自考備考：04184 線性代數(shù)（經(jīng)管類）習題集及答案

《線性代數(shù)》習題集

課程代碼:04184

第一部分習題

一、選擇題

1、若〃階方陣A的秩為，，則結論（）成立。

A.|AkOB.|A|=0C.r>77D.r<n

2、下列結論正確的是（）

A.若AB=0,則A=0或B=0.B.若AB=AC,則B=C

C.兩個同階對角矩陣是可交換的.D.AB=BA

3、下列結論錯誤的是（）

A.n+1個n維向量一定線性相關.B.n個n+1維向量一定線性相關

C.n個n維列向量%，。2,…，M線性相關,則…=。

D.n個n維列向量%，。2,…,為，若I，％…6J=0則S，。2,線性相關,

a,a2a3

,則

4、若瓦b2by=m2a2優(yōu)2b3)

3f13c23c3

A.6mB.-6mC.2333wD.-2333OT

5、設A,B,C均為n階方陣,AB=BA,AC=CA,則ABC=()

A.ACBB.CABC.CBAD.BCA

6、二次型/（七,%2，元3）=+X2+4玉々-2九2工3的秩為（)

A、0B、1C、2D、3

7、若A、B為〃階方陣，下列說法正確的是（)

A、若A,B都是可逆的，則A+B是可逆的

B、若A,B都是可逆的，則A8是可逆的

C、若A+B是可逆的,則A-B是可逆的

D、若A+B是可逆的,則A,B都是可逆的

h

8、設2階矩陣4=，則A*=（)

d

d-b-d(-dbd-c

A、B、C、D、

h-a-a—ba

9、關于初等矩陣下列結論成立的是（）

A.都是可逆陣B.所對應的行列式的值為1

C.相乘仍為初等矩陣D.相加仍為初等矩陣

10、設2階矩陣A=；j）,貝IJA*=（）

11、設片,凡是非齊次線性方程組AX=4的兩個解，則下列向量中仍為方程組AX=p解的是

（）

A、A+AB、A-AC、吟旦I）、3。\72

12、向量組%,%，…，%"（m22）線性相關的充要條件是（）

A、/，%，…，％,中至少有一個是零向量

B、3,&2,“中至少有一個向量可以由其余向量線性表示

C、”中有兩個向量成比例

D、%,%，中任何部分組都線性相關

13、向量組（根22）線性相關的充要條件是（）

A、%,a”…,見“中至少有一個是零向量

B、a”a?,…,a,“中至少有一個向量可以由其余向量線性表示

C、al,a2,---,am中有兩個向量成比例

D、a,,a2,---,am中任何部分組都線性相關

14、AX=O是非齊次方程組AX=/7的對應齊次線性方程組，則有（）

A、AX=O有零解，則AX=4有唯一解

B、AX=O有非零解，則AX=分有無窮多解

C、AX=4有唯一解，則AX=O只有零解

D、AX=Q有無窮多解，則AX=O只有零解

15、設A,B,C均為二階方陣，且AC,則當（）時，可以推出B=C

10110n11

A、4=B、AC、A=D、4=

100010J11

6fja2a3q%a2

16、若b\b?=m,則2bl2b32b2)

C2C33C]3c33c2

A.6mB.-6mc.2333MD.-2333W

17、如果矩陣A的秩等于人則（）o

A.至多有一個「階子式不為零；3.所有〃階子式都不為零;

C.所有廠+1階子式全為零，而至少有一個〃階子式不為零；

D.所有低于r階子式都不為零

18、二次型/（七，工2，％3）=玉工2的秩為（)

A、0B、1C、2D、3

19、若A、B為〃階方陣，下列說法正確的是()

A、當Hq=0時，則A=O或8=0；B、當|蝴=0時,則網(wǎng)=0或忸|=0；

C、當A8=0時，則A=O或5=0；I)、當A8w0時，則AwO或5wO；

20、二次型/（2，々，％3）=再2+X；+2不々的秩為（)

A、0B、1C、2D、3

-2、-23

21、設矩陣A=(—l2),B=,C=,則下列矩陣運算中有意義的是

-34,-4-56

)

A、ACBB、BACC、ABCD、CBA

2

22、設2階矩陣A=，則A*=（)

4-2、'-42'4-3、

A、B、C、D、

-31,,3-1、一21,

23、設四，42是齊次線性方程組AX=0的兩個解，則下列向量中不是方程組AX=。解的是

)

A、￡]+0、B、-°、C、一'3"D、/?|+p-,+（X,（tz70）

24、關于初等矩陣下列結論成立的是（）

A.都是可逆陣B.所對應的行列式的值為1

C.相乘仍為初等矩陣D.相加仍為初等矩陣

25、向量組四,％，…，4“（加23）線性無關的充要條件是（）

A、4,a?，…，a,”中任意兩個向量都線性無關

B、a[,a2,---,am中存在一個向量不能由其它向量線性表示

C、a?a2,---,am中任意一個向量都不能由其它向量線性表示

D、%,。2,中不含零向量

26、下列結論正確的是（）

A.|A+@=|H+冏B.（A+B）r=A+B

C.0=同網(wǎng)D.（AB）r=A'B'

27、若A、B為〃階對稱陣，下列說法錯誤的是（）

A、A+B為對稱矩陣B、AB為對稱矩陣

C、kA是對稱矩陣（k為數(shù)）D、A?為對稱矩陣

28、關于初等矩陣下列結論成立的是（）

A.都是可逆陣B.所對應的行列式的值為1

C.相乘仍為初等矩陣D.相加仍為初等矩陣

29、如果矩陣A的所有r+1階子式全等于0,則A的秩一定滿足（）。

A.r（A）>rB.r（A）>rC.r（A）<rD.r（A）<r

30、二次型/（陽,》2，》3）=+2x；+4西無2+2無2%的秩為（）

A、0Bs1C、2D、3

31、設4r=6是一非齊次線性方程組，小，〃2是其任意兩個解，則下列結論錯誤的是（）。

A.+“是AX-0的一個解8.工〃+4力是AX-b的一個解

22

C.771-〃2是AX=0的一個解￡）.2〃j一%是4%=6的一個解

32、向量組（機23）線性無關的充要條件是（）

A、囚,的，…，％,中任意兩個向量都線性無關

B、四,a?,…,中存在一個向量不能由其它向量線性表示

C、%,&2,…,見”中任意一個向量都不能由其它向量線性表示

D、中不含零向量

33、二次型/*|,%2，%3）=%；+2￡+4》/2+2乂2七的秩為（）

A,0B、1C、2D、3

/\(6-2、(abc\

34、設矩陣A=(ab),B=\,C=,則下列矩陣運算中有意義的是

1-35J(-4-54J

()

A、ACBB、CBAC、ABCD、BAC

(ab\

35、設2階矩陣A=1X則A*=()

A、「D

\—ca)I/?—a

%a2%q生出

36、若瓦b2b3=m,則2bl2b32b2)

C

c,2C33G3c33C2

A.6mB.-6mC.2333mD.-2333OT

37、設三階方陣A的行列式卜|=0,則下列說法正確的是（)

A、矩陣A中必有一列元素為0B、矩陣A中必有兩列成經(jīng)例

C、矩陣A中必有一列向量是其作列向量的線性組合

D、矩陣A中任意一列向量是其余列向量的線性組合

38、下列說法錯誤的是（)

A、若〃階線性方程組4T=，系數(shù)行列式W豐0,則該方程組存在唯一解。

B、若〃階線性方程組4r=o系數(shù)行列式卜|。o,則該方程組只有零解。

C、一個行列式交換兩行，行列式的值不變。

D、若一個行列式一列全為0,則該行列式的值為0o

39、設A、B為〃階方陣，則下面論斷錯誤的是（)

A、(ABV=BrArB、(AB)-'=

C、AA*=MD、如果皿=0,則力0或6=0

40、設A、B是〃階可逆矩陣,則下列結論成立的是（)

1111

(協(xié)t(16尸

A、B、=RXH

D、|（腸］=（一1）平|同

C、|(4皮］=\A\x同

41、設A、B是〃階對稱矩陣,而為大于1的自然數(shù)，則必為對稱矩陣的是（)

A、AmB、4、(ABFC、ABD、(A+BY'

-123

42、設矩陣4-368，且r（4）=2,則方等于（)

2-4

A、-6B>6C>8D、任何實數(shù)

43、設向量組％,a2,線性無關，則下列向量組線性無關的是（）

a

A^%+%,a2+a3f9%,一\

B、a{+a2,a2+4,,%4-2a2+a3.

C、%+2a2，2%+3a3,,3%+ax

D、a1+a2+ait,2a1-3a2+22a3,3ay+5a2-5a3

44、設A是方陣，%,%是齊次線性方程組=0的兩個不同的解向量，則（）是A的特征

向量

A、%與a2B、a,+a2C、a,-a21）、A,B,C都是

45、設A是〃階可逆矩陣，則下列結論不正確的是（）

A、M70B、卜[N0C、rU）=nD、A的行向量組線性相關

46、下列說法正確的是（）

A、一個特征值只對應一個特征向量B、一個特征向量只對應一個特征值

C、一個〃階矩陣一定有〃個不同的特征值

D、一個。階矩陣一定有4個線性無關的特征向量

47、4,4都是〃階矩陣A的特征值，4且占，々是分別對應于4,4的特征向量，當

（）時，x=k[xx+?2巧必是A的特征向量。

A^k]=0,k2=0B、k]0,k2w0

C、k1w0,42=0D、k]k?=0

48、若環(huán)，物是線性方程組4r=6的二個解向量，則（）必為其導出組4r=o的解。

A、2%+3%B、a{-a2C、+a2D、以上答案都不對

49、若〃階方陣A滿足/=屋，則A有特征值（）

A、0,1B、0,-1C、1,-1D、1,2

二、填空題

1、設三階方陣A的行列式閾=—2,且A是可逆的，則|-3A[=

kx+y+z=0

當k=x+Zy+z=O有非零解。

x+y+kz-0

12

設多項式/(x)=l+2x+/及4=，則/(A)=

-1-1

4、若A是正交矩陣，則隔=

5、設A為n階方陣，0,1,6是4的特征值，則同=?

’11-T

6、設實對稱矩陣A=110,則對應的二次型/（項,為，》3）=/、-為_______________

1-1ooJ

7、設向量a=(-l,O,l),/?=(l,—l,O),則向量a與夕的夾角為

’122、

8,已知3階矩陣A=221,則尸(A)=

221

9、已知三階方陣A的特征值為1,2,3,矩陣3=A?+2A-3E，則忸|=

’11P

10、已知3階矩陣A=111，則r(A)

,11L

11、判定二次型/(X|,X2，X3)=3x；+4x；+5x；+4凡々一4七%3是否正定？(填是或不是)

12、設向量a,尸，y滿足2a+尸—2/=0,又。=(1-1,2)7,/3=(0,2,—2)"則

3a+/?-2/=_________________

13、若A4=E，且網(wǎng)=-1，則|4+目=

14、已知三階方陣A的特征值為1,2,3,矩陣B=A?+2A—3七，則同=

15、當矩陣A滿足A?—3A+2E=O，則A7=

16、設三階方陣4的行列式網(wǎng)=-2,則|3"|=

17、設多項式/(x)=3+2x+/及4=:j),則/(A)=

r121]

18、設實對稱矩陣A=210，則對應的二次型/(王，龍2,無3)=x’Ar為_______________

1102；

19、給定矩陣A,且A-E是可逆的，滿足A8+E=A2+8，則3=

(1-20)

20、設實對稱矩陣A=-20-1，則對應的二次型/(占,3，當)=x'Ar為_____________

1。-12)

21、當矩陣A滿足A?+A—3E=O,則(A+2E)T=

[、

2

]_

22、已知3階矩陣A=——1則r(A)=_______________

22

[5-21

7

23、判定二次型/(%|,%2，%3)=2x；+4x；+3考-4再彳2-4再彳3-292兀3是否正定?(填是或不

是)_______________

kx+y+z=\

24、當k=時，＜x+ky+z=0無解.

x+y+kz=3

25、設向量組%=(1,0,0),a2=(2,5,2),%=(L5,左)線性相關，則k=

26、已知四階行列式第三行元素分別為1,2,1,3,第四行元素余子式分別為3,a,0,-7,則

a—___________

27、當矩陣A滿足A?+A—3E=0,則(4一￡尸=

28、設三階方陣A的行列式網(wǎng)=2,則料4[=

29、設多項式/(x)=3—5x+/及4=(：則/(")=

’013、

30、設實對稱矩陣A=11-1,則對應的二次型/(為，々，％3)=’—為

、3-1

(01、

31、設多項式/(幻=%2一2%+4及4=012，貝iJ/(A)=

、300,

'2-13、

32、設實對稱矩陣A=-11—1,則對應的二次型/。,％2，匕)=/4為______________

13—10)

33、設向量a=(1,1,0),￡=(1,2,1),則向量々與￡的夾角為

22、

34、已知3階矩陣A=121,則r(A)=_______________

；243)

35、判定二次型/(X1,%2,X3)=+芍+X,—8內％2+2X|Xj—4%2%3是否正定？(填是或不是)

36、若A是正交矩陣,則網(wǎng)=

當2月3為1-2a323a33

—2a223a23=

37、設行列式41劉22“23—3,則

331232333馬1―2月2323

a

a\\\2232%2a322%3

38、設行列式a=3,則2a2i+2a3i2a22+2a322a23+2a33=

2{%2。23

a31@32@332ali2a122a13

39、設三階方陣A、B的行列式|A|=2、阿=-3,則|3A*BTb

-1-1-23'

40、設/=1-11-3,則力的秩rC4)=______________

1-1-11

(122]

41、設矩陣力=21-2,則4T=

；2—21,

42、若A的特征值為-1,0,2。則肝特征值為

43、設矩陣A和B相似，且若A的特征值為3,-2,1,則B特征值為

44、設/是三階方陣，4*是力的伴隨矩陣，/的行列式W=則行列式［(34尸+2/|=

45、設/是四階方陣，且/的行列式?jīng)?-2,是力的伴隨矩陣，則行列式卜*|=

46、設〃階方陣A的元素全為1,則A的特征值為

47、設a-〃=(1,3,-3),2a+p—(2,-3,3),則a=

48、若〃階方陣A滿足心_34-5/=0，則(4+/尸=

49、設;I為〃階方陣A的一個特征值，則肝+2/+/的一個特征值為(其中I為〃階單位矩陣)

‘123、

50、已知矩陣/=2x0的特征值為1,2,3,則x=

\3217

51、已知三階矩陣A的特征值為1,3,-2o/的特征值為

52、設〃為三階行列式，第三列元素為-2,3,1。其余子式分別為9,6,24。則〃=

53、設〃為四階行列式，第三行元素為-1,2,0,1。其余子式分別為5,3,-7,4。則〃=

54、若〃階方陣A滿足肝=0,則A的一個特征值為

55、設A、B是同階方陣，則(4+B)(A-B)=心一6?成立的充要條件是

「13、

56、已知矩陣力=>f(x)-2x2一4x+5，則/'(⑷=______________

(02)

57、設A為〃階方陣，且心一54+6E=0,則A的特征值能為

58、設向量。=(1,5,匕一1)與4=(2￡3,-2,外相互正交，則4=

59、設向量。=(1,2,3)與4=(-126)相互正交，則6=

60、設向量a=(1,1,0,-1),Z?=(-L-2,0,1),則內積［3a-p,a+0=

61、設向量a=(1,2,a,4)與尸=(-4,b,-2,1)相互正交，則a,6滿足的關系為

三、計算題

31-12

-513-4

1、計算行列式的值。

201—1

1-53-3

2141

3-121

2、計算行列式的值

1232

5062

1234

-21-43

3、計算行列式的值。

3-4-]2

43-2-1

1111

1-12-2

4、計算行列式的值。

1144

1-18-8

-431—5

2-113

5,計算行列式的位，，

-1102

-33-51

2-384

0152

6、計算行列式的值。

07-59

-13-40

214-1

3-12-1

7、計算行列式的值。

123-1

506-2

(20、

8、設4=,°,BA=A+B,求矩陣B。

IV

‘301、

9,設矩陣A=110,且A5=A+25,求矩陣B。

1014>

‘223、

20-2、

10、求滿足下列方程的矩陣X,X111

022

Q1I>

121-2

11、設矩陣4=,B=滿足2X=AX+8,求矩陣X。

0130

10r

12、設矩陣A=026，滿足AX+E=A?+X，求矩陣X。

161.

500、'21、

(2n

13、設AX8=C，其中A=01220求未知矩陣X。

037)1—41,

-20、2

14、設矩陣4=且8=,滿足2Ax—B=3X,求矩陣X。

03J

門、'2、(1、'0、

4102

15、設有向量組%-==二,求向量組的秩和一個極大無關

1-1-3-6

a、一3/、T)<3；

組，并將其余向量用這個極大無關組線性表示。

’2)'-2、'0、

0-21-2

16、設有向量組%=,。2=，。3=,。4=,求向量組的秩和一個極大無關組,

2002

2、1；

并將其余向量用這個極大無關組線性表示。

-1'T-3''2

1242

17、向量組T：%=，?2=，&3=,?=,求向量組T的秩，并找出一個最

11342

_-1_1-11

大無關組。并將其余向量用該極大無關組表示出來。

'2--2'-f-0'

0-21-2

18、向量組T：=，a?—，a3=,?4=,求向量組T的秩，并找出一

2002

_2_1_2__3_

個最大無關組。并把其它的向量用這個極大無關組表示出來。

19、設向量組A：找出一個極大無關組，并將其余向量用該極大

無關組表示出來。

20、向量組T：,求向量組T的秩，并找出一個

最大無關組。

21、向量組T：%=(2,4,2),%=(1,1,0),%=(2,3,1),a4=(3,5,2),求向量組T的秩，并

找出一個最大無關組。并把其它的向量用這個最大無關組表示出來。

22、求下列方程組的通解

X]+/+*3+九4+七=1

3/+2X2+x3+x4-3X5=0

x2+2X3+2X4+6鼻=3

X1-x2+x3-x4=1

23、已知非齊次線性方程組《七一x,-/+Z=0,求方程組的通解.

CC1

X]-/-2/+2%=-a

X,+x2+x3+x4=1

求方程組〈

24、項+2X2+X3+2尤4=2通解。

西+

23X2+2X3+3X4=3

★+2X2+x3+2X4=0

求方程組〈

25、x2+x3+JC4=0通解。

x,+x2+x4=0

"1-11、

26、已知矩陣413-1,試求A的全部特征值和特征向量。

Ui1J

'-110、

27、己知矩陣4-430,試求A的全部特征值和特征向量。

1102)

’40o'

28、已知矩陣/=031,試求A的全部特征值和特征向量.

013

q11、

29、已知矩陣4=131,試求A的全部特征值和特征向量。

1b

’2-20、

30、已知矩陣力=-21-2,試求A的全部特征值和特征向量。

0-20

’3-1-2、

31、已知矩陣力=20-2，試求A的全部特征值和特征向量。

、2-1-1,

32、設小

(1)、，為何值時，向量組%,%,出線性無關？

(2)、，為何值時，向量組%,4,%線性相關?

(3)、當向量組線性相關，將表示成/，%的線性組合。

33、設%，試問向量組%,%，a3是線性無關還是線性相關?

-1、'1、

34、設內-b-23，試討論a,8為何值時,

a+2Z?,、一3>

(1)￡不能由%,線性表示。

(2)P可以由%,唯一的線性表示。

(3)夕可以由%,。2，4線性表示，但表示法不唯一，并求出表示式。

四、證明題

1、若A,B均為n階方陣,且A是可逆的,證明BA與AB相似.

2、設A,B都為n階方陣，且A為對稱矩陣，證明：8748是對稱矩陣

3、若A,B是n階正交矩陣,證明:AB也是正交矩陣。

4、如果A='(B+/),證明：42=4當且僅當82=/。

2

5、i^^=cx}+ar,j32=a2+ar,--■/3r_x=ar_t且6,。2,…線性無關，證明:

瓦62,…，瓦也線性無關

6、若A是正交矩陣,證明：A*也是正交矩陣.

第二部分標準答案

一、選擇題

1、D2、C3、B4、A5、D6、D7、B8、A9、A10、AlkC12.B13、B14、

C15、C16、B17、C18、C19、B20、B21、C22、A23、D24、A25、

C26、C27、B28、A29、D30、D31、A32、C33、D34、C35、A36、B

37、C38、C39、D40、B41、A42、D43、C44、A45、D46、B47、C

48、B49、A

二、填空題

2724

1、2、-2或13、4、±15、06、+x；+2X^X-

~2-2-22

2〃

。=(1,一1,2)713、

7、T8、29、010、111、是12、014、015、--(A-3￡)

44

16、-5417、18、+4-4XX+2XX19>A+E

-20}2}3

20x；+2工；—4X|X2-2工2當21、A—E22、223>不是24、-2或125、226、1227、

60

(00、

A+2E28、1629、30x2+6XX-2XX31、A=63-2

00JI323

07)

71

32、6xx-33、34、235>不是36、1838、-24

-2XJX2+y32X2X3~6±137、

12

--

99

224

--43

39、-3640、241、9442746

2

-

9

n,n一1個047、(1,0,0)48、4一4/49、22+22+150、451、-6,-2,3

36、

52、-1253、-1554、055、AB=BA56、57、2,358、1559、-1

05J

60、-561、a=b

三、計算題

31-12

-513-4

1、計算行列式的值。

201-1

1-53-3

51-11

-1113-1

解：原式=

0010

-5-530

511

=-620

-5-50

=40

2141

3-121

2、計算行列式]232的值。

5062

2141

3-121

解：原式=]2

32

5062

=0

1234

-21-43

3、計算行列式§2的值。

-4-1

43-2-1

1234

()5211

解：原式=

0-10-10-10

05-105

5-36

-1000

5-150

=900

1111

1-12-2

4、計算行列式的值.

1144

1-18-8

1111

0-21-3

解：原式=

0033

0-27-9

11-3

=(-6)011

06-6

=72

-431-5

2-1I3

5、計算行列式的值。

-102

-33-51

-431-5

213

解:-40

-1102

-33-51

2-384

0152

6、計算行列式的值。

07-59

-13-40

2-384

052

解:=5

07-59

3-40

214-1

3-12-1

7、計算行列式°°的值。

I?23-1?

506-2

214-1

3-]2-1

123-1

506-2

（20、

8、設4=,BA=A+B,求矩陣B。

2）

解：由于8A=A+8,所以B（A-E）=A

A—￡=），且恒_目=100,

所以A—E可逆，用（A—E）T右乘B（A—E）=4得

2OY10、20Y10、（20）

B=A（A-EY'

12人-11-12人11）

7U2J

'30r

9、設矩陣4110,且48=4+25,求矩陣Bo

1

解：（A—2E）B=A

2-1-T

（A-2EY12-2-1

17

所以

'5-2-2、

B=（A-2EY'A=4-3-2

、一223>

23、

20-2、

10、求滿足下列方程的矩陣X,X111

022,

、31>

223r223、

解：由于111聲0,所以111是可逆的

311,3II

223Y1

20—2、

所以X111

022

731b

223Y'

20-2、-231、

X=111

022,03-1

37

12-2

11、設矩陣4=,B=滿足2X=AX+3，求矩陣X。

01I

解：(2E-A)X=B

1-2

由于|2E—A|=1*0,所以2E—A可逆

01

所以X=(2E—4)-3

7-2'

X=

30,

101、

12、設矩陣A026,滿足AX+E=A2+X，求矩陣X。

16

解:(A-E)X=A2-E

001

由于卜_目=016=-1*0,所以A—E是可逆的。

160

所以X=(A—E)T(A2-￡)=A+E

'201、

X=036

J62,

’501、

13、設AX6=C，其中A=010求未知矩陣X。

103J

解：同=500,同=—2。0,故A與B都可逆,

分別用A-'左乘，B-i右乘等式4X8=。兩端得,

X^A'CB'

00

5-1

07-2

2

01