北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列2.1二次函數(shù)【八大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題2.1二次函數(shù)【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1識(shí)別二次函數(shù)】 1【題型2由二次函數(shù)的定義求參數(shù)的值】 2【題型3由二次函數(shù)的定義求參數(shù)的取值范圍】 2【題型4二次函數(shù)的一般形式】 2【題型5判斷二次函數(shù)的關(guān)系式】 3【題型6列二次函數(shù)關(guān)系式（銷(xiāo)售問(wèn)題）】 4【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式（幾何圖形問(wèn)題）】 5【題型8列二次函數(shù)關(guān)系式（增長(zhǎng)率、循環(huán)問(wèn)題）】 6【知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的概念】一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y=次函數(shù)的一般形式．【題型1識(shí)別二次函數(shù)】【例1】（2023春·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A．y=3x?1 B．y=x3+2 C．y=【變式1-1】（2023·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·校考模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（

）A．y=x(x?1) B．y=2x2?1 【變式1-2】（2023春·浙江嘉興·九年級(jí)?？计谥校┯邢铝泻瘮?shù)：①y=5x-4；②y=23x2?6x；③y=2x3其中屬于二次函數(shù)的是___________（填序號(hào)）．【變式1-3】（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（）①y=1?2x2，②y=1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型2由二次函數(shù)的定義求參數(shù)的值】【例2】（2023春·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=(m+1)x|m|+1+4x?5是關(guān)于x【變式2-1】（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校聯(lián)考期末）若函數(shù)y=m?2A．m≠0 B．m≠2 C．x≠0 D．x≠2【變式2-2】（2023春·北京西城·九年級(jí)北京十四中?？计谥校┮阎瘮?shù)y=mx【變式2-3】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）若函數(shù)y=mxm2A．0或?1 B．0或1 C．?1 D．1【題型3由二次函數(shù)的定義求參數(shù)的取值范圍】【例3】（2023春·四川遂寧·九年級(jí)?？计谥校┮阎瘮?shù)y=(m2【變式3-1】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）若函數(shù)y=m+1x2A．m=?1 B．m>?1 C．m<?1 D．m≠?1【變式3-2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的函數(shù)y=a?bx2A．a(chǎn)≠b B．a(chǎn)=b C．b=0 D．a(chǎn)=0【變式3-3】（2023春·河北承德·九年級(jí)階段練習(xí)）若函數(shù)y=?2(x?1)2+(a?1)A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠1 C．a(chǎn)≠2 D．a(chǎn)≠3【題型4二次函數(shù)的一般形式】【例4】（2023·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函數(shù)，則此解析式的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1【變式4-1】（2023春·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谀┌褃＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為_(kāi)_______．【變式4-2】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）下列函數(shù)中（x，t為自變量），哪些是二次函數(shù)？如果是二次函數(shù)，請(qǐng)指出二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)y=?1(2)y=x?3(3)s=5(4)y=x【變式4-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1???（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2【知識(shí)點(diǎn)2列二次函數(shù)關(guān)系式】(1)理解題意：找出實(shí)際問(wèn)題中的已知量和変量（自變量，因變量），將文字或圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言；(2)分析關(guān)系：找到已知量和變量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式；(3)列函數(shù)表達(dá)式：設(shè)出表示變量的字母，把等量關(guān)系式用含字母的式子替換，將表達(dá)式寫(xiě)成用自變量表示的函數(shù)的形式.【題型5判斷二次函數(shù)的關(guān)系式】【例5】（2023春·北京西城·九年級(jí)北京市第三十五中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度移動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，點(diǎn)M、C之間的距離為y，△MCN的面積為S，則y與t，S與A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【變式5-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)系中，是二次函數(shù)關(guān)系的是（）A．當(dāng)距離S一定時(shí)，汽車(chē)行駛的時(shí)間t與速度v之間的關(guān)系；B．在彈性限度時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度y與所掛物體的質(zhì)量x之間的關(guān)系；C．圓的面積S與圓的半徑r之間的關(guān)系；D．正方形的周長(zhǎng)C與邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系；【變式5-2】（2023春·湖北宜昌·九年級(jí)校聯(lián)考期中）下列選項(xiàng)描述的y與x之間的關(guān)系是二次函數(shù)的是（

）A．正方體的體積y與棱長(zhǎng)x之間的關(guān)系B．某商品在6月的售價(jià)為30元，7月和8月連續(xù)兩次降價(jià)銷(xiāo)售，平均每月降價(jià)的百分率為x，該商品8月的售價(jià)y與x之間的關(guān)系C．距離一定時(shí)，汽車(chē)勻速行駛的時(shí)間y與速度x之間的關(guān)系D．等腰三角形的頂角度數(shù)y與底角度數(shù)x之間的關(guān)系【變式5-3】（2023春·北京昌平·九年級(jí)校考期中）如圖，線段AB=5，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，以點(diǎn)A為圓心，線段AP長(zhǎng)為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)P，B之間的距離為y，⊙A的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是_________________，_________________．（填“正比例函數(shù)”或“一次函數(shù)”或“二次函數(shù)”）【題型6列二次函數(shù)關(guān)系式（銷(xiāo)售問(wèn)題）】【例6】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價(jià)．若每件商品售為x元，則可賣(mài)出（350-10x）件商品，那么商品所賺錢(qián)y元與售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系為（）A．y=?10x2?560x+7350C．y=?10x2+350x【變式6-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）王大爺生產(chǎn)經(jīng)銷(xiāo)一種農(nóng)副產(chǎn)品，其成本價(jià)為20元每千克．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量w(千克)與銷(xiāo)售價(jià)x(元/千克)有如下關(guān)系:w=?2x+60．若這種產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y(元).求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【變式6-2】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）商店銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為50元/件的商品，售價(jià)為60元/件，每星期可賣(mài)出200件，若每件商品的售價(jià)上漲1元，則每星期就會(huì)少賣(mài)10件．每件商品的售價(jià)上漲x元（x元為正整數(shù)），每星期銷(xiāo)售的利潤(rùn)為y元，則x與y的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y=10200?10x B．C．y=50+x200?10x 【變式6-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某農(nóng)戶要改造部分農(nóng)田種植蔬菜，經(jīng)調(diào)查，平均每畝改造費(fèi)用是900元，添加輔助設(shè)備費(fèi)用（元）與改造面積（畝）的平方成正比，比例系數(shù)為18，每畝種植蔬菜還需種子、人工費(fèi)用600元，若每畝蔬菜年銷(xiāo)售額為7000元，設(shè)改造農(nóng)田x畝，改造當(dāng)年收益為y元，則y與x之間的數(shù)量關(guān)系可列式為（

）A．y=7000x?900x+18x+600x B．C．y=7000?900x+18x2【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式（幾何圖形問(wèn)題）】【例7】（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如下圖所示，在一幅長(zhǎng)80cm、寬50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛畫(huà)，設(shè)整個(gè)掛畫(huà)總面積為ycm2，金色紙邊的寬為x【變式7-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等腰梯形的周長(zhǎng)為60，底角為30°，腰長(zhǎng)為x，面積為y，試寫(xiě)出y與x的函數(shù)表達(dá)式．【變式7-2】（2023春·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長(zhǎng)25m）的空地上修建一個(gè)矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍住（如圖）.若設(shè)綠化帶的BC邊長(zhǎng)為xm，綠化帶的面積為ym2.則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是，自變量x的取值范圍是；【變式7-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）圖（1）是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，則第n個(gè)疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)m與n的解析式是______．專題2.1二次函數(shù)【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1識(shí)別二次函數(shù)】 1【題型2由二次函數(shù)的定義求參數(shù)的值】 3【題型3由二次函數(shù)的定義求參數(shù)的取值范圍】 4【題型4二次函數(shù)的一般形式】 6【題型5判斷二次函數(shù)的關(guān)系式】 7【題型6列二次函數(shù)關(guān)系式（銷(xiāo)售問(wèn)題）】 10【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式（幾何圖形問(wèn)題）】 11【題型8列二次函數(shù)關(guān)系式（增長(zhǎng)率、循環(huán)問(wèn)題）】 14【知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的概念】一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y=次函數(shù)的一般形式．【題型1識(shí)別二次函數(shù)】【例1】（2023春·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A．y=3x?1 B．y=x3+2 C．y=【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可，注意C、D兩項(xiàng)化簡(jiǎn)完后再判斷．【詳解】解：A、y=3x?1是一次函數(shù)，不符合題意；B、y=x3+2C、y=x?22?D、y=x4?x可化為y=4x?故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，一般地，形如y=ax2+bx+c（a【變式1-1】（2023·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·校考模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（

）A．y=x(x?1) B．y=2x2?1 【答案】D【分析】二次函數(shù)要求化簡(jiǎn)后有二次項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)的定義回答即可．【詳解】A、函數(shù)化簡(jiǎn)為y=xB、是二次函數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；C、是二次函數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；D、函數(shù)化簡(jiǎn)為y=10x+25，沒(méi)有二次項(xiàng)，不是二次函數(shù)，本選項(xiàng)符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·浙江嘉興·九年級(jí)?？计谥校┯邢铝泻瘮?shù)：①y=5x-4；②y=23x2?6x；③y=2x3其中屬于二次函數(shù)的是___________（填序號(hào)）．【答案】②④【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：②y=23x2?6x；④y=①y=5x﹣4是一次函數(shù)，不屬于二次函數(shù)；③y=2x⑤y=3x綜上所述，其中屬于二次函數(shù)的是②④．故答案為：②④．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．【變式1-3】（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（）①y=1?2x2，②y=1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如y=ax2+bx+c（a，b，c【詳解】解：①y=1?2②y=1③y=3x1?3x④y=(1?2x)(1+2x)，整理后是二次函數(shù)；【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【題型2由二次函數(shù)的定義求參數(shù)的值】【例2】（2023春·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=(m+1)x|m|+1+4x?5是關(guān)于x【答案】二【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的定義得到m+1=2，m+1≠0，解得m=1【詳解】∵函數(shù)y=(m+1)x|m|+1+4x?5∴m+1=2且m+1≠0解得：m=1，∴一次函數(shù)y=mx?m的圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第二象限，故答案為：二【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義以及一次函數(shù)的性質(zhì)，求得m=1是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校聯(lián)考期末）若函數(shù)y=m?2A．m≠0 B．m≠2 C．x≠0 D．x≠2【答案】B【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：由題意得，m?2≠0，解得m≠2．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟知一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c【變式2-2】（2023春·北京西城·九年級(jí)北京十四中校考期中）已知函數(shù)y=mx【答案】y=2【分析】由函數(shù)y=mxm2?2m+2+m?2【詳解】解：∵函數(shù)y=mx∴m2?2m+2=2且當(dāng)m2解得：m1=0，綜上：m=2，∴函數(shù)解析式為y=2x故答案為：y=2x【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，一元二次方程的解法，掌握“二次函數(shù)的定義”是解本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）若函數(shù)y=mxm2A．0或?1 B．0或1 C．?1 D．1【答案】A【分析】利用二次函數(shù)定義可得m2+m+2=2，且【詳解】解：由題意得：m2+m+2=2，且解得：m=?1或m=0且m≠0，故m=?1，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)．【題型3由二次函數(shù)的定義求參數(shù)的取值范圍】【例3】（2023春·四川遂寧·九年級(jí)?？计谥校┮阎瘮?shù)y=(m2【答案】m≠2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可得不等式m2【詳解】解：∵函數(shù)y=(∴m解得m≠±故答案為：m≠2且【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握和運(yùn)用二次函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）若函數(shù)y=m+1x2A．m=?1 B．m>?1 C．m<?1 D．m≠?1【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可得到答案．【詳解】解：∵函數(shù)y=m+1∴m+1≠0，∴m≠?1，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟記二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不等于0是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的函數(shù)y=a?bx2A．a(chǎn)≠b B．a(chǎn)=b C．b=0 D．a(chǎn)=0【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵y=a?b∴a?b≠0，解得：a≠b，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的條件，二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)不為0．【變式3-3】（2023春·河北承德·九年級(jí)階段練習(xí)）若函數(shù)y=?2(x?1)2+(a?1)A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠1 C．a(chǎn)≠2 D．a(chǎn)≠3【答案】D【詳解】試題分析：由原函數(shù)解析式得到：y=?2(x?1)2+(a?1)x2=(a?3)x2考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義．【題型4二次函數(shù)的一般形式】【例4】（2023·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函數(shù)，則此解析式的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的一般形式為y=ax2+bx+c【詳解】∵y=m?1xm+3m+2x+1是二次函數(shù)，∴m?1≠0，m=2，即【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的一般形式為y=ax2+bx+c【變式4-1】（2023春·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谀┌褃＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為_(kāi)_______．【答案】1【分析】先將其化為一般式，即可求出一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，從而求出結(jié)論．【詳解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6∴一次項(xiàng)系數(shù)為7，常數(shù)項(xiàng)為-6∴一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為7＋（-6）=1故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)的一般式，掌握二次函數(shù)的一般形式是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）下列函數(shù)中（x，t為自變量），哪些是二次函數(shù)？如果是二次函數(shù)，請(qǐng)指出二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)y=?1(2)y=x?3(3)s=5(4)y=x【答案】(1)是，二次項(xiàng)是3x2、一次項(xiàng)系數(shù)是0、常數(shù)項(xiàng)是(2)不是；(3)是，二次項(xiàng)是5t2、一次項(xiàng)系數(shù)是1、常數(shù)項(xiàng)是(4)不是【分析】根據(jù)二次函數(shù)的概念求解即可．【詳解】（1）是二次函數(shù)，二次項(xiàng)是3x2、一次項(xiàng)系數(shù)是0、常數(shù)項(xiàng)是（2）y=x?3（3）是二次函數(shù)，二次項(xiàng)是5t2、一次項(xiàng)系數(shù)是1、常數(shù)項(xiàng)是（4）y=x2?3【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的概念，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中ax2【變式4-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1???（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2【答案】y=【詳解】解：∵－1的相反數(shù)是1，－2的倒數(shù)是?12，∴函數(shù)y=?x2+3x?2【知識(shí)點(diǎn)2列二次函數(shù)關(guān)系式】(1)理解題意：找出實(shí)際問(wèn)題中的已知量和変量（自變量，因變量），將文字或圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言；(2)分析關(guān)系：找到已知量和變量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式；(3)列函數(shù)表達(dá)式：設(shè)出表示變量的字母，把等量關(guān)系式用含字母的式子替換，將表達(dá)式寫(xiě)成用自變量表示的函數(shù)的形式.【題型5判斷二次函數(shù)的關(guān)系式】【例5】（2023春·北京西城·九年級(jí)北京市第三十五中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度移動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，點(diǎn)M、C之間的距離為y，△MCN的面積為S，則y與t，S與A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【答案】D【分析】求出y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的類型進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意得，AM＝t，CN＝2t，∴MC＝AC?AM＝5?t，即y＝5?t，∴S＝12MC?CN＝5t?t2因此y是t的一次函數(shù)，S是t的二次函數(shù)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)，理解一次函數(shù)、二次函數(shù)的意義是正確解答的前提，求出y與t，S與t的函數(shù)關(guān)系式是正確判斷的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)系中，是二次函數(shù)關(guān)系的是（）A．當(dāng)距離S一定時(shí)，汽車(chē)行駛的時(shí)間t與速度v之間的關(guān)系；B．在彈性限度時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度y與所掛物體的質(zhì)量x之間的關(guān)系；C．圓的面積S與圓的半徑r之間的關(guān)系；D．正方形的周長(zhǎng)C與邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系；【答案】A【詳解】A.路程=速度×?xí)r間,所以當(dāng)路程一定時(shí),汽車(chē)行駛的時(shí)間t與速度v之間是一次函數(shù)的關(guān)系;B.彈簧的長(zhǎng)度y是隨著物體的質(zhì)量x增大而增長(zhǎng)的,是一次函數(shù)關(guān)系;C.圓的面積=πr2,所以圓的面積S與圓的半徑r之間是二次函數(shù)關(guān)系;D.正方形的周長(zhǎng)C=邊長(zhǎng)a×4,故C與邊長(zhǎng)a之間是一次函數(shù)關(guān)系；故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查的是二次函數(shù)的定義，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.【變式5-2】（2023春·湖北宜昌·九年級(jí)校聯(lián)考期中）下列選項(xiàng)描述的y與x之間的關(guān)系是二次函數(shù)的是（

）A．正方體的體積y與棱長(zhǎng)x之間的關(guān)系B．某商品在6月的售價(jià)為30元，7月和8月連續(xù)兩次降價(jià)銷(xiāo)售，平均每月降價(jià)的百分率為x，該商品8月的售價(jià)y與x之間的關(guān)系C．距離一定時(shí)，汽車(chē)勻速行駛的時(shí)間y與速度x之間的關(guān)系D．等腰三角形的頂角度數(shù)y與底角度數(shù)x之間的關(guān)系【答案】B【分析】根據(jù)題意分別列出各項(xiàng)中的y與x之間的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可；【詳解】解：A、正方體的體積y與棱長(zhǎng)x之間的關(guān)系為：y=x3，y與B、該商品8月的售價(jià)y與x之間的關(guān)系為：y=30(1?x)2，y與C、距離一定時(shí)，汽車(chē)勻速行駛的時(shí)間y與速度x之間成反比例關(guān)系，不符合題意；D、等腰三角形的頂角度數(shù)y與底角度數(shù)x之間成一次函數(shù)關(guān)系，不符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的表達(dá)形式；熟練根據(jù)題意列出相對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·北京昌平·九年級(jí)校考期中）如圖，線段AB=5，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，以點(diǎn)A為圓心，線段AP長(zhǎng)為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)P，B之間的距離為y，⊙A的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是_________________，_________________．（填“正比例函數(shù)”或“一次函數(shù)”或“二次函數(shù)”）【答案】一次函數(shù)二次函數(shù)【分析】根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，即可判斷函數(shù)的類型．【詳解】解：根據(jù)題意得：y=5?t，因此屬于一次函數(shù)關(guān)系，S=πt故答案為：①一次函數(shù)；②二次函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【題型6列二次函數(shù)關(guān)系式（銷(xiāo)售問(wèn)題）】【例6】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價(jià)．若每件商品售為x元，則可賣(mài)出（350-10x）件商品，那么商品所賺錢(qián)y元與售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系為（）A．y=?10x2?560x+7350C．y=?10x2+350x【答案】B【分析】商品所賺錢(qián)=每件的利潤(rùn)×賣(mài)出件數(shù)，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：每件的利潤(rùn)為（x-21），∴y=（x-21）（350-10x）=-10x2+560x-7350．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是找到總利潤(rùn)的等量關(guān)系，注意先求出每件商品的利潤(rùn)．【變式6-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）王大爺生產(chǎn)經(jīng)銷(xiāo)一種農(nóng)副產(chǎn)品，其成本價(jià)為20元每千克．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量w(千克)與銷(xiāo)售價(jià)x(元/千克)有如下關(guān)系:w=?2x+60．若這種產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y(元).求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】y=?2【分析】利用單價(jià)利潤(rùn)×總銷(xiāo)售量=總利潤(rùn).【詳解】y=x?20∴y=?2x【變式6-2】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）商店銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為50元/件的商品，售價(jià)為60元/件，每星期可賣(mài)出200件，若每件商品的售價(jià)上漲1元，則每星期就會(huì)少賣(mài)10件．每件商品的售價(jià)上漲x元（x元為正整數(shù)），每星期銷(xiāo)售的利潤(rùn)為y元，則x與y的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y=10200?10x B．C．y=50+x200?10x 【答案】D【分析】先求出銷(xiāo)售量與x的關(guān)系，再根據(jù)利潤(rùn)=（售價(jià)?進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售量列出y關(guān)于x的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元，則銷(xiāo)售量為200?10x件，∴y=60+x?50故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某農(nóng)戶要改造部分農(nóng)田種植蔬菜，經(jīng)調(diào)查，平均每畝改造費(fèi)用是900元，添加輔助設(shè)備費(fèi)用（元）與改造面積（畝）的平方成正比，比例系數(shù)為18，每畝種植蔬菜還需種子、人工費(fèi)用600元，若每畝蔬菜年銷(xiāo)售額為7000元，設(shè)改造農(nóng)田x畝，改造當(dāng)年收益為y元，則y與x之間的數(shù)量關(guān)系可列式為（

）A．y=7000x?900x+18x+600x B．C．y=7000?900x+18x2【答案】B【分析】設(shè)改造農(nóng)田x畝，根據(jù)題意可求出改造的x畝農(nóng)田的總成本和總銷(xiāo)售額，再根據(jù)收益=總銷(xiāo)售額-總成本，即可列出方程．【詳解】設(shè)改造農(nóng)田x畝，則總成本為900x+18x2+600x∴可列方程為y=7000x?900x+18故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．理解題意，找出等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式（幾何圖形問(wèn)題）】【例7】（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如下圖所示，在一幅長(zhǎng)80cm、寬50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛畫(huà)，設(shè)整個(gè)掛畫(huà)總面積為ycm2，金色紙邊的寬為x【答案】y=4【分析】由于整個(gè)掛畫(huà)為長(zhǎng)方形，用x分別表示新的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，然后根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式即可確定函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：由題意可得：y=(80+2x)(50+2x)=4x故答案為：y=4x【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系，此題主要利用了長(zhǎng)方形的面積公式解題．【變式7-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等腰梯形的周長(zhǎng)為60，底角為30°，腰長(zhǎng)為x，面積為y，試寫(xiě)出y與x的函數(shù)表達(dá)式．【答案】s=﹣12x2【分析】作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE=12AB=1【詳解】作AE⊥BC，在Rt△ABE中，∠B=30°，則AE=12AB=1∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AD+BC=60-AB-CD=60-2x，∴S=12（AD+BC）×AE=12（60-2x）×12x=-1【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象二次函數(shù)關(guān)系式的知識(shí)，掌握梯形的面積公式及等腰梯形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長(zhǎng)25m）的空地上修建一個(gè)矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍住（如圖）.若設(shè)綠化帶的BC邊長(zhǎng)為xm，綠化帶的面積為ym2.則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是，自變量x的取值范圍是；【答案】y=?12【分析】根據(jù)矩形的面積公式列出關(guān)于二次函數(shù)解析式；根據(jù)墻長(zhǎng)、x、y所表示的實(shí)際意義來(lái)確定x的取值范圍．【詳解】由題意得：y＝x?40?x2＝?12x故答案是：y＝?12x2【點(diǎn)睛】本