江蘇省無(wú)錫市第三高級(jí)中學(xué)2025屆下學(xué)期高三年級(jí)五調(diào)考試數(shù)學(xué)試題含解析

江蘇省無(wú)錫市第三高級(jí)中學(xué)2025屆下學(xué)期高三年級(jí)五調(diào)考試數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，，，為某三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)（）.A．6 B．5 C．4 D．34．如圖所示，直三棱柱的高為4，底面邊長(zhǎng)分別是5，12，13，當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8，則球的體積為()A．1605π3 B．6425．（）A． B． C． D．6．若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7．已知命題p：“”是“”的充要條件；，，則（）A．為真命題 B．為真命題C．為真命題 D．為假命題8．已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．9．A． B． C． D．10．如圖所示，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）A． B．C． D．11．已知拋物線：，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，又知點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．3 D．512．設(shè)為非零實(shí)數(shù)，且，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_______.14．已知不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，則區(qū)域的外接圓的面積為_(kāi)_____．15．在面積為的中，，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的最大值是______.16．某部門(mén)全部員工參加一項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng)，按年齡分為三組，其人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，若組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該部門(mén)員工總?cè)藬?shù)為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率，其右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.18．（12分）某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成．在此區(qū)域內(nèi)原有一個(gè)以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個(gè)凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點(diǎn)．已知長(zhǎng)為40米,設(shè)為．（上述圖形均視作在同一平面內(nèi)）（1）記四邊形的周長(zhǎng)為,求的表達(dá)式;（2）要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值．19．（12分）如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線l過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，并判斷曲線C是什么曲線；設(shè)直線l與曲線C相交與M，N兩點(diǎn)，當(dāng)，求的值．22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）函數(shù)，若對(duì)于，使得成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

由，化簡(jiǎn)得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?，所以，又由余弦定理，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運(yùn)算能力.2．B【解析】

在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得含項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，可得含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．C【解析】

若對(duì)任意的恒成立，則為的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值時(shí)的n即可.【詳解】由已知，，又三角形有一個(gè)內(nèi)角為，所以，，解得或（舍），故，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.故選：C.本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.4．A【解析】

設(shè)球心為O，三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1，該圓與邊B【詳解】如圖，設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O，則由球的幾何知識(shí)得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A．本題考查與球有關(guān)的組合體的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：（1）構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，這是解決與球有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常用的方法．（2）若直角三角形的兩直角邊為a,b，斜邊為c，則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c5．D【解析】

利用，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.6．B【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，令，則，令，則問(wèn)題即在上有零點(diǎn)，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7．B【解析】

由的單調(diào)性，可判斷p是真命題；分類討論打開(kāi)絕對(duì)值，可得q是假命題，依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題．對(duì)于命題q，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，由，得，無(wú)解，因此命題q是假命題．所以為假命題，A錯(cuò)誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯(cuò)誤；為真命題，D錯(cuò)誤．故選：B本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8．A【解析】=,當(dāng)時(shí)時(shí),單調(diào)遞減，時(shí),單調(diào)遞增,且當(dāng),當(dāng),

當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí),單調(diào)遞增且,方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.令=則,,即.9．A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】本題正確選項(xiàng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．10．D【解析】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形，所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為，又因?yàn)殡u蛋的體積為，所以球的半徑為，所以球心到截面的距離，而截面到球體最低點(diǎn)距離為，而蛋巢的高度為，故球體到蛋巢底面的最短距離為.點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問(wèn)題，考查球體有關(guān)的知識(shí).在解答過(guò)程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問(wèn)題時(shí)，可以采用軸截面的方法來(lái)處理.也就是畫(huà)出題目通過(guò)球心和最低點(diǎn)的截面，然后利用弦長(zhǎng)和勾股定理來(lái)解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.11．C【解析】

由,再運(yùn)用三點(diǎn)共線時(shí)和最小，即可求解.【詳解】.故選：C本題考查拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵，注意拋物線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．12．C【解析】

取，計(jì)算知錯(cuò)誤，根據(jù)不等式性質(zhì)知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計(jì)算知錯(cuò)誤；故選：.本題考查了不等式性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．3【解析】

作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),.故答案為:3.本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

先作可行域，根據(jù)解三角形得外接圓半徑，最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【詳解】由題意作出區(qū)域，如圖中陰影部分所示，易知，故，又，設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理得，即，故所求外接圓的面積為.線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.15．【解析】

由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|，再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化，最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=，所以|AB||AC|sin∠BAC=，①又,即|AB||AC|cos∠BAC=，②由①與②的平方和得:|AB||AC|=，又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最大值是為.故答案為：本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量，進(jìn)而由重要不等式求最值，屬于中檔題.16．60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得C組中的人數(shù)；由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù)，即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人，則組中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴該部門(mén)員工總共有人.故答案為：60.本題考查了分層抽樣的定義與簡(jiǎn)單應(yīng)用，古典概型概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）由已知短軸長(zhǎng)求出，離心率求出關(guān)系，結(jié)合，即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用相交弦長(zhǎng)公式求出，斜率為，求出，得到關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)用“”判別式法求出范圍，當(dāng)有一斜率不存在時(shí)，另一條斜率為，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由得，又由得，則，故橢圓的方程為.（2）由（1）知，①當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，由對(duì)稱性不妨設(shè)直線的方程為，由，，設(shè)，則，則，由橢圓對(duì)稱性可設(shè)直線的斜率為，則，.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，所以，即，且.②當(dāng)直線的斜率其中一條不存在時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)設(shè)直線的方程為，斜率不存在，則，，此時(shí).若設(shè)的方程為，斜率不存在，則，綜上可知的取值范圍是.本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，注意根與系數(shù)關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、函數(shù)最值、橢圓性質(zhì)的合理應(yīng)用，意在考查邏輯推理、計(jì)算求解能力，屬于難題.18．（1）,．（2）【解析】

（1）由余弦定理的,然后根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)求出,從而求出;（2）求得的表達(dá)式,通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最大值.【詳解】解：（1）連．由條件得．在三角形中,,,,由余弦定理,得,因?yàn)榕c半圓相切于,所以,所以,所以．所以四邊形的周長(zhǎng)為,．（2）設(shè)四邊形的面積為,則,．所以,．令,得列表：+0-增最大值減答：要使改建成的展示區(qū)的面積最大,的值為．本題考查余弦定理、直線與圓的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系,考查考生的邏輯思維能力,運(yùn)算求解能力,以及函數(shù)與方程的思想.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線定理得，由此能證明平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)．又是的中點(diǎn)，連接，則．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）由，可得：，即所以又因?yàn)橹崩庵?，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個(gè)法向量為，同理可得平面的一個(gè)法向量為，則所以二面角的余弦值為.本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．20．（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)遞推公式，用配湊法構(gòu)造等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1），，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以，．（2）.本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的問(wèn)題，屬于中檔題.21．(Ⅰ)曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；(Ⅱ)．【解析】試題分析：（1）由題易知，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），；曲線的直角坐標(biāo)方程為，橢圓；（2）將直線代入橢圓得到，所以，解得．試題解析：(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為.曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，所以曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓