2024屆山東省聊城市高三三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3山東省聊城市2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為2，過的直線與交于，兩點，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為2，即，則拋物線，焦點，當(dāng)直線平行于軸時，，，當(dāng)直線不平行于軸時，設(shè)直線，，聯(lián)立方程組，得，，則，又，所以的最小值為4.故選：B.2.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故，又，所以.故選：A3.“，且”是“，且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，且，根據(jù)不等式的加法和乘法法則可得，且，即必要性成立；當(dāng)，滿足，且，但是，故充分性不成立，所以“，且”是“，且”的必要不充分條件.故選：B4.已知圓與兩坐標(biāo)軸及直線都相切，且圓心在第二象限，則圓的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意設(shè)所求的圓方程為，則，即，解得，所以圓的方程為.故選：D5.設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象與的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為（）A.8 B.6 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗由題意得，則.函數(shù)的圖象由函數(shù)圖形向右平移1個單位得到.由函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于點對稱，在定義域內(nèi)有4個交點.所以函數(shù)的圖象與的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為故選：C.6.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，則，即，由，則，由，得，故，所以，則，故.故選：A7.設(shè)正項數(shù)列的前項和滿足表示從個不同元素中任取個元素的組合數(shù)，則（）A.512 B.1024 C.5120 D.10240〖答案〗C〖解析〗由，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，則，整理，又?jǐn)?shù)列為正項數(shù)列，則，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.因為，所以.故選：C8.設(shè)函數(shù)的定義域為，導(dǎo)數(shù)為，若當(dāng)時，，且對于任意的實數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，設(shè)，則，即為上的偶函數(shù)，又當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以，即，解得.故選：B二、選擇題9.設(shè)方程的兩根在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是，則（）A.的實部為1 B.關(guān)于軸對稱C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由實系數(shù)一元二次方程求根公式知：方程的兩根為，則，所以的實部為0，故A錯誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是，他們關(guān)于軸對稱，故B正確；由得，即，故C正確；由得，故D正確.故選：BCD10.在美國重壓之下，中國芯片異軍突起，當(dāng)前我們國家生產(chǎn)的最小芯片制程是7納米.某芯片生產(chǎn)公司生產(chǎn)的芯片的優(yōu)秀率為0.8，現(xiàn)從生產(chǎn)流水線上隨機(jī)抽取5件，其中優(yōu)秀產(chǎn)品的件數(shù)為.另一隨機(jī)變量，則（）A. B.C. D.隨的增大先增大后減小〖答案〗CD〖解析〗由題意，則，所以，故選項A錯誤；，則，設(shè)當(dāng)時概率最大，則有，即，解得，由，所以當(dāng)時概率最大，則，即隨的增大先增大后減小，故D選項正確；又，則，，所以，故選項B錯誤；，又，所以，故選項C正確.故選：CD11.已知圓錐為底面圓心的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，是底面圓周上的一個動點，直線滿足，設(shè)直線與所成的角為，直線與所成的角為，則（）A.的取值范圍為 B.該圓錐內(nèi)切球的表面積為C.的取值范圍為 D.〖答案〗BC〖解析〗如圖：圓錐中，，，由題意，所以，所以，如圖，作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，易知，圓錐內(nèi)切球的半徑即等于內(nèi)切圓的半徑.因為，所以，所以，故圓錐的內(nèi)切球表面積，故選項B正確；在圓錐底面上使，由于直線滿足，不妨令，，符合題意，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，設(shè)，，所以，，,由異面直線向量夾角公式知：，，因為，所以，所以，所以，故選項A錯誤；所以，故選項D錯誤；，因為，所以，所以，所以，故選項C正確.故選：BC三、填空題12.已知集合，且，則實數(shù)的值為______．〖答案〗3〖解析〗，則，有或，解得或或，其中時，與集合中元素的互異性矛盾，舍去，所以實數(shù)的值為3.故〖答案〗為：313.兩本相同的圖畫書和兩本不同的音樂書全部分給三個小朋友，每人至少一本，且兩本圖畫書不分給同一個小朋友，則不同的分法共有______種.〖答案〗15〖解析〗不妨記兩本相同的圖書為元素，兩本不同的音樂書為元素，根據(jù)題意，分類討論：若分組情況為時，此時分配給三個小朋友的方法有種情況；若分組情況為時，此時分配給三個小朋友的方法有種情況；若分組情況為時，此時分配給三個小朋友的方法有種情況；綜上，不同的分法共有種.故〖答案〗為：1514.已知雙曲線的一個焦點為為坐標(biāo)原點，點在雙曲線上運動，以為直徑的圓過點，且恒成立，則的離心率的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，直線:，因為以為直徑的圓過點，所以，即，聯(lián)立，整理得，且，，，則，所以，整理得，即由到直線:的距離，又，即，而，因為，即，所以，又，所以.故〖答案〗為：.四、解答題15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若在邊上，且，求的周長.解：（1）因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以.（2）因為，所以，所以，即，即，解得，或（舍），由余弦定理，得，所以，所以的周長為.16.如圖，在正三棱柱中，，點分別是棱，的中點，點滿足，其中.（1）當(dāng)時，求證：∥平面；（2）當(dāng)時，是否存在點使得平面與平面的夾角的余弦值是？若存在，指出點的位置，若不存在，請說明理由.（1）證明：當(dāng)時，，故點是的中點，連接，，因為點是的中點，是的中點，所以∥，因為點分別是的中點，所以∥，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面.（2）解：存在，點為的中點.當(dāng)時，，即，所以點在棱上，取的中點，連接，，則∥，在正三棱柱中，平面，是正三角形，所以，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，從而，，，設(shè)平面的法向量是，由，即，令，得設(shè)平面的法向量是，由，即，令，得令，得，解得，所以存在點使得平面與平面的夾角的余弦值是，此時點為的中點.17.已知函數(shù).（1）若曲線與有一條斜率為2的公切線，求實數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性.解：（1）由得，設(shè)公切線與曲線的切點坐標(biāo)為，由已知得，解得，所以公切線方程為，即，由得，由已知得，解得.（2）由已知，則，當(dāng)時，，令，得，令得，這時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，令，得，令得，這時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令得或，，①當(dāng)時，，這時在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，，令，得，令得或，這時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，，令，得，令得或，這時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.18.今年五一節(jié)期間，聊城百貨大樓有限公司搞促銷活動，下表是該公司5月1號至10號（日期簡記為1，2，3，……，10）連續(xù)10天的銷售情況：日期12345678910銷售額（萬元）1919.319.62021.222423.824.62525.4由上述數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到銷售額和日期的線性回歸方程為，日期的方差約為3.02，銷售額的方差約為2.59.（1）根據(jù)線性回歸方程，分析銷售額隨日期變化趨勢的特征，并計算第4天的殘差；（2）計算相關(guān)系數(shù)，并分析銷售額和日期的相關(guān)程度（精確到0.001）；（3）該公司為了促銷，擬打算對電視機(jī)實行分期付款方式銷售，假設(shè)顧客購買一臺電視機(jī)選擇分期付款的期數(shù)及相應(yīng)的概率和公司獲得的利潤（單位：元）情況如下表：246400600800已知成等比數(shù)列.設(shè)該公司銷售兩臺電視機(jī)所獲得的利潤為（單位：元），當(dāng)?shù)母怕嗜〉米畲笾禃r，求利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：相關(guān)系數(shù).回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：.相關(guān)數(shù)據(jù).解：（1）根據(jù)線性回歸方程，日期每增加一天，銷售額約增加萬元，把代入回歸直線方程，得，因為，所以第4天殘差為；（2）由得，比較接近于1，故銷售額和日期的相關(guān)程度較強(qiáng).（3）由成等比數(shù)列，得，且，設(shè)其公比為，則，所以，由題意可得的值分別為，則，，，，，又，取得最大值的條件即，此時，故分布列為：8001000120014001600期望.19.已知圓和點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線與線段相交于點，記點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）點在直線上運動，過點的動直線與曲線相交于點.（?。┤艟€段上一點，滿足，求證：當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，點在定直線上；（ⅱ）過點作軸的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率分別為，當(dāng)直線過點時，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（1）解：由題意知圓心，半徑為4，且，，則，所以點的軌跡為以為焦點的橢圓，設(shè)曲線的方程為，則，解得，所以，所以曲線的方程為；（2）（?。┳C明：因為直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，因為在上，所以，由得，，設(shè)，則，由得，化簡得，則，化簡得，又因為，所以，所以點在定直線上.（ⅱ）解：因為直線過，所以，直線方程為，從而得，，由（?。┲?，，，所以，所以存在實數(shù)，使得.山東省聊城市2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為2，過的直線與交于，兩點，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為2，即，則拋物線，焦點，當(dāng)直線平行于軸時，，，當(dāng)直線不平行于軸時，設(shè)直線，，聯(lián)立方程組，得，，則，又，所以的最小值為4.故選：B.2.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故，又，所以.故選：A3.“，且”是“，且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，且，根據(jù)不等式的加法和乘法法則可得，且，即必要性成立；當(dāng)，滿足，且，但是，故充分性不成立，所以“，且”是“，且”的必要不充分條件.故選：B4.已知圓與兩坐標(biāo)軸及直線都相切，且圓心在第二象限，則圓的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意設(shè)所求的圓方程為，則，即，解得，所以圓的方程為.故選：D5.設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象與的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為（）A.8 B.6 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗由題意得，則.函數(shù)的圖象由函數(shù)圖形向右平移1個單位得到.由函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于點對稱，在定義域內(nèi)有4個交點.所以函數(shù)的圖象與的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為故選：C.6.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，則，即，由，則，由，得，故，所以，則，故.故選：A7.設(shè)正項數(shù)列的前項和滿足表示從個不同元素中任取個元素的組合數(shù)，則（）A.512 B.1024 C.5120 D.10240〖答案〗C〖解析〗由，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，則，整理，又?jǐn)?shù)列為正項數(shù)列，則，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.因為，所以.故選：C8.設(shè)函數(shù)的定義域為，導(dǎo)數(shù)為，若當(dāng)時，，且對于任意的實數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，設(shè)，則，即為上的偶函數(shù)，又當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以，即，解得.故選：B二、選擇題9.設(shè)方程的兩根在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是，則（）A.的實部為1 B.關(guān)于軸對稱C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由實系數(shù)一元二次方程求根公式知：方程的兩根為，則，所以的實部為0，故A錯誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是，他們關(guān)于軸對稱，故B正確；由得，即，故C正確；由得，故D正確.故選：BCD10.在美國重壓之下，中國芯片異軍突起，當(dāng)前我們國家生產(chǎn)的最小芯片制程是7納米.某芯片生產(chǎn)公司生產(chǎn)的芯片的優(yōu)秀率為0.8，現(xiàn)從生產(chǎn)流水線上隨機(jī)抽取5件，其中優(yōu)秀產(chǎn)品的件數(shù)為.另一隨機(jī)變量，則（）A. B.C. D.隨的增大先增大后減小〖答案〗CD〖解析〗由題意，則，所以，故選項A錯誤；，則，設(shè)當(dāng)時概率最大，則有，即，解得，由，所以當(dāng)時概率最大，則，即隨的增大先增大后減小，故D選項正確；又，則，，所以，故選項B錯誤；，又，所以，故選項C正確.故選：CD11.已知圓錐為底面圓心的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，是底面圓周上的一個動點，直線滿足，設(shè)直線與所成的角為，直線與所成的角為，則（）A.的取值范圍為 B.該圓錐內(nèi)切球的表面積為C.的取值范圍為 D.〖答案〗BC〖解析〗如圖：圓錐中，，，由題意，所以，所以，如圖，作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，易知，圓錐內(nèi)切球的半徑即等于內(nèi)切圓的半徑.因為，所以，所以，故圓錐的內(nèi)切球表面積，故選項B正確；在圓錐底面上使，由于直線滿足，不妨令，，符合題意，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，設(shè)，，所以，，,由異面直線向量夾角公式知：，，因為，所以，所以，所以，故選項A錯誤；所以，故選項D錯誤；，因為，所以，所以，所以，故選項C正確.故選：BC三、填空題12.已知集合，且，則實數(shù)的值為______．〖答案〗3〖解析〗，則，有或，解得或或，其中時，與集合中元素的互異性矛盾，舍去，所以實數(shù)的值為3.故〖答案〗為：313.兩本相同的圖畫書和兩本不同的音樂書全部分給三個小朋友，每人至少一本，且兩本圖畫書不分給同一個小朋友，則不同的分法共有______種.〖答案〗15〖解析〗不妨記兩本相同的圖書為元素，兩本不同的音樂書為元素，根據(jù)題意，分類討論：若分組情況為時，此時分配給三個小朋友的方法有種情況；若分組情況為時，此時分配給三個小朋友的方法有種情況；若分組情況為時，此時分配給三個小朋友的方法有種情況；綜上，不同的分法共有種.故〖答案〗為：1514.已知雙曲線的一個焦點為為坐標(biāo)原點，點在雙曲線上運動，以為直徑的圓過點，且恒成立，則的離心率的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，直線:，因為以為直徑的圓過點，所以，即，聯(lián)立，整理得，且，，，則，所以，整理得，即由到直線:的距離，又，即，而，因為，即，所以，又，所以.故〖答案〗為：.四、解答題15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若在邊上，且，求的周長.解：（1）因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以.（2）因為，所以，所以，即，即，解得，或（舍），由余弦定理，得，所以，所以的周長為.16.如圖，在正三棱柱中，，點分別是棱，的中點，點滿足，其中.（1）當(dāng)時，求證：∥平面；（2）當(dāng)時，是否存在點使得平面與平面的夾角的余弦值是？若存在，指出點的位置，若不存在，請說明理由.（1）證明：當(dāng)時，，故點是的中點，連接，，因為點是的中點，是的中點，所以∥，因為點分別是的中點，所以∥，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面.（2）解：存在，點為的中點.當(dāng)時，，即，所以點在棱上，取的中點，連接，，則∥，在正三棱柱中，平面，是正三角形，所以，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，從而，，，設(shè)平面的法向量是，由，即，令，得設(shè)平面的法向量是，由，即，令，得令，得，解得，所以存在點使得平面與平面的夾角的余弦值是，此時點為的中點.17.已知函數(shù).（1）若曲線與有一條斜率為2的公切線，求實數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性.解：（1）由得，設(shè)公切線與曲線的切點坐標(biāo)為，由已知得，解得，所以公切線方程為，即，由得，由已知得，解得.（2）由已知，則，當(dāng)時，，令，得，令得，這時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，令，得，令得，這時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令得或，，①當(dāng)時，，這時在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，，令，得，令得或，這時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，，令，得，令得或，這時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.18.今年五一節(jié)期間，聊城百貨大樓有限公司搞促銷活動，下表是該公司5月1號至10號（日期簡記為1，2，3，……，10）連續(xù)10天的銷售情況：日期12345678910銷售額（萬元）1919.319.62021.222423.824.62525.4由上述數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到銷售額和日期的線性回歸方程為，日期的方差約為3.