符

號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)(版,修),從計為計C的正負(fù)即可判斷Ax+Bp-C>0表示

直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.(特殊地,當(dāng)C*0時,常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn))

【應(yīng)用舉例】

例1畫出不等式x+4y<4表示的平面區(qū)域。

12

解:先畫直線x+4y=4(畫成虛線).

取原點(diǎn)(0,0),代入x+4y-4,;044X0-4=4<0,

二原點(diǎn)在x+4y<4表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式x+4y<4表示的區(qū)域如圖:

歸納:畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界,特殊點(diǎn)定域”的方法。特殊地,當(dāng)CwO時,

常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。

變式1、畫出不等式4x-3y412所表示的平面區(qū)域。

變式2、畫出不等式x21所表示的平面區(qū)域。

例2用平面區(qū)域表示.不等式組的解集。

x<2y

分析:不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個不等式所表示的

平面區(qū)域的公共部分。

解:不等式y(tǒng)<—3x+12表示直線y=—3x+12右下方的區(qū)域,x<2y表示直線x=2y勺

右上方的區(qū)域,取兩區(qū)域重疊的部分,如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。

歸納:不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個不等式,「二

所表示的平面區(qū)域的公共部分。

變式1、畫出不等式3+2?+1)5-丁+4)<0表示的平面區(qū)域。

變式2、由直線x+y+2=0,x+2y+l=0和2x+y+l=0圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)用不等式可

表示為?

3.隨堂練習(xí)

1、課本第86頁的練習(xí)1、2、3

4.課時小結(jié)

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域.

2.二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法.

3.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.

5.作業(yè)

課本第93頁習(xí)題3.3[A]組的第1題

13

(第6課時)

課題:§3.3.1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能:鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域;能根據(jù)實際問題中的已知條

件,找出約束條件;

2.過程與方法:經(jīng)歷把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程,體會集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;

3.情態(tài)與價值:結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識,激勵學(xué)生創(chuàng)新。

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解二元一次不等式表示平面區(qū)域并能把不等式(組)所表示的平面區(qū)域畫出來;

【教學(xué)難點(diǎn)】

把實際問題抽象化,用二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域。

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入

[復(fù)習(xí)引入]

二元一次不等式Ax^B^OQ在平面直角坐標(biāo)系中表示直線4廿如信0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.

(虛線表示區(qū)域不包括邊界直線)

判斷方法:由于對在直線4戶為+小0同一?側(cè)的所有點(diǎn)(x,。,把它的坐標(biāo)(x,。代入/廣a+G所得到

實數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)(施,%),從4加+旗+,的正負(fù)即可判斷/戶5c

>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.(特殊地,當(dāng)今。時,常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn))。

隨堂練習(xí)1

1、畫出不等式2x+尸6Vo表示的平面區(qū)域.

x-y+5>0

2、畫出不等式組■x+yNO表示的平面區(qū)域。

x<3

2.講授新課

【應(yīng)用舉例】

例3某人準(zhǔn)備投資1200萬興辦一所完全中學(xué),對教育市場進(jìn)行調(diào)查后,他得到了下面的數(shù)據(jù)表格(以班

級為單位):

學(xué)段班級學(xué)生人數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)/萬元教師年薪/萬元

初中45226/班2/人

高中40354/班2/人

分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述的限制條件。

解:設(shè)開設(shè)初中班x個,開設(shè)高中班y個,根據(jù)題意,總共招生班數(shù)應(yīng)限制在20-30之間,所以有

20<x+y<30

考慮到所投資金的限制,得至ij26x+54y+2x2x+2x3y<1200

即x+2y<40

另外,開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù),則xNO,yNO

14

把上面的四個不等式合在一起,得到:

20<x+y<30

x+2y<40

x>0

y>0

用圖形表示這個限制條件,得到如圖的平面區(qū)域(陰影部分)

例4一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽18t;生產(chǎn)1車皮乙

種肥料需要的主要原料是磷酸鹽It,硝酸鹽15t,現(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)兩種混合

肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。

解:設(shè)x,y分別為計劃生產(chǎn)甲乙兩種混合肥料的車皮數(shù),于是滿足以下條件:

4x+y<10;

18x+15y<66

x-°ZF;

y〉04*..”10的“5丫"66

在直角坐標(biāo)系中可表示成如圖的平面區(qū)域(陰影部分)。

[補(bǔ)充例題]

例1、畫出下列不等式表示的區(qū)域

(1)(x-y)(x-y-l)<0;(2)x<\y\<2x

分析:(D轉(zhuǎn)化為等價的不等式組;(2)注意到不等式的傳遞性,由x42x,得xNO,又用—y代y,不

等式仍成立,區(qū)域關(guān)于x軸對稱。

x-y>0fx-y<0一—-為人,

解:(1)^^0<x-y<l^\/,矛盾無解,故點(diǎn)(x,y)在一帶形區(qū)域內(nèi)(含邊界)。

x-y-1<0[x-y>1

x—y<0

(2)由得xNO;當(dāng)y>0時,有<)八點(diǎn)(x,y)在一條形區(qū)域內(nèi)(邊界);當(dāng)yWO,由

2x-y>0

對稱性得出。

指出:把非規(guī)范形式等價轉(zhuǎn)化為規(guī)范不等式組形式便于求解

15

2x-y-3>0

例2、利用區(qū)域求不等式組《2x+3y-6<0的整數(shù)解

3x-5y-15<0

分析:不等式組的實數(shù)解集為三條直線4:2x—y—3=0,/2:2x+3y-6=0,。:3x—5y-15=0所圍

成的三角形區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)。設(shè)hch=B,l2n/3=C,求得區(qū)域內(nèi)點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍,

取出x的所有整數(shù)值,再代回原不等式組轉(zhuǎn)化為y的一元不等式組得出相應(yīng)的y的整數(shù)值。

解:設(shè)/[:2x-y—3=0,4:2x+3y-6=0,Z3:3x-5y-15=0,lxr>l2-A,八cj=B,

153751275

/2n/3=C,AA(—8(0,-3),C(—,一一)。于是看出區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在(0,一)內(nèi),取x=l,

y<-1

412

2,3,當(dāng)x=l時,代入原不等式組有得y=-2,.?.區(qū)域內(nèi)有整點(diǎn)(1,-2)。

同理可求得另外三個整點(diǎn)(2,0),(2,-1),(3,-1)。

指出:求不等式的整數(shù)解即求區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)是教學(xué)中的難點(diǎn),它為線性規(guī)劃中求最優(yōu)整數(shù)解作鋪墊。常有

兩種處理方法,一種是通過打出網(wǎng)絡(luò)求整點(diǎn);另一種是本題解答中所采用的,先確定區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的

范圍,確定x的所有整數(shù)值,再代回原不等式組,得出y的一元一次不等式組,再確定y的所有整數(shù)值,

即先固定x,再用x制約y。

3.隨堂練習(xí)2

1.(1)y>|x|+1;(2).|x|>|y|;(3).x>|>!|

x+y-6>0

x—v0

2.畫出不等式組《一表示的平面區(qū)域

y<3

x<5

3.課本第86頁的練習(xí)4

4.課時小結(jié)

進(jìn)一步熟悉用不等式(組)的解集表示的平面區(qū)域。

5.作業(yè)

1、課本第93頁習(xí)題3.3[B]組的第1、2題

16

(第7課時)

課題:§3.3.2簡單的線性規(guī)劃

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能:使學(xué)生了解二元一次不等式表示平面區(qū)域;了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、

可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念:了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決?些簡單的實際問題;

2.過程與方法:經(jīng)歷從實際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程,提高數(shù)學(xué)建模能力;

3.情態(tài)與價值:培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生

“建?!焙徒鉀Q實際問題的能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】

用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題

【教學(xué)難點(diǎn)】

準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入

[復(fù)習(xí)提問]

1、二元一次不等式Ax+8),+C〉0在平面直角坐標(biāo)系中表示什么圖形?

2、怎樣畫二元次不等式(組)所表示的平面區(qū)域?應(yīng)注意哪些事項?

3、熟記“直線定界、特殊點(diǎn)定域”方法的內(nèi)涵。

2.講授新課

在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活中,經(jīng)常會遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題。

1、下面我們就來看有關(guān)與生產(chǎn)安排的一個問題:

引例:某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時lh,每生產(chǎn)一

件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件,按每天8h計

算,該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么?

(1)用不等式組表示問題中的限制條件:

設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件,又已知條件可得二元一次不等式組:

x+2y<8

4x<16

4y412

x>0

y>0

(2)畫出不等式組所表示的平面區(qū)域:

如圖,圖中的陰影部分的整點(diǎn)(坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn))就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。

(3)提出新問題:

進(jìn)一步,若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元,生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大?

(4)嘗試解答:

設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件時,工廠獲得的利潤為z,則這樣,上述問題就轉(zhuǎn)化為:

當(dāng)x,y滿足不等式(1)并且為非負(fù)整數(shù)時,z的最大值是多少?

17

把z=2"3y變形為y=—2+7這是斜率為—2在y軸上的截距為;7的直線。當(dāng)z變化時,可以

得到一族互相平行的直線,如圖,由于這些直線的斜率是確定的,因此只要給定一個點(diǎn),(例如(1,2)),

就能確定一條直線(y=—-x+-),這說明,截距g可以由平面內(nèi)的一個點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定??梢钥吹?,

333

直線y=-2+7*與不等式組(1)的區(qū)域的交點(diǎn)滿足不等式組(1),而且當(dāng)截距7£最大時,z取得最大值。

■333

因此,問題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線y=2+£7與不等式組(1)確定的平面區(qū)域有公共點(diǎn)時,

33

在區(qū)域內(nèi)找一個點(diǎn)p,使直線經(jīng)過點(diǎn)p時截距三最大。

(5)獲得結(jié)果:'

由上圖可以看出,當(dāng)實現(xiàn)y=——2x+工7金國直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M(4,2)時,截距三7的

333

14

值最大,最大值為一,這時2x+3y=14.所以,每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件,乙產(chǎn)品2件時,工廠可獲得最大利潤

3

14萬元。

2、線性規(guī)劃的有關(guān)概念:

①線性約束條件:在上述問題中,不等式組是一組變量x、y的約束條件,這組約束條件都是關(guān)于x、y

的一次不等式,故又稱線性約束條件.

②線性目標(biāo)函數(shù):

關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式,叫線性目標(biāo)函數(shù).

③線性規(guī)劃問題:

一般地,求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.

④可行解、可行域和最優(yōu)解:

滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解.

由所有可行解組成的集合叫做可行域.

使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.

3、變換條件,加深理解

探究:課本第88頁的探究活動

(1)在上述問題中,如果生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元,每生產(chǎn)?件乙產(chǎn)品獲利2萬元,有應(yīng)當(dāng)如何安排

生產(chǎn)才能獲得最大利潤?在換幾組數(shù)據(jù)試試。

(2)有上述過程,你能得出最優(yōu)解與可行域之間的關(guān)系嗎?

3.隨堂練習(xí)

1.請同學(xué)們結(jié)合課本為練習(xí)1來掌握圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題

3

2

(1)求麥2戶y的最大值,使式中的x、y滿足約束條件

-2

解:不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示:CJ

當(dāng)x=0,尸0時,

Z=2A+J=02x+y=0

18

點(diǎn)(0,0)在直線/。:2戶片0上.

作?組與直線/。平行的直線

I:2戶尸方"£R.

可知,在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于/的直線中,

以經(jīng)過點(diǎn)力(2,-1)的直線所對應(yīng)的心最大.x-y+1=0

所以2即=2X2-1=3.

3x+5y=0\/

(2)求^=3戶5P的最大值和最小值,使式中的x、y滿足約束條件XA

5x+3y<15,

ywx+L

x-5y>3,(

解:不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示:

從圖示可知,直線3田5產(chǎn)1在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)

時,以經(jīng)過點(diǎn)(-2,-1)的直線所對應(yīng)的力最小,以經(jīng)過點(diǎn)('9,:17)的直線所對應(yīng)的t最大.

8'8

所以Zmn-3X(-2)+5X(-1)=-11.

c9「17,

X—+5X——14

88

4.課時小結(jié)

用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟:

(1)尋找線性約束條件,線性目標(biāo)函數(shù);

(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域;

(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解

5.作業(yè)

課本第93頁習(xí)題[A]組的第2題.

19

(第8課時)

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