專題1-2指對同構(gòu)（朗博同構(gòu)）

專題12指對同構(gòu)（朗博同構(gòu)）【常見同構(gòu)形式】（1）乘積模型：（2）商式模型：（3）和差模型：【六大超越函數(shù)圖像】（（6）2020新高考1卷21（2）已知函數(shù)，若f（x）≥1，求a的取值范圍．【答案】［方法一］：【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法二］:換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，取得最大值為．所以．［方法三］：通性通法,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，,∴,∴成立.當(dāng)時，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法四］：因為定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當(dāng)時，恒成立．令，只需證當(dāng)時，恒成立．因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．當(dāng)時，因為，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點評】（2）方法一：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法二：通過先換元，令，再同構(gòu)，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；方法三：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進行充分性證明即可2022新高考1卷第22題已知函數(shù)和，證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【解答】易得在，；在，只有過與交點時，恰有3個不同交點則有，即①∵ ，且，∴②又∵ ，且，∴③由①②③可得：，證畢2022全國甲卷（理）21題已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．【詳解】（1）[方法一]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為[方法二]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域為，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為（2）法一：極值點偏移+同構(gòu)簡化計算由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設(shè)，要證,即證因為,即證，又因為,故只需證，即證同構(gòu)，原不等式變形為：令，則有即證：即證，即遞減，故，證畢.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數(shù)得：，即又因為，故，即下證因為不妨設(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證2023新高考1卷T19（2） 同構(gòu)+切線放縮或2次求導(dǎo)已知函數(shù)，證明：當(dāng)a＞0時，.解：即證：當(dāng)a＞0時，第一步，指數(shù)化，同構(gòu)變形：第二步，換元：令，，有第三步，放縮：（證明略），即證第四步，構(gòu)造函數(shù)：令，，故在，2022全國乙卷（理）16題已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】[方法一]：轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，，即圖象在上方當(dāng)時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.[方法三]：同構(gòu)+放縮（簡證）先得出（）放縮：重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一一元同構(gòu)2023深圳高二下期末·21（2）已知，若關(guān)于x的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】【簡證】恒成立等價于恒成立，即，則有令，，則有（構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得出最值，過程略）總結(jié)：同構(gòu)+分參若關(guān)于的不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，且對恒成立，設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再分和兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的取值情況及單調(diào)性，分別計算可得.【詳解】由題意可知，，即對恒成立．設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．①在上，若恒成立，即，；②在上，若，則恒成立，即恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．故選：B．寧波九校高三上期末·22（2）已知函數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)．若不等式對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】實數(shù)a的取值范圍為．，整理，同乘x得：，比較一下2種構(gòu)造方式，方式1：令，，易錯：由洛必達可知（選填時用）——這里用不了錯了！，故，令，易知恒成立，故由，則有，由單調(diào)性可知參考圖像可以快速得出答案，解答題還是要寫一下求導(dǎo)過程.方式2：總結(jié)：（1）求導(dǎo)通分看極值點即可，注意2個增區(qū)間之間用“，”而不是“∪” （2）先同構(gòu)再判斷單調(diào)性.江蘇鹽城2023屆高三5月三?！?2已知函數(shù)(1)當(dāng)a＝1時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)恒成立，求a的取值范圍．

【答案】（1）（2）（1）解：當(dāng)時，，，又，單調(diào)遞增， 2分又，當(dāng)時，當(dāng)時，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為. 4分(2)若恒成立，即恒成立.方法1：,,令，則，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，故存在唯一正實數(shù)使得， 6分當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，由恒成立，得，由得，， 8分∴，∴，∴，設(shè)，則恒成立，故在上遞增，而，∴，又且函數(shù)在上是增函數(shù)，故的取值范圍為. 12分法2：同法一得，由得，∴，，故的取值范圍為. 12分方法3：令，則，，則，令，則， 8分∵，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，恒成立，即恒成立，可證（過程略），，，即，，綜上，的取值范圍為. 12分方法4：∵恒成立，∴，即，同法3考查函數(shù)可得， 7分反之，當(dāng)時，，又可證（過程略），∴，∴恒成立，故的取值范圍為. 12分補充：同構(gòu)和型+放縮令，則有 總結(jié)：（1）兩次求導(dǎo)+取點（2）法一和法二是整體求導(dǎo)再用隱零點處理，法三和法四是同構(gòu)處理相對簡單湖南九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考·16已知不等式恒成立,則實數(shù)a的最大值為_______【答案】令，則有 可放縮補充：構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)令，故g(x)在(1，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，因此.因為不等式恒成立，所以Ina≤2，即總結(jié)：指對分離，補全結(jié)構(gòu)，最后的最值可以放縮得出.補充：對右邊的式子配湊也可以湖南省2023屆高三下3月考試·16已知是自然對數(shù)的底數(shù)．若，成立，則實數(shù)m的最小值是．【答案】解析：由．令，則在上單調(diào)遞增，且，所以，即對恒成立．令，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上的最大值是，所以，即實數(shù)m的最小值是．故答案為：．總結(jié)：同乘補全結(jié)構(gòu)即可，入門型若不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．，【答案】A【法一】：同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，故而，則，即令，則，故，則.對于還可以直接分類參數(shù)：總結(jié)：需要同加x才能補全結(jié)構(gòu)【法二】：整體求導(dǎo)、取點設(shè)，則，，，易知在上為增函數(shù)，存在，使得，即，兩邊取對數(shù)，可得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，不等式恒成立，恒成立，恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，即，故的取值范圍是，．湖北鄂東南聯(lián)考 ·8已知函數(shù)恒有零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A． B． C． D．方法1：同構(gòu)要使恒有零點，只需設(shè)，求導(dǎo)可知而，求導(dǎo)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故方法2：分參求導(dǎo)，令，則∵故在遞增，遞減，故，故選B.注：由常見不等式得到，即；或者令，，因為,故方法3：直接求導(dǎo)（可以消掉k），不難得出在上恒小于0，故在上單調(diào)遞增，在上遞減，故，當(dāng)時，，故的值域為，則.福建龍巖九校聯(lián)考·16已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】在上恒成立等價于第一步，錯位同構(gòu)：，第二步，構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)：令，則有第三步，分析單調(diào)性，定義域：易知，故在上單調(diào)遞減第四步，由單調(diào)性求出參數(shù)范圍：總結(jié)：錯位同構(gòu)，很少見，最后要注意取等.湖南常德3月模擬已知不等式對恒成立，則的取值范圍為．【答案】解析：易得：，即：，構(gòu)造函數(shù)，∴．易知在為增函數(shù)；∴，令，，當(dāng)時，，在為增函數(shù)，，∴；當(dāng)時，；，；時，；∴，∴，綜上：．總結(jié)：最后不等式要注意x取值范圍補充：對于，也可以分參浙江省衢州、麗水、湖州三地市高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測·8對任意的實數(shù)，不等式恒成立,則實數(shù)a的最小值為( )A. B. C. D.【答案】D總結(jié)：指對分離，補全結(jié)構(gòu)2022湖北四地七校高二下期中·7 已知實數(shù)a＞0，不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A． B．0＜a＜1 C．0＜a＜e D．a(chǎn)＞e【解答】解：令f（x）＝ex﹣aln（ax），a＞0，x∈（0，+∞），f′（x）＝ex﹣在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，x→0時，f′（x）→﹣∞；x→+∞時，f′（x）→+∞．∴存在唯一x0＞0，使得﹣＝0，即＝，x0＝lna﹣lnx0，∴x＝x0時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（x0）＝+ax0﹣2alna＞0，∴2﹣2lna＞0，解得0＜a＜e．總結(jié)：補全結(jié)構(gòu)即可。湖南郴州高二下期末·16函數(shù)．若對任意，都有，則實數(shù)m的取值范圍為_________．【答案】【分析】將條件轉(zhuǎn)化為，然后設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為，進而根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)得到，最后通過分離參數(shù)求得答案.【詳解】由題意，，設(shè)，則問題可轉(zhuǎn)化為.因為是上增函數(shù)（增+增），所以恒成立.設(shè)，則，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，所以，于是.故答案為：.湖南邵陽二?！? 若不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得恒成立，令，則恒成立，利用的單調(diào)性可得在時恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性得，即可得出答案.【詳解】因為，恒成立，即恒成立．令，則恒成立．因為恒成立，故單調(diào)遞增，所以在時恒成立，∴恒成立．令，．令，則∴單調(diào)遞減．∴，即，∴單調(diào)遞減，故．則正實數(shù)的取值范圍是.總結(jié)：補全結(jié)構(gòu)類已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B解：由題意可知：，即構(gòu)成同構(gòu)式，只需構(gòu)造函數(shù)：放縮：，，故選B.總結(jié)：需要多嘗試結(jié)構(gòu)上的搭配，通過放縮處理可以簡化計算關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為．【答案】解析：由，令，則，顯然在R上單調(diào)遞增，所以恒成立，即對恒成立．令，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上的最大值是，所以．故答案為：．總結(jié)：參變分開即可2022衡陽市八中高二期末·16已知函數(shù)，若在，上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解答】解：由在，上恒成立，得：在，上恒成立，易知當(dāng)，，時，，，令函數(shù)，則，單調(diào)遞增，故有，則在，上恒成立，令，則，易得在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，故（e），故，即實數(shù)的取值范圍是．總結(jié)：結(jié)構(gòu)上的變形處理會麻煩一些，要由定義域所決定的函數(shù)單調(diào)性也可以這樣構(gòu)造：令2023屆郴州三?！?6設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】解析：由已知，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，所以對恒成立．令，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上的最大值是，所以．故答案為：．總結(jié)：同乘補全結(jié)構(gòu)，再指對分離即可湖北省部分學(xué)校高三下5月適應(yīng)性考試·14對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】不等式恒成立等價于即，由于為增函數(shù)，由得，即恒成立，令，此題轉(zhuǎn)化為求.【詳解】不等式恒成立等價于即，第一種：，令，故第二種：，故，還取啥對數(shù)呀由于為增函數(shù)，所以由，得，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減易得，所以，所以的取值范圍是.補充：令，則有總結(jié)：構(gòu)造比較麻煩，需要多嘗試2023·廣東惠州·一模T22(2)已知函數(shù)，若函數(shù)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】恒成立，等價于，令，，則有等價于y1＝ex的圖像恒在y2＝ax的上方首先，y2＝ax在一，三象限，即a≥0，過原點作y1＝ex的切線，切線方程方程為y＝ex，故a≤e.總結(jié)：部分同構(gòu)+過某點的切線斜率思考1：分參是否可行？答：不行，要討論正負(fù)補充：這樣分參可行，時也滿足，綜上0≤a≤e.2023·廣東深圳·南山區(qū)高三上期末聯(lián)考·22已知定義在上的函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若，且當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由得，由得，則在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.（2）因為，且當(dāng)時，不等式恒成立，當(dāng)時，，恒成立，因此， 得出當(dāng)時，，令，原不等式等價于恒成立，而，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此，綜上得，所以實數(shù)的取值范圍是.補充：第一步，去分母：第二步，同乘2a：第三步，右邊指數(shù)化：第四步，寫出函數(shù)不等式，研究單調(diào)性：令，則有，因為，結(jié)合圖像可知（常見函數(shù)求導(dǎo)分析過程略），總結(jié)：去分母，補全結(jié)構(gòu)即可同構(gòu)2023·廣東汕頭·一模T22已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)定義域為，，在處取得極值，則，所以，此時，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）依題意即在上有兩個根，整理為，即，設(shè)函數(shù)，則上式為，因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，所以只需所以只需在上有兩個根，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得極大值即最大值，，且當(dāng)時，當(dāng)時，要想在上有兩個根，只需，解得，所以的取值范圍為.補充：也可以這樣處理作圖，有2個交點即可總結(jié)：同構(gòu)+數(shù)形結(jié)合題型二二元同構(gòu)2022屆山東聊城一模·8已知正數(shù)x，y滿足ylnx+ylny＝ex，則xy﹣2x的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：正數(shù)x，y滿足ylnx+ylny＝ex，所以yln（xy）＝ex，即xyln（xy）＝xex，所以ln（xy）?eln（xy）＝xex，令g（x）＝xex，（x＞0），則g′（x）＝（x+1）ex＞0，所以g（x）在x＞0時單調(diào)遞增，故x＝ln（xy），即xy＝ex，所以xy﹣2x＝ex﹣2x，令f（x）＝ex﹣2x，（x＞0），則f′（x）＝ex﹣2，當(dāng)x＞ln2時，f′（x）＝ex﹣2＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜ln2時，f′（x）＝ex﹣2＜0，f（x）單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝ln2時，f（x）取得最小值f（ln2）＝2﹣2ln2，所以xy﹣2x的最小值為2﹣2ln2．總結(jié)：合并再補全結(jié)構(gòu)即可實數(shù)x，y滿足，則的最小值為________【答案】令由洛必達法則可知，由此可得，，令，，故在，，故總結(jié)：常規(guī)指對同構(gòu)，需要結(jié)合洛必達法則作出函數(shù)圖像2022屆T8第一次聯(lián)考·8設(shè)，都為正數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，若，則A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由已知，則，設(shè)，則，，則，又，，則，即，從而，當(dāng)時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，，即.總結(jié)：同除補全結(jié)構(gòu) 2023茂名市高三一?！?2(多選)e是自然對數(shù)的底數(shù)，，已知，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【解析】原式變形為，構(gòu)造函數(shù)，則，∵，當(dāng)時，，則，即；當(dāng)時，，則，即；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A：∵在上單調(diào)遞增，故，取，則∵在上單調(diào)遞增，故，滿足題意，但，A錯誤；對于B：若，則有：當(dāng)，即時，則，即；當(dāng)，即時，由在時單調(diào)遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對于C：若，則有：當(dāng)，即時，顯然成立；當(dāng)，即時，令，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴當(dāng)時，所以，即，驗證極值點左邊圖像變化更快，考試時可以跳過由可得，即又∵由在時單調(diào)遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對于D：取，，則，或者取，.∵在上單調(diào)遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯誤.補充：對于BD都是取特值代入檢驗，C是比較極值點左右圖像增長快慢.河北省衡水中學(xué)2023屆高三下學(xué)期第三次綜合素養(yǎng)評價·16若正實數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】解析：由，令因為，當(dāng)且僅當(dāng)取到等號，所以，故，所以，令，則，易得在上遞增，在遞減，即，所以．故答案為：．總結(jié)：局部構(gòu)造+放縮不等式設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用常用不等放縮可得：，下面對分析，(先同構(gòu)，再構(gòu)造函數(shù))，即證,令，即證：，即，構(gòu)造函數(shù)，即證，由，所以在上單調(diào)遞減，則，即證，令，，即在上單調(diào)遞減，故，即成立，故成立，所以，題型三局部同構(gòu)華大新高考五月押題卷·12(多選)已知，若關(guān)于x的方程存在正零點，則實數(shù)的值可能為A． B． C． D．【答案】CD，沒完全同結(jié)構(gòu)令，則有，令，則則有，求導(dǎo)可知函數(shù)在，在，即.總結(jié)：先除λ再進行局部同構(gòu)，比較有挑戰(zhàn)性已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】解：由題意得：恒成立，則需要滿足，顯然恒成立，故只需，即. 總結(jié)：該題屬于局部同構(gòu)（類似華大五月新高考T12），再結(jié)合常見不等式進行放縮.2023·廣東·海珠區(qū)高三2月聯(lián)考·22已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為函數(shù)，所以，當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，另，得，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）若不等式恒成立，則有，即，法一：分參處理+隱零點化簡得，設(shè)函數(shù)，，，令得，即，所以存在，使得成立，所以，①，且，即，②，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，代入①②，可得，要使得恒成立，則即可，所以.法二：部分同構(gòu)去分母，同乘2x解：函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)在上有兩個零點，即有兩個不同的正實數(shù)根，即有兩個不同的正實數(shù)解，即有兩個不同的正實數(shù)解，令，則，可得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的值域為，所以，，令，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為函數(shù)有兩個不同的零點，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.2023·廣東3月·中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷測試聯(lián)考模擬預(yù)測T22（2）部分同構(gòu)+放縮設(shè)，若在上恒成立，求k的取值范圍. 【答案】由，即，所以，即而時，，在上遞增，則有，故下面是詳細(xì)步驟∵，∴，∴，由（1）可知在上單調(diào)遞減，下證：，即證：在恒成立，令，則，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴.∴，∵在上單調(diào)遞減，∴，即，∴.∴.2023·廣東·深圳中學(xué)5月適應(yīng)性測試T22（1）部分同構(gòu)已知函數(shù)，若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】法一：部分同構(gòu)+轉(zhuǎn)換為相切臨界問題函數(shù)的定義域為，即在上恒成立即，令，易證（略）則有，即圖像在圖像下方，過原點作切線，切線方程為，切點為故法二：部分同構(gòu)+分參，令，易證（略），法二：由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.函數(shù)的定義域為，不等式恒成立，即在上恒成立，記，則，得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即在區(qū)間上恒成立，分離變量知：在上恒成立，則，，由前面可知，當(dāng)時，恒成立，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以．題型四同構(gòu)+切線放縮2023佛山一模T11(多選)若正實數(shù)，滿足，則下列不等式中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為，所以，因為，所以，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時或，結(jié)合與的圖象也可得到所以或.故選：AC法二：也可以這樣構(gòu)造令，則，結(jié)合圖像可知， (x＝y(tǒng)＝1時取等號)總結(jié)：同構(gòu)+洛必達+放縮補充：巴蜀中學(xué)2023屆高考適應(yīng)性月考卷（八）T8——局部構(gòu)造+切線放縮已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C第一步，同乘x：第二步，同減2x：第三步，切線放縮：，故2023屆湖南四大名校5月“一起考”T7若當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，則滿足條件的a的最小整數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【詳解】第一步，同除同構(gòu)：，所以，恒成立，即，即第二步，換元，求導(dǎo)得出參數(shù)范圍：令，則有第三步，放縮：，故，即第四步，分離參數(shù)求出范圍：令，令，因為，故，，也可以取特殊值：令，又易知，據(jù)此可以判斷滿足不等式成立，故最小整數(shù)為1．補充：把x=0代入，剛好取等，余弦放縮：令單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；易證，且，所以，所以，即．（2023·廣東珠海·高三聯(lián)考模擬考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）因為函數(shù)，所以，當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，另，得，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，