高中立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)全集(圖文并茂)

PAGEPAGE5立體幾何知識(shí)點(diǎn)整理班級(jí)：組別：姓名：平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.空間線面的位置關(guān)系共面平行—沒有公共點(diǎn)(1)直線與直線相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)異面(既不平行，又不相交)直線在平面內(nèi)—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線和平面直線不在平面內(nèi)平行—沒有公共點(diǎn)(直線在平面外)相交—有且只有一公共點(diǎn)(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn))平行—沒有公共點(diǎn)線面平行與垂直的判定(1)兩直線平行的判定①定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行.②如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,則a∥b.③平行于同一直線的兩直線平行，即若a∥b,b∥c,則a∥c.④垂直于同一平面的兩直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b⑤兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,則a∥b⑥如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，則a∥b.(2)兩直線垂直的判定1.定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.2.一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b∥c,a⊥b,則a⊥c3.一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即若a⊥α,bα，a⊥b.4.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若a∥α,b⊥α,則a⊥b.5.三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，則a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直線與平面平行的判定①定義：若一條直線和平面沒有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平行.②如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行.即若aα,bα，a∥b,則a∥α.③兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即若α∥β,lα，則l∥β.④如果一個(gè)平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個(gè)平面平行.即若α⊥β,l⊥β，lα，則l∥α.⑤在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過這兩個(gè)點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同側(cè)，且A、B到α等距，則AB∥α.⑥兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即若α∥β,aα，aβ，a∥α，則α∥β.⑦如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，則b∥α.⑧如果兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平面內(nèi))，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)(4)直線與平面垂直的判定①定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,則l⊥α.③如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,則l⊥α.④一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若α∥β,l⊥β，則l⊥α.⑤如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,則l⊥α.⑥如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,則a⊥γ.(5)兩平面平行的判定①定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無(wú)公共點(diǎn)α∥β.②如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,則α∥β.③垂直于同一直線的兩平面平行.即若α⊥a,β⊥a,則α∥β.④平行于同一平面的兩平面平行.即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,則α∥β.(6)兩平面垂直的判定①定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.②如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l⊥β,lα，則α⊥β.③一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ.直線在平面內(nèi)的判定(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則ABα.(3)過一點(diǎn)和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則aα.(4)過平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，則aβ.(5)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,則bα.存在性和唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)與這條直線平行的直線有且只有一條；(2)過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條；(3)過平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；(5)過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)；(6)過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；(7)過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；(8)過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).直線和平面的三種位置關(guān)系：1.線面平行：2線面相交符號(hào)表示：符號(hào)表示：3.線在面內(nèi)符號(hào)表示：平行關(guān)系：線線平行：方法一：用線面平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。若，則。線面平行：方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。面面平行：方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)(只限應(yīng)用在客觀題)。方法二：用線面平行實(shí)現(xiàn)。三．垂直關(guān)系：1.線面垂直：方法一：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。2.面面垂直：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：計(jì)算所成二面角為直角。線線垂直：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：三垂線定理及其逆定理。夾角問題。異面直線所成的角：(1)范圍：(2)求法：方法一：定義法。步驟1：平移，使它們相交，找到夾角。步驟2：解三角形求出角。線面角(1)定義：直線l上任取一點(diǎn)P（交點(diǎn)除外），作PO于O,連結(jié)AO，則AO為斜線PA在面內(nèi)的射影，(圖中)為直線l與面所成的角。(2)范圍：當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，(3)求法：定義法。步驟1：作出線面角，并證明。步驟2：解三角形，求出線面角。二面角及其平面角(1)定義：在棱l上取一點(diǎn)P，兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角為二面角—l—的平面角。(2)范圍：(3)求法：方法一：定義法。步驟1：找角，并證明。步驟2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：垂線法。步驟1：過平面內(nèi)一點(diǎn)P做PO交于點(diǎn)O，過O做OAl，連接PA，證明步驟2：解三角形，求出二面角。距離問題。1．點(diǎn)面距。幾何法。步驟1：過點(diǎn)P作PO于O，線段PO即為所求。步驟2：計(jì)算線段PO的長(zhǎng)度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法)（2015文）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E—ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積（2014文）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面.證明：若,求三棱柱的高(2013文Ⅰ)(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)證明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積．(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B.因?yàn)镃A＝CB，所以O(shè)C⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB.因?yàn)镺C∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)C＝OA1＝.又A1C＝，則A1C2＝OC2＋，故OA1⊥OC.因?yàn)镺C∩AB＝O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面積S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝S△ABC×OA1＝3.CBADC1A1（2012文1）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=eq\f(1,2)AA1，CBADC1A1(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積比(Ｉ)證明：有題設(shè)得,,,所以平面,又平面,所以,由題設(shè)知,所以,有,所以平面BDC,又平面BDC1,平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）設(shè)棱錐的體積為,,三棱柱ABC－A1B1C1體積為,所以,所以平面BDC1分此棱柱為兩部分體積的比為（2015文2）如圖,長(zhǎng)方體中AB=16,BC=10,,點(diǎn)