系統(tǒng)可靠性模型建立

2024/9/15可靠性設(shè)計0內(nèi)容提要-11.

可靠性模型概述1.1

術(shù)語及定義1.2

基本可靠性模型－任務(wù)可靠性模型1.3建模的程序2.

系統(tǒng)功能分析3.

典型的可靠性模型2024/9/15可靠性設(shè)計1內(nèi)容提要-24.

不可修系統(tǒng)可靠性模型4.1虛單元4.2不含橋聯(lián)的復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型4.3含橋聯(lián)的復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型5.建模實例：某衛(wèi)星過渡軌道、同步及準(zhǔn)同步軌道任務(wù)可靠性6.系統(tǒng)任務(wù)可靠性建模的注意事項1.可靠性模型概述2024/9/15可靠性設(shè)計3系統(tǒng)、單元和產(chǎn)品系統(tǒng)系統(tǒng)是由相互作用和相互依賴的若干單元結(jié)合成的具有特定功能的有機整體。“系統(tǒng)”、“單元”相對概念——可以是按產(chǎn)品層次劃分：零部件、組件、設(shè)備、分系統(tǒng)、系統(tǒng)、裝備中任何相對的兩層“系統(tǒng)”包含“單元”，其層次高于“單元”產(chǎn)品可以指任何層次，也可視為系統(tǒng)或單元。2024/9/15可靠性設(shè)計4描述系統(tǒng)的模型原理圖反映了系統(tǒng)及其組成單元之間的物理上的連接與組合關(guān)系。功能框圖、功能流程圖反映了系統(tǒng)及其組成單元之間的功能關(guān)系。系統(tǒng)的原理圖、功能框圖和功能流程圖是建立系統(tǒng)可靠性模型的基礎(chǔ)。可靠性模型描述了系統(tǒng)及其組成單元之間的故障邏輯關(guān)系。2024/9/15可靠性設(shè)計5可靠性模型概念建立系統(tǒng)可靠性模型的目的和用途在于定量分配、估算和評估系統(tǒng)的可靠性。根據(jù)系統(tǒng)特點，有多種可靠性建模方法:可靠性框圖網(wǎng)絡(luò)可靠性模型故障樹模型事件樹模型馬爾可夫模型Petri網(wǎng)模型GO圖模型2024/9/15可靠性設(shè)計6可靠性模型概念可靠性模型建立于系統(tǒng)可靠性（方）框圖，即為預(yù)計或估算產(chǎn)品的可靠性所建立的可靠性方框圖和數(shù)學(xué)模型，也稱可靠性邏輯框圖及其數(shù)學(xué)模型。

了解系統(tǒng)中各個部分(或單元)的功能和它們相互之間的聯(lián)系以及對整個系統(tǒng)的作用和影響對建立系統(tǒng)的可靠性數(shù)學(xué)模型、完成系統(tǒng)的可靠性設(shè)計、分配和預(yù)測都具有重要意義。借助于可靠性框圖可以精確地表示出各個功能單元在系統(tǒng)中的作用和相互之間的關(guān)系。2024/9/15可靠性設(shè)計7可靠性框圖系統(tǒng)可靠性（方）框圖(ReliabilityBlockDiagrams，簡寫RBD）方框：產(chǎn)品或功能邏輯關(guān)系：功能布局連線：系統(tǒng)功能流程的方向

無向的連線意味著是雙向的。節(jié)點（節(jié)點可以在需要時才加以標(biāo)注）輸入節(jié)點：系統(tǒng)功能流程的起點輸出節(jié)點：系統(tǒng)功能流程的終點中間節(jié)點2024/9/15可靠性設(shè)計8可靠性模型示例可靠性框圖（收音機）可靠性數(shù)學(xué)模型2024/9/15可靠性設(shè)計9RBD和原理圖的關(guān)系原理圖表示系統(tǒng)中各部分之間的物理關(guān)系，而RBD表示系統(tǒng)中各部分之間的功能關(guān)系，即用簡明扼要的直觀方法表現(xiàn)能使系統(tǒng)完成任務(wù)的各種串—并—旁聯(lián)方框的組合。雖然根據(jù)原理圖也可以繪制出可靠性邏輯圖，但并不能將它們二者等同起來。2024/9/15可靠性設(shè)計10RBD和原理圖的關(guān)系建立RBD時絕不能從結(jié)構(gòu)和原理上判定系統(tǒng)類型，而應(yīng)從功能上研究系統(tǒng)類型。下圖所示的流體系統(tǒng)，從結(jié)構(gòu)上看是由管道及其上安裝的兩個閥門串聯(lián)組成。為確定系統(tǒng)類型，一定要分析系統(tǒng)的功能及其失效模式。2個串聯(lián)閥系統(tǒng)示意圖2024/9/15可靠性設(shè)計11RBD和原理圖的關(guān)系第一種情況，若單元1，2功能是相互獨立的，只有每個單元都實現(xiàn)自己的功能（開啟），系統(tǒng)才能實現(xiàn)液體流通的功能，若其中有一個單元功能失效，則系統(tǒng)功能就失效，液體就被截流。第二種情況，單元1，2功能至少有一個功能正常，系統(tǒng)就能實現(xiàn)截流功能。只有當(dāng)所有的單元功能都失效，系統(tǒng)功能才失效。2024/9/15可靠性設(shè)計12基本可靠性模型基本可靠性模型用以估計產(chǎn)品及其組成單元發(fā)生故障所引起的維修及保障要求的可靠性模型。全串聯(lián)模型，即使存在冗余單元，都按串聯(lián)處理。故儲備單元越多，系統(tǒng)的基本可靠性（無故障持續(xù)時間和概率）越低。度量使用費用。任一單元發(fā)生故障，都會引起維修和保障要求。2024/9/15可靠性設(shè)計13任務(wù)可靠性模型任務(wù)可靠性模型用以估計產(chǎn)品在執(zhí)行任務(wù)過程中完成規(guī)定功能的概率（在規(guī)定任務(wù)剖面中完成規(guī)定任務(wù)功能的能力），描述完成任務(wù)過程中產(chǎn)品各單元的預(yù)定作用，用以度量工作有效性的一種可靠性模型。系統(tǒng)中儲備單元越多，則其任務(wù)可靠性越高。注意事項模型描述的是各單元之間的可靠性邏輯關(guān)系。2024/9/15可靠性設(shè)計14基本可靠性模型－任務(wù)可靠性模型在進行設(shè)計時，根據(jù)要求同時建立基本可靠性及任務(wù)可靠性模型的目的在于，需要在人力、物力、費用和任務(wù)之間進行權(quán)衡。設(shè)計者的責(zé)任就是要在不同的設(shè)計方案中利用基本可靠性及任務(wù)可靠性模型進行權(quán)衡，在一定的條件下得到最合理的設(shè)計方案。為正確地建立系統(tǒng)的任務(wù)可靠性模型，必須對系統(tǒng)的構(gòu)成、原理、功能、接口等各方面有深入的理解。2024/9/15可靠性設(shè)計15F/A-18基本可靠性模型2024/9/15可靠性設(shè)計16F/A-18任務(wù)可靠性模型2024/9/15可靠性設(shè)計17可靠性邏輯關(guān)系2024/9/15可靠性設(shè)計18建模步驟1.規(guī)定產(chǎn)品定義①確定任務(wù)和功能功能分析②確定工作模式③規(guī)定性能參數(shù)及范圍故障定義④確定物理界限與功能接口⑤確定故障判據(jù)⑥確定壽命剖面及任務(wù)剖面時間及環(huán)境條件分析2.建立可靠性框圖⑦明確建模任務(wù)并確定限制條件⑧建立系統(tǒng)可靠性框圖⑨確定未列入模型的單元3.確定數(shù)模⑩系統(tǒng)可靠性數(shù)學(xué)模型建立任務(wù)可靠性模型的步驟2.系統(tǒng)功能分析2024/9/15可靠性設(shè)計20系統(tǒng)功能分析對系統(tǒng)的構(gòu)成、原理、功能、接口等各方面深入的分析是建立正確的系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型的前導(dǎo)。前導(dǎo)工作的主要任務(wù)就是進行系統(tǒng)的功能分析功能的分解與分類功能框圖與功能流程圖時間分析任務(wù)定義及故障判據(jù)2024/9/15可靠性設(shè)計21功能的分解與分類功能的分解系統(tǒng)往往是多任務(wù)與多功能的。一個系統(tǒng)及功能是由許多分系統(tǒng)級功能實現(xiàn)的。通過自上而下的功能分解過程，可以得到系統(tǒng)功能的層次結(jié)構(gòu)。功能的逐層分解可以細(xì)分到能夠獲得明確的技術(shù)要求的最低層次（如部件）為止。進行系統(tǒng)功能分解可以使系統(tǒng)的功能層次更加清晰，同時也產(chǎn)生了許多低層次功能的接口問題。對系統(tǒng)功能的層次性以及功能接口的分析，是建立可靠性模型的重要一步。2024/9/15可靠性設(shè)計22功能的分解2024/9/15可靠性設(shè)計23功能的分類分類定義按重要程度分基本功能起主要的必不可少的作用；擔(dān)任主要的任務(wù)，實現(xiàn)其工作目的；它的作用改變了，就會產(chǎn)生整體性的變化。輔助功能針對某種特定的構(gòu)思所必需的功能，或輔助實現(xiàn)基本功能所需要的功能。它相對于基本功能是次要的或從屬的。按用戶要求分必要功能對于用戶的任務(wù)需求而言，是必要的和不可缺少的。不必要功能對于用戶的任務(wù)需求而言，該功能并非是非有不可的。在系統(tǒng)功能分解的基礎(chǔ)上，可以按照給定的任務(wù)，對系統(tǒng)的功能進行分類整理。2024/9/15可靠性設(shè)計24功能框圖與功能流程圖用以描述在系統(tǒng)功能分解過程中的較低層次功能間的接口與關(guān)聯(lián)關(guān)系。功能框圖功能流程圖功能框圖與功能流程圖的逐級細(xì)化過程是與系統(tǒng)的功能分解相協(xié)調(diào)的。2024/9/15可靠性設(shè)計25某家用熱水器原理圖

原理圖、功能層次圖及功能框圖2024/9/15可靠性設(shè)計26某空間飛行器整個飛行任務(wù)

在最高層次以及下級層次中的功能流程第一層飛行任務(wù)第二層40執(zhí)行任務(wù)操作2024/9/15可靠性設(shè)計27時間分析功能框圖——靜態(tài)（不隨時間而變）系統(tǒng)級的功能以及它們的子功能具有唯一的時間基準(zhǔn)（所有功能的執(zhí)行時間一樣長）復(fù)雜系統(tǒng)一般具有兩方面的特點：系統(tǒng)具有多功能，各功能的執(zhí)行時機是有時序的，各功能的執(zhí)行時間長短不一。在系統(tǒng)工作的過程中，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是可以隨時間而變化的。2024/9/15可靠性設(shè)計28時間分析系統(tǒng)的功能隨時間而變的系統(tǒng)——功能流程圖可以描述這類系統(tǒng)的功能關(guān)系，為建立系統(tǒng)可靠性框圖模型奠定基礎(chǔ)。它的一個缺陷：沒有對系統(tǒng)功能的持續(xù)時間及功能間的時間進行描述，缺少一個時間坐標(biāo)。時間特性是可靠性分析中不可缺少的一個要素。需要進行時間分析確定時間基準(zhǔn)通過與該時間基準(zhǔn)對應(yīng)，可以得到系統(tǒng)功能流程圖中各功能的執(zhí)行時間及功能間的時間。2024/9/15可靠性設(shè)計29某飛行任務(wù)的時間基準(zhǔn)2024/9/15可靠性設(shè)計30任務(wù)定義及故障判據(jù)在進行系統(tǒng)功能分解、建立功能框圖或功能流程圖及確立時間基準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，要建立系統(tǒng)的任務(wù)及基本可靠性框圖，必須明確地給出系統(tǒng)的任務(wù)定義及故障判據(jù)，把它們作為系統(tǒng)可靠性定量分析計算的依據(jù)和判據(jù)。產(chǎn)品或產(chǎn)品的一部分不能或?qū)⒉荒芡瓿深A(yù)定功能的事件或狀態(tài)，稱為故障。對于具體的產(chǎn)品應(yīng)結(jié)合產(chǎn)品的功能以及裝備的性質(zhì)與使用范疇，給出產(chǎn)品故障的判別標(biāo)準(zhǔn)，即故障判據(jù)。故障判據(jù)是判斷產(chǎn)品是否構(gòu)成故障的界限值，一般應(yīng)根據(jù)產(chǎn)品規(guī)定性能參數(shù)和允許的極限來確定。2024/9/15可靠性設(shè)計31任務(wù)定義及故障判據(jù)一般地，建立系統(tǒng)的基本可靠性模型時，任務(wù)定義為：系統(tǒng)在運行過程中不產(chǎn)生非計劃的維修及保障需求。故障判據(jù)為：任何導(dǎo)致維修及保障需求的非人為事件，都是故障事件。對于多任務(wù)、多功能的系統(tǒng)建立任務(wù)可靠性模型時，必須先明確所分析的任務(wù)是什么。對于任務(wù)的完成來說，涉及到系統(tǒng)的哪些功能，其中哪些功能是必要的，哪些功能是不必要的，以此而形成系統(tǒng)的故障判據(jù)。影響系統(tǒng)完成全部必要功能的所有軟、硬件故障都計為故障事件。3.典型的可靠性模型2024/9/15可靠性設(shè)計33典型可靠性模型分類典型的可靠性模型分為有貯備與無貯備兩種，有貯備可靠性模型按貯備單元是否與工作單元同時工作而分為工作貯備模型與非工作貯備模型。2024/9/15可靠性設(shè)計34建模前的假設(shè)系統(tǒng)及其組成單元只有故障與正常兩種狀態(tài)，不存在第三種狀態(tài)；用框圖中一個方框表示的單元或功能發(fā)生故障就會造成整個系統(tǒng)的故障（有替代工作方式的除外）；就故障概率來說，用不同方框表示的不同功能或單元其故障概率是相互獨立的。系統(tǒng)的所有輸入在規(guī)定極限之內(nèi)，即不考慮由于輸入錯誤而引起系統(tǒng)故障的情況；當(dāng)軟件可靠性沒有納入系統(tǒng)可靠性模型時，應(yīng)假設(shè)整個軟件是完全可靠的；當(dāng)人員可靠性沒有納入系統(tǒng)可靠性模型時，應(yīng)假設(shè)人員是完全可靠的，而且人員與系統(tǒng)之間沒有相互作用問題。2024/9/15可靠性設(shè)計35典型可靠性模型串聯(lián)模型并聯(lián)模型表決模型（r/n(G)模型）非工作貯備模型（旁聯(lián)模型）橋聯(lián)模型2024/9/15可靠性設(shè)計36串聯(lián)模型組成系統(tǒng)的所有單元中任一單元的故障都會導(dǎo)致整個系統(tǒng)故障的稱為串聯(lián)系統(tǒng)。串聯(lián)模型是最常用和最簡單的模型之一。串聯(lián)系統(tǒng)的RBD如下圖所示：串聯(lián)系統(tǒng)可靠性框圖123n2024/9/15可靠性設(shè)計37串聯(lián)模型串聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型當(dāng)各單元的壽命分布均為指數(shù)分布時，系統(tǒng)的壽命也服從指數(shù)分布2024/9/15可靠性設(shè)計38串聯(lián)模型系統(tǒng)的失效率為各單元的失效率之和每一個單元的失效率為系統(tǒng)的平均故障間隔時間：2024/9/15可靠性設(shè)計39串聯(lián)模型[例]某系統(tǒng)是由六種元器件構(gòu)成的串聯(lián)結(jié)構(gòu)，其元器件的數(shù)量及其失效率如下表所示。求系統(tǒng)失效率和MTBF。項目元器件

數(shù)量總失效率

集成電路3.7×10-736001.33×10-3晶體管10-735003.5×10-4電阻、電容10-877500.78×10-4厚膜電路2.4×10-8501.2×10-6接插件10-8100001.0×10-4焊接點10-8830000.83×10-4MTBF實測值為500h2024/9/15可靠性設(shè)計40串聯(lián)模型S——系統(tǒng)正常xi——單元i正常x1x3x2S=x1∩x2∩x3當(dāng)幾個單元相互獨立，系統(tǒng)可靠度：2024/9/15可靠性設(shè)計41串聯(lián)模型在設(shè)計時，為提高串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性，可從下列三方面考慮：盡可能減少串聯(lián)單元數(shù)目提高單元可靠性，降低其故障率縮短工作時間2024/9/15可靠性設(shè)計42并聯(lián)模型組成系統(tǒng)的所有單元都發(fā)生故障時，系統(tǒng)才發(fā)生故障的稱為并聯(lián)系統(tǒng)，是最簡單的冗余系統(tǒng)（有貯備模型）。并聯(lián)系統(tǒng)的RBD如圖所示并聯(lián)系統(tǒng)可靠性框圖1M2n2024/9/15可靠性設(shè)計43并聯(lián)模型數(shù)學(xué)模型對于最常用的兩單元并聯(lián)系統(tǒng)，有2024/9/15可靠性設(shè)計44并聯(lián)模型即使單元故障率都是常數(shù)，而并聯(lián)系統(tǒng)的故障率不再是常數(shù)當(dāng)系統(tǒng)各單元的壽命分布為指數(shù)分布時，對于n個相同單元的并聯(lián)系統(tǒng)，有

λs(t)λ1λ1λ2λ1=λ2λλλtttλ2λs(t)λs(t)2024/9/15可靠性設(shè)計45并聯(lián)模型B1B3B2B——系統(tǒng)故障Bi——單元i故障B=B1∩B2∩B3當(dāng)個單元相互獨立，系統(tǒng)不可靠度：2024/9/15可靠性設(shè)計46并聯(lián)模型與無貯備的單個單元相比，并聯(lián)可明顯提高系統(tǒng)可靠性（特別是n=2時）。當(dāng)并聯(lián)過多時可靠性增加減慢。并聯(lián)單元數(shù)與系統(tǒng)可靠度的關(guān)系tRs(t)1.00.80.60.40.2n=5n=4n=3n=2n=12024/9/15可靠性設(shè)計47表決模型由n個單元和一個表決器組成的表決系統(tǒng)。當(dāng)表決器正常時，在系統(tǒng)的n個單元中，正常的單元數(shù)不小于r（1≤r≤n

），系統(tǒng)就不會有故障，這樣的系統(tǒng)稱為r/n(G)表決模型。它是并聯(lián)模型的一種特例，屬于工作貯備模型。RBD如下：r/n(G)系統(tǒng)可靠性框圖1M2nr/n(G)2024/9/15可靠性設(shè)計48表決模型數(shù)學(xué)模型

式中：RS(t)為系統(tǒng)的可靠度；R(t)為系統(tǒng)組成單元（各單元相同）的可靠度；Rm

為表決器的可靠度。當(dāng)各單元的可靠度是時間的函數(shù)，且壽命服從故障率為λ的指數(shù)分布時，系統(tǒng)可靠度為：當(dāng)表決器的可靠度為1時，系統(tǒng)的平均無故障間隔時間為：2024/9/15可靠性設(shè)計49表決模型在r/n(G)模型中，當(dāng)n為奇數(shù)（令為2k+1），且正常單元數(shù)必須大于k+1時系統(tǒng)才正常，這樣的系統(tǒng)稱為多數(shù)表決模型。多數(shù)表決模型是r/n(G)系統(tǒng)的一種特例。三中取二（2/3）系統(tǒng)是常用的多數(shù)表決模型，其可靠性框圖如下2/3(G)系統(tǒng)可靠性框圖123121323(a)(b)2/3(G)2/3表決器2024/9/15可靠性設(shè)計50表決模型當(dāng)表決器可靠度為1，組成單元的故障率均為常值λ，其可靠性數(shù)學(xué)模型為：2024/9/15可靠性設(shè)計51表決模型若表決器的可靠度為1，則當(dāng)r=1時，1/n(G)即為并聯(lián)系統(tǒng)；當(dāng)r=n時，n/n(G)即為串聯(lián)系統(tǒng)。

所以，表決模型系統(tǒng)的MTBFs比并聯(lián)系統(tǒng)小，比串聯(lián)系統(tǒng)大。2024/9/15可靠性設(shè)計52旁聯(lián)模型組成系統(tǒng)的各單元只有一個單元工作，當(dāng)工作單元故障時，通過轉(zhuǎn)換裝置接到另一個單元繼續(xù)工作，直到所有單元都故障時系統(tǒng)才故障，稱為非工作儲備系統(tǒng)，又稱旁聯(lián)系統(tǒng)。非工作貯備系統(tǒng)可靠性框圖12n故障監(jiān)測和轉(zhuǎn)換裝置K2024/9/15可靠性設(shè)計53旁聯(lián)模型數(shù)學(xué)模型1.假設(shè)轉(zhuǎn)換裝置可靠度為1，則系統(tǒng)的MTBFS等于各單元MTBFi之和。當(dāng)系統(tǒng)各單元的壽命服從指數(shù)分布時，有2024/9/15可靠性設(shè)計54旁聯(lián)模型系統(tǒng)的各單元都相同時，有對于常用的兩個不同單元組成的非工作貯備系統(tǒng)（n=2,λ1≠λ2）2024/9/15可靠性設(shè)計55旁聯(lián)模型

2.假設(shè)轉(zhuǎn)換裝置的可靠度為常數(shù)RD，當(dāng)兩個單元相同且壽命服從指數(shù)分布，系統(tǒng)的可靠度為對于兩個不相同單元，有2024/9/15可靠性設(shè)計56旁聯(lián)模型非工作儲備系統(tǒng)的優(yōu)點是能大大提高系統(tǒng)的可靠度。其缺點是：由于增加了故障監(jiān)測與轉(zhuǎn)換裝置而提高了系統(tǒng)的復(fù)雜度；要求故障監(jiān)測與轉(zhuǎn)換裝置的可靠度非常高。一般要求它的不可靠度必須小于單個單元不可靠度的50%，否則儲備帶來的好處會被嚴(yán)重削弱。2024/9/15可靠性設(shè)計57旁聯(lián)模型[例]某2臺發(fā)電機構(gòu)成旁聯(lián)模型，發(fā)電機故障率λ=0.001/h，切換開關(guān)成功概率0.98，求運行100小時的可靠度。解：

R(t)=e-0.001×100(1+0.98×0.001×100)=0.9934

若兩臺發(fā)動機并聯(lián)，系統(tǒng)可靠度

R(t)=2e-λt-e-2λt=2e-0.001×100-e-2×0.001×100=0.9909

若希望旁聯(lián)可靠度大于并聯(lián)，則

e-λt(1+RDλt)≥2e-λt-e-2λt

因此，要求切換開關(guān)成功概率

RD≥(1-e-0.001×100)/(0.001×100)=0.952024/9/15可靠性設(shè)計58橋聯(lián)模型系統(tǒng)某些功能冗余形式或替代工作方式的實現(xiàn)，是一種非并聯(lián)、表決或旁聯(lián)的橋聯(lián)形式，稱為橋聯(lián)模型。示例：系統(tǒng)由A、B、C、D、E五個部分組成，當(dāng)開關(guān)E打開時，電機A向設(shè)備B供電，電機C向設(shè)備D供電。如果電機C故障，合上開關(guān)E，由電機A向設(shè)備B和D供電。系統(tǒng)的原理圖和可靠性框圖如下圖所示。2024/9/15可靠性設(shè)計59橋聯(lián)模型橋聯(lián)模型從圖中模型可以看出，在橋聯(lián)模型中可靠性框圖中的單元帶有流向，它反映了系統(tǒng)功能間的流程關(guān)系。通過觀察分析上面的可靠性框圖可以得知，當(dāng)單元A和B，或單元A、D和E，或單元C和D都正常時，系統(tǒng)的功能正常。系統(tǒng)可靠度的數(shù)學(xué)模型為：4.不可修系統(tǒng)的可靠性模型2024/9/15可靠性設(shè)計61虛單元所謂虛單元就是把一些相互獨立的單元組合在一起，構(gòu)成一個虛擬的單元，達到簡化可靠性框圖的目的。充分性：虛單元內(nèi)的所有單元與虛單元外的單元應(yīng)是相互統(tǒng)計獨立的；必要性：虛單元內(nèi)的所有單元之間的邏輯關(guān)系不能僅用串聯(lián)、并聯(lián)及橋聯(lián)模型來描述；虛單元應(yīng)只有一個邏輯入口和一個邏輯出口。

劃分虛單元，簡化可靠性框圖后，可以分步建立系統(tǒng)的可靠性數(shù)學(xué)模型：建立虛單元的可靠度數(shù)學(xué)模型，并把它作為虛單元的可靠度代入簡化后的可靠性框圖中；對簡化后的可靠性框圖建立數(shù)學(xué)模型。2024/9/15可靠性設(shè)計62虛單元劃分示例2024/9/15可靠性設(shè)計63系統(tǒng)的可靠性數(shù)學(xué)模型為：在劃分虛單元后應(yīng)是一個簡潔的串聯(lián)、并聯(lián)組合模型

前例圖3-21、22不含橋聯(lián)的復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型2024/9/15可靠性設(shè)計64含橋聯(lián)的復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型含有橋聯(lián)的系統(tǒng)任務(wù)可靠性框圖，在劃分虛單元后得到的可靠性框圖應(yīng)是一個串聯(lián)、并聯(lián)和橋聯(lián)的組合模型——網(wǎng)絡(luò)可靠性模型。（案例）布爾真值表法部件狀態(tài)圖示法全概率分解法最小路集法2024/9/15可靠性設(shè)計65假設(shè)：組成系統(tǒng)的各單元的壽命服從故障率為λ的指數(shù)分布。

含橋聯(lián)的復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型示例2024/9/15可靠性設(shè)計66①全概率分解法式中：——系統(tǒng)的可靠度；——網(wǎng)絡(luò)S正常的概率；——單元x正常的概率；——單元x故障的概率；——在單元x正常的條件下，網(wǎng)絡(luò)S正常的概率；——在單元x故障的條件下，網(wǎng)絡(luò)S正常的概率；系統(tǒng)中任一單元正常這一事件，與其逆事件（單元故障）一起，構(gòu)成完備事件組。利用概率論中的全概率公式，可以將非串并聯(lián)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分解簡化，經(jīng)多次分解簡化后，可將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)簡化成簡單的串并聯(lián)系統(tǒng)，從而計算出系統(tǒng)的可靠度。這個分解過程稱為全概率分解。用數(shù)學(xué)符號表示為：2024/9/15可靠性設(shè)計67①全概率分解法令：S(x)表示把網(wǎng)絡(luò)S中單元x的兩端節(jié)點合成一個節(jié)點而產(chǎn)生的新網(wǎng)絡(luò)；S(x)表示把網(wǎng)絡(luò)S中單元x去掉（即兩個端點之間不存在經(jīng)由x的聯(lián)系）而產(chǎn)生的新網(wǎng)絡(luò)。如果滿足：

則全概率分解公式可變?yōu)椋?/p>

如此經(jīng)過多次分解可以使產(chǎn)生的子網(wǎng)絡(luò)成為一般的串并聯(lián)系統(tǒng)，從而可以逐步地計算出網(wǎng)絡(luò)S的可靠度。2024/9/15可靠性設(shè)計68①全概率分解的規(guī)則全概率分解的一個關(guān)鍵步驟是選擇分解單元（不產(chǎn)生新的通道）任一無向單元都可以作為分解單元；任一有向單元，若其兩端節(jié)點中有一個節(jié)點只有流出連線（或只有流入連線）則可作為分解單元；與網(wǎng)絡(luò)輸入或輸出節(jié)點相連的單元可以作為分解單元，因為這些單元滿足前述條件。2024/9/15可靠性設(shè)計69①全概率分解的規(guī)則分解過程中產(chǎn)生的無用單元及其組合（如懸掛環(huán)、輸出節(jié)點流向輸入節(jié)點的逆向單元等）可以去掉選擇最佳分解單元可以減少分解步驟，更快地建立系統(tǒng)的可靠性數(shù)學(xué)模型。最佳分解單元的選擇需要一定的經(jīng)驗。P.38〔例3-4〕2024/9/15可靠性設(shè)計70②最小路集法路集和最小路集

路集是可靠性框圖中一些方框的集合，當(dāng)集合內(nèi)的方框都正常時，系統(tǒng)處于正常狀態(tài)。路集中增加一個方框后仍然是路集系統(tǒng)可靠性框圖中所有方框的全集合必然是路集若某路集中任意去掉一個方框后剩下的集合不再是路集，該路集就是最小路集。

最小路集中包含的方框數(shù)稱為路長。在最小路集中，既沒有重復(fù)的方框，其所形成的通路也沒有重復(fù)的節(jié)點。因此，具有n個節(jié)點的可靠性框圖的最小路集的最大路長為n-1。求所有最小路集的方法

聯(lián)絡(luò)矩陣法網(wǎng)絡(luò)遍歷法需采用計算機輔助實現(xiàn)，已成為求解所有最小路集的主要手段。2024/9/15可靠性設(shè)計71用最小路集建立系統(tǒng)任務(wù)可靠度模型系統(tǒng)任務(wù)可靠性框圖的所有最小路集為：系統(tǒng)正常意味著至少有一個最小路集存在，設(shè)系統(tǒng)正常這一事件為S，則有：第i個最小路集存在，意味著該路集中的每個方框均正常，用xij表示集合i中的第j個元素，則有：②最小路集法2024/9/15可靠性設(shè)計72②最小路集法利用相容事件的概率公式可以建立系統(tǒng)任務(wù)可靠度的數(shù)學(xué)模型為：注意：在利用最小路集建立系統(tǒng)任務(wù)可靠度數(shù)學(xué)模型時，存在著計算量隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模指數(shù)增長的問題。可以采用對最小路集進行不交化等方法進行求解，以達到簡化計算的目的。2024/9/15可靠性設(shè)計73聯(lián)絡(luò)矩陣給定一個任一類型的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，它有n個節(jié)點，節(jié)點編號為1，2，…，n。定義聯(lián)絡(luò)矩陣為：

C=[Cij]式中Cij為矩陣元素，其定義如下：2024/9/15可靠性設(shè)計74聯(lián)絡(luò)矩陣的乘方規(guī)則聯(lián)絡(luò)矩陣C的平方

其中，n為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點數(shù)。的含義：從節(jié)點i到所有可能的節(jié)點k，再從節(jié)點

k到節(jié)點

j的所有最小路集。即從節(jié)點

i到節(jié)點

j的路長為2的所有最小路集。因此中路長小于2的要去掉。聯(lián)絡(luò)矩陣C的r次方其中，n為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點數(shù)。的含義：從節(jié)點i到節(jié)點j的路長為r的所有最小路集。因此中路長小于r的要去掉。由于具有n個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)的最小路集的最大路長為n-1，因此對于r≥n，必有。2024/9/15可靠性設(shè)計75聯(lián)絡(luò)矩陣的乘方規(guī)則由于研究的是從輸入節(jié)點I

到輸出節(jié)點L

的可靠性，所以只需要求出“輸入→輸出”兩個端點之間的所有最小路集。只需求出C2、C3、……、Cn-1中的第L

列，即：其中只需求出第I行元素即可。P.40[例3-5]2024/9/15可靠性設(shè)計76大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最小路集的計算機算法當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)

n很大時，聯(lián)絡(luò)矩陣往往很大且是稀疏陣，因此用聯(lián)絡(luò)矩陣法求最小路集時要大容量存儲及“冗余”計算。故需要高效的計算機算法來求所有最小路集。所用算法基于廣義的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錈o向網(wǎng)絡(luò)的輸入節(jié)點和輸出節(jié)點可以隨意但必須分別指定；有向網(wǎng)絡(luò)（無懸掛環(huán)、逆向單元）：輸入節(jié)點：無輸入?。惠敵龉?jié)點：無輸出弧。2024/9/15可靠性設(shè)計77大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最小路集的計算機算法①問題描述設(shè)G是有n個節(jié)點的有向網(wǎng)絡(luò)（對無向網(wǎng)絡(luò)可以看成雙向的，故無向網(wǎng)絡(luò)亦可化為有向網(wǎng)絡(luò)）。假定節(jié)點之間無并聯(lián)弧，輸入節(jié)點為I，輸出節(jié)點為L，如何找出I、L之間的所有最小路集。②算法思想整個算法的基本思想可描述如下：1）輸入節(jié)點I作為起始節(jié)點；2）由起始節(jié)點出發(fā)，依次選下一步可達的節(jié)點i；3）判斷所選節(jié)點i是否走過，若是，則退回起始節(jié)點，轉(zhuǎn)2）；4）判斷是否已達到輸出節(jié)點L，若否，則把i作為起始節(jié)點，轉(zhuǎn)2）；5）判斷是否已找到了所有最小路集，如否，則退后一步，把上個節(jié)點作為起始節(jié)點，轉(zhuǎn)2）；6）結(jié)束。2024/9/15可靠性設(shè)計78大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最小路集的計算機算法求最小路集算法的功能流程圖2024/9/15可靠性設(shè)計79大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最小路集的計算機算法算法參數(shù)和符號n：網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)；I：輸入節(jié)點標(biāo)號；L：輸出節(jié)點標(biāo)號；E：扇出向量；E=(E1,…,Ei,…,En)，表示離開節(jié)點1，…，n的弧數(shù)。其中Ei表示節(jié)點i下一步可以到達的節(jié)點有Ei個。E向量完全由網(wǎng)絡(luò)所確定。

R：路線陣；R=(r(i,k))，其中i=1，…，n；k=1，…，Ei

。R的第i行記錄了節(jié)點i可以一步到達的節(jié)點標(biāo)號。R不一定是長方陣，即對不同的行，列數(shù)未必相同。為了表示i的下一步的節(jié)點已經(jīng)完全走遍，同時區(qū)分出輸入節(jié)點I，在R的每行再增加一個元素

此時稱R為G路線陣。顯然，R陣完全由網(wǎng)絡(luò)所確定。2024/9/15可靠性設(shè)計80大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最小路集的計算機算法算法參數(shù)和符號C：位置向量；C=(C1,…,Cj,…,Cn)，其中Cj記錄節(jié)點j下一步將訪問的節(jié)點在R中的列號。而元素r(j,Cj)記錄j下一步到達的節(jié)點標(biāo)號。F：檢驗向量；F為定義在節(jié)點{1，2，…，n}上的函數(shù)，初值為

F的作用為：當(dāng)某個節(jié)點j已走過時，F(xiàn)(j)的值就為1。在尋找一條最小路集的過程中，這可以用來判斷后面的節(jié)點是否與已走過的節(jié)點有重復(fù)。一旦F(j)=-1，表明已達到輸出節(jié)點L，即找到了一條最小路集。P：輸出矩陣；所有最小路集組成的矩陣，其中每一列為由輸入節(jié)點I到輸出節(jié)點L的一條最小路集。P的元素P(v，w)記錄了第w條最小路集中第v個節(jié)點的標(biāo)號。Uw：記錄第w條最小路集中的節(jié)點數(shù)，它在事先未知。2024/9/15可靠性設(shè)計81大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最小路集的計算機算法算法的數(shù)據(jù)流程圖輸入:網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)n輸入節(jié)點標(biāo)號I輸出節(jié)點標(biāo)號L扇出向量E路線陣R若某一步走到節(jié)點j，r(j,Cj)是其后要走的節(jié)點標(biāo)號。若r(j,Cj)=0，則表明節(jié)點j以后的所有分支都已走過。此時應(yīng)由j倒退一個節(jié)點，即由j前面的一個節(jié)點再往下探索。若r(j,Cj)>0，F(xiàn)(r(j,Cj))=0，表明節(jié)點無重復(fù)，且未到輸出節(jié)點L；r(j,Cj)>0，F(xiàn)(r(j,Cj))=-1，表明一條最小路集已找到。一旦r(j,Cj)<0，表明由輸入節(jié)點I出發(fā)，I所有下一步能達到的節(jié)點都已走遍，即意味著已求得所有最小路集。此時算法終止。2024/9/15可靠性設(shè)計825.建模實例[示例]某衛(wèi)星過渡軌道、同步及準(zhǔn)同步軌道