5.4.2　第3課時　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質的綜合問題

第3課時正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質的綜合問題第五章

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質1.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質，能夠了解函數(shù)的整體

性質.2.能夠解決簡單的函數(shù)性質的綜合問題.學習目標同學們，經(jīng)過前面幾節(jié)課的學習，我們對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有了比較深刻的認識，在探究的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，“整體代換”的數(shù)學思想能有效幫助我們解決問題，整體代換思想是我們高中數(shù)學解題中的一個重要思想，它貫穿于整個高中數(shù)學學習中，特別是在解決三角函數(shù)問題時，熟練掌握整體代換思想，有利于我們化簡、求值、運算等，尤其是在解決單調性、對稱性等問題中，整體代換思想發(fā)揮著重大作用，今天，我們繼續(xù)體會整體代換的數(shù)學思想.導語隨堂演練課時對點練一、形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函數(shù)的最值(值域)問題二、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性三、函數(shù)性質的綜合應用內(nèi)容索引一、形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函數(shù)的最值(值域)問題問題1

求二次函數(shù)的最值，需要明確哪些方面？提示開口方向，對稱軸，函數(shù)的定義域.問題2同角三角函數(shù)的平方關系是什么？提示sin2α＋cos2α＝1.例1函數(shù)y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域為________.[－4,0]解析因為y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.又－1≤sinx≤1，所以－4≤y≤0，所以函數(shù)y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域為[－4,0].延伸探究解由例題解答可知y＝－(sinx－1)2，2.本例函數(shù)變?yōu)閥＝sin2x＋2cosx－2，x∈R，求函數(shù)的值域.解因為y＝sin2x＋2cosx－2＝1－cos2x＋2cosx－2＝－cos2x＋2cosx－1＝－(cosx－1)2，又－1≤cosx≤1，所以函數(shù)的值域為[－4,0].反思感悟

求y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函數(shù)最值(值域)的方法形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝sinx，轉化為二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c求最值.t的范圍需要根據(jù)定義域來確定.若f(x)＝asin2x＋bcosx＋c，還需利用同角三角函數(shù)的基本關系，轉化成同名三角函數(shù)求值.1令cosx＝t，則t∈[0,1]，二、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性問題3

正弦函數(shù)y＝sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心，除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標是多少？提示有，(kπ，0)(k∈Z).問題4

正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸方程是什么？問題5

類比正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心，你能寫出余弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心嗎？反思感悟正弦曲線、余弦曲線的對稱軸一定分別過正弦曲線、余弦曲線的最高點或最低點，即此時的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲線、余弦曲線的對稱中心一定是正弦曲線、余弦曲線與x軸的交點，即此時的正弦值、余弦值為0.考查了整體代換的數(shù)學思想.三、函數(shù)性質的綜合應用√解析逐一驗證，由函數(shù)f(x)的周期為π，故排除B；反思感悟

研究三角函數(shù)的幾個方面整體研究三角函數(shù)的性質，我們要從函數(shù)的定義域、圖象、周期性、奇偶性、對稱性、單調性、最值、值域等幾個方面綜合考慮.√1.知識清單：(1)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函數(shù)的最值(值域)問題.(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心.(3)函數(shù)性質的綜合運用.2.方法歸納：整體代換、換元法.3.常見誤區(qū)：二次函數(shù)的最值問題.課堂小結隨堂演練√12341234√當x＝π時，y＝4cosπ＝－4，即函數(shù)的最小值a＝－4，則b－a＝2－(－4)＝6.√12341234且f(0)＝－1為最小值，故sinφ＝－1.12344.函數(shù)y＝cos2x＋sinx的最大值為_____.解析因為y＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx，令t＝sinx，t∈[－1,1]，課時對點練基礎鞏固123456789101112131415√1612345678910111213141516123456789101112131415√163.函數(shù)y＝sinπx的圖象的兩個相鄰對稱中心間的距離為

A.π B.2π C.1 D.212345678910111213141516√A.y＝sinx

B.y＝cosx

C.y＝sin2x D.y＝cos2x123456789101112131415√16解析周期為π，故排除A，B；又y＝cost在[π，2π]上單調遞增，所以選項D中y＝cos2x符合題意.√解析由函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關于直線x＝π對稱，12345678910111213141516√√12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516112345678910111213141516(1)求f(x)；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求f(x)的單調遞增區(qū)間.1234567891011121314151610.已知函數(shù)f(x)＝－sin2x＋sinx＋a.當f(x)＝0有實數(shù)解時，求a的取值范圍.解－1≤sinx≤1，令t＝sinx，則－1≤t≤1.f(x)＝0有實數(shù)解，即t2－t－a＝0在[－1,1]內(nèi)有實數(shù)解.a＝t2－t，t∈[－1,1]，當t＝－1時，h(t)max＝2，12345678910111213141516綜合運用12345678910111213141516√解析f(x)的最小正周期為2π，易知A正確；1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516A.f(1)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(2)<f(1)C.f(2)<f(0)<f(1) D.f(2)<f(1)<f(0)√12345678910111213141516解析因為f(x)的最小正周期為π，1234567891011121314151612345678910111213141516故可得f(0)<f(2)<f(1).123456789101112131415161f(x)＝3sin(ωx＋φ)的圖象的對稱軸過函數(shù)g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1的圖象的對稱中心，拓廣探究12345678910111213141516√12345678910111213141516∵ω>0，∴k∈N.∴ω的最小值為7.1234567891011121314