新教材高中數(shù)學(xué)第2章一元二次函數(shù)方程和不等式13基本不等式的應(yīng)用課件湘教版必修第一冊(cè)

2.1.3基本不等式的應(yīng)用第2章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.能夠利用基本不等式求代數(shù)式的最值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.能夠利用基本不等式解決實(shí)際問題中的最值問題.(數(shù)學(xué)建模)課前篇自主預(yù)習(xí)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn):利用基本不等式求最值已知x,y都為正數(shù),則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),積xy有最大值名師點(diǎn)析

利用基本不等式求最值的注意事項(xiàng)在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件:一正、二定、三相等,這三個(gè)條件缺一不可.2,產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是這里的x不一定為正數(shù).只有各項(xiàng)為正數(shù)時(shí)才能利用基本不等式.二定:積或和為定值.積為定值和有最小值;和為定值積有最大值.為了利用基本不等式,有時(shí)對(duì)給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形.例如:另外,在連續(xù)使用公式求最值時(shí),取等號(hào)的條件很嚴(yán)格,要求同時(shí)滿足任何一次等號(hào)成立的字母取值存在且一致.微思考填寫下面的表格:x+y101010101010101010x(x>0)123456789y(y>0)987654321xy

xy111111111x(x>0)

12345y(y>0)

x+y

根據(jù)以上表格,并結(jié)合基本不等式分析:(1)當(dāng)x+y是定值時(shí),xy有最大值還是最小值?最值等于什么?(2)當(dāng)xy是定值時(shí),x+y有最大值還是最小值?最值等于什么?微練習(xí)已知x>0,y>0.(1)若xy=4,則x+y的最小值是

;

(2)若x+y=4,則xy的最大值是

.

答案

(1)4

(2)4課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一利用基本不等式求代數(shù)式的最值1.通過變形后應(yīng)用基本不等式求最值例1求下列代數(shù)式的最值,并求出相應(yīng)的x值.反思感悟

利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件.解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知條件和欲求的式子,運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數(shù),改變不等號(hào)方向;二不定,應(yīng)湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性(在第三章學(xué)習(xí)).

C.最大值1 D.最小值1答案

D2.應(yīng)用“1”的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值

答案

4解析

∵正數(shù)a,b滿足a+b=1,反思感悟

利用基本不等式求條件最值問題時(shí),若所給條件為ax+by=1或可化為ax+by=1及

=1(其中a,b為常數(shù),x,y為變量),可利用“1”的結(jié)構(gòu),將待求式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整,優(yōu)化為可以直接利用基本不等式求最值的式子.答案

1探究二利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用中的最值問題例3(2020北京高一月考)黨的十九大報(bào)告指出,建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計(jì).而清潔能源的廣泛使用將為生態(tài)文明建設(shè)提供更有力的支撐.沼氣作為取之不盡、用之不竭的生物清潔能源,在保護(hù)綠水青山方面具有獨(dú)特功效.通過建造沼氣池帶來的農(nóng)村“廁所革命”,對(duì)改善農(nóng)村人居環(huán)境等方面,起到立竿見影的效果.為了積極響應(yīng)國(guó)家推行的“廁所革命”,某農(nóng)戶準(zhǔn)備建造一個(gè)深為2米、容積為32立方米的長(zhǎng)方體沼氣池,如果池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元,沼氣池蓋子的造價(jià)為3000元,怎樣設(shè)計(jì)沼氣池才能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少元?解

設(shè)沼氣池底面的一邊長(zhǎng)為x米,沼氣池的總造價(jià)為y元,因?yàn)檎託獬氐纳顬?米,容積為32立方米,所以底面積為16平方米,因?yàn)榈酌娴囊贿呴L(zhǎng)為x米,反思感悟

應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題的思路與方法(1)理解題意,設(shè)出變量.(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實(shí)際問題抽象成求函數(shù)的最大值或最小值問題.(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值.(4)根據(jù)實(shí)際背景寫出答案.變式訓(xùn)練2如圖,某人要圍成相同的四個(gè)長(zhǎng)方形菜園,一面可利用原有的墻,其他各面用籬笆圍成.現(xiàn)有36m長(zhǎng)的籬笆材料,每個(gè)菜園的長(zhǎng)、寬分別設(shè)計(jì)為多少時(shí),可使每個(gè)菜園面積最大?解

設(shè)每個(gè)菜園長(zhǎng)x

m,寬y

m,則由條件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.設(shè)每個(gè)菜園的面積為S,則S=xy.素養(yǎng)形成基本不等式的變形技巧技巧一:裂項(xiàng)

分析先盡可能地讓分子的變量項(xiàng)和分母相同(常用于分子所含變量因子的次數(shù)比分母所含變量因子的次數(shù)大或相等),然后裂項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求和的最值,進(jìn)而湊定積(即使得含變量的因子x+1的次數(shù)和為零,同時(shí)取到等號(hào)).技巧二:添項(xiàng)

分析當(dāng)求和的最小值時(shí),盡可能湊定積,本題需添6,再減6.技巧三:放入根號(hào)內(nèi)或兩邊平方

分析求積的最值(因式中含根號(hào)),把變量都放在同一個(gè)根號(hào)里或者將兩邊平方去根號(hào),整合結(jié)構(gòu)形式,湊成定和,是解決本題的關(guān)鍵所在.當(dāng)堂檢測(cè)答案

A2.(2021湖北直轄縣級(jí)行政單位高一期末)已知a,b均為正實(shí)數(shù),且a+2b=3ab,則2a+b的最小值為(

)A.3 B.4 C.6 D.9答案

A3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,則xy的最大值為

.

4.(2021安徽宿州高一期末)某電商自營(yíng)店,其主打商品每年需要6000件,每年n次進(jìn)貨,每次購(gòu)買x件,每次購(gòu)買商品需手續(xù)費(fèi)300元,已購(gòu)進(jìn)未賣出的商品要付庫(kù)存費(fèi),可認(rèn)為平均庫(kù)存量為,每件商品