串講02 圓【十一大考點25題型串講】九年級數(shù)學上學期期末考點大串講（蘇科版）

串講02圓九年級蘇科版數(shù)學上冊期末復習大串講思維導圖知識串講常用技巧/結論思維導圖知識串講考點一圓的相關概念如圖，在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓.其中，固定的端點O叫做圓心.線段OA叫做半徑,一般用r表示.以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.圓的另一定義（靜態(tài)）：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形.知識串講考點一圓的相關概念經過圓心的弦（如圖中的AB）叫做直徑.連接圓上任意兩點的線段（如圖AC）叫做弦.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。訟、B為端點的弧記作AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.⌒圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成的兩條弧，每一條弧都叫做半圓.小于半圓的?。ㄈ鐖D中的AB）叫做劣弧⌒大于半圓的弧（用三個字母表示，如圖中的ACB）叫做優(yōu)弧.⌒知識串講考點一圓的相關概念圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓.能夠互相重合的兩個圓叫做等圓.O在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.知識串講考點一圓的相關概念圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心.圓的旋轉不變性：一個圓繞圓心旋轉任意角度，所得圖形和原圖形重合.知識串講考點一圓的相關概念一是圓心，圓心確定其位置；二是半徑，半徑確定其大?。咎釂枴看_定一個圓的要素是什么？1.弦和直徑都是線段.【提問】直徑和弦是什么關系呢？2.凡直徑都是弦，是圓中最長的弦，但弦不一定是直徑.【提問】弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧是什么關系呢？1.弧分為是優(yōu)弧、劣弧、半圓，2.半圓是弧，但弧不一定是半圓，3.半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧.知識串講考點一圓的相關概念[結論]1）等弧的長度一定相等.2）長度相等的弧不一定是等弧.3）等弧僅僅存在于同圓或者等圓中.【提問】長度相等的弧是等??？可見這兩條弧不可能完全重合,實際上這兩條弧彎曲程度不同如圖，如果AB和CD的拉直長度都是10cm，平移并調整小圓的位置，是否能使這兩條弧完全重合？DCAB︵︵題型匯總題型一理解圓的相關概念考點一圓的相關概念1（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）下列說法：（1）長度相等的弧是等??；（2）相等的圓周角所對的弧相等；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長的弦．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【詳解】解：（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯誤；（2）同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯誤；（4）直徑是圓中最長的弦，正確，綜上所述，四個說法中正確的只有1個，故選：A．題型匯總題型一理解圓的相關概念考點一圓的相關概念2（2020秋·廣東惠州·九年級惠州市惠陽區(qū)第一中學校考期中）下列判斷正確的個數(shù)有（

）①直徑是圓中最大的弦；②長度相等的兩條弧一定是等弧；③半徑相等的兩個圓是等圓；④弧分優(yōu)弧和劣??；⑤同一條弦所對的兩條弧一定是等弧．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【詳解】①直徑是圓中最大的弦；故①正確，②同圓或等圓中長度相等的兩條弧一定是等?。还盛诓徽_③半徑相等的兩個圓是等圓；故③正確④弧分優(yōu)弧、劣弧和半圓，故④不正確⑤同一條弦所對的兩條弧可位于弦的兩側，故不一定相等，則⑤不正確．綜上所述，正確的有①③故選B知識串講考點二點和圓的位置關系r·OAPP’P’’d＜r

d=r

d＞r點P在⊙O內點P’在⊙O上點P”在⊙O外符號“<=>

”讀作“等價于”，“A<=>B”表示由A條件可推出結論B,B結論可推出條件A.設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：題型匯總題型二判斷點和圓的位置關系考點二點和圓的位置關系

題型匯總題型三利用點和圓的位置關系求半徑考點二點和圓的位置關系

知識串講考點三垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理：符號語言：∵CD是直徑，CD⊥AB

知識串講考點三垂徑定理平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理推論：符號語言：∵CD是直徑，AE=BE

知識串講考點三垂徑定理垂徑定理的基本圖形：垂徑定理的解題思路：弦心距：圓心到弦的距離（即圓心到弦的垂線段的距離）．

垂徑定理的解題技巧：見弦常作弦心距，連接半徑，構造直角三角形用勾股定理求解題型匯總題型四直接利用垂徑定理求線段長考點三垂徑定理

題型匯總題型五運用單勾股列方程求線段長考點三垂徑定理

題型匯總題型六運用雙勾股列方程求線段長考點三垂徑定理

題型匯總題型七利用垂徑定理推論求解考點三垂徑定理1（2022秋·浙江寧波·九年級寧波市第十五中學?？计谥校┤鐖D，⊙O的半徑為5，C是弦AB的中點，OC＝3，則AB的長是（）A．6 B．8 C．10 D．12

題型匯總題型八利用垂徑定理解決實際問題考點三垂徑定理

知識串講考點四圓周角及推論一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．圓周角定理：圓周角定理推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等題型匯總題型九利用圓周角定理求解考點四圓周角及推論

題型匯總題型十利用圓周角定理推論求解考點四圓周角及推論

知識串講考點五圓內接四邊形圓內接多邊形的概念：如果多邊形的所有頂點均在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形.這個圓叫做多邊形的外接圓.圓內接多邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補.題型匯總題型十一利用圓內接四邊形的性質求解考點五圓內接四邊形

知識串講考點六直線和圓的位置關系1.（2022秋·江蘇南京·九年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A為圓心作一個半徑為2的圓，下列結論中正確的是（）A．點B在⊙A內 B．點C在⊙A上C．直線BC與⊙A相切 D．直線BC與⊙A相離題型匯總題型十二判定直線與圓的位置關系考點六直線和圓的位置關系

題型匯總題型十三已知直線與圓的位置關系進行計算考點六直線和圓的位置關系

知識串講考點七切線的性質與判定lAo切線的判定定理：∵OA⊥l于點A,OA是半徑∴直線l是⊙O的切線．符號語言：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【提問】要使直線l是⊙O的切線需要滿足哪些條件？①經過半徑的外端；②垂直于這條半徑．切線的性質定理：∵直線l是⊙O的切線，點A的切點∴OA⊥直線l符號語言：圓的切線垂直于過切點的半徑．知識串講考點七切線的性質與判定判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；3.判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd知識串講考點七切線的性質與判定【利用切線判定定理解題思路一】已知公共點，連半徑，證垂直.【利用切線判定定理解題思路二】未知公共點，作垂線，證半徑.有切線時常用輔助線添加方法：

見切線，連切點，得垂直.題型匯總題型十三利用切線的性質定理求解考點七切線的性質與判定1.（2022秋·河南安陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直線l交⊙O于A、B兩點，且弦AB＝8cm，要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移(

)A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【詳解】解：作OC⊥AB，又∵⊙O的半徑為5cm，直線l交⊙O于A、B兩點，且弦AB＝8cm∴BO＝5，BC＝4，∴由勾股定理得OC＝3cm，∴要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移2cm．故選：B．題型匯總題型十四證明某條直線是圓的切線考點七切線的性質與判定1.（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點，以BD為直徑的⊙O經過點A，且∠CAD=∠ABC．請判斷直線AC是否是⊙O的切線，并說明理由；【詳解】直線AC是⊙O的切線，理由如下：如圖，連接OA，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABC，又∵∠CAD=∠ABC，∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，∴AC⊥OA，又∵OA是半徑，∴直線AC是⊙O的切線；知識串講考點八切線長定理經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長,叫做這點到圓的切線長．切線長的定義：

切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.幾何語言:∵PA，PB切?O于點A，B∴PA=PB，∠APO=∠BPO題型匯總題型十五利用切線長定理求解考點八切線長定理

知識串講考點九三角形內切圓與外接圓三角形外接圓的概念：經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形。三角形內切圓的概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。知識串講考點九三角形內切圓與外接圓圓心的名稱圓心的確定方法圖形圓心的性質外心

內心三角形三邊中垂線的交點三角形三條角平分線的交點1)OA=OB=OC2)外心不一定在三角形的內部．1)到三邊的距離相等；2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3)內心一定在三角形內部．知識串講考點九三角形內切圓與外接圓

題型匯總題型十六求特殊三角形外接圓半徑考點九三角形內切圓與外接圓1.（2022秋·云南大理·九年級?？计谥校┤切蔚娜呴L為6，8，10，那么此三角形的外接圓的半徑長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5

題型匯總題型十七判斷三角形外接圓圓心的位置考點九三角形內切圓與外接圓

題型匯總題型十八直角三角形周長、面積與三角形內切圓半徑的關系考點九三角形內切圓與外接圓1.（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）三邊長分別為6、8、10的三角形的內切圓的半徑長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5

題型匯總題型十九

三角形內切圓與外接圓的綜合考點九三角形內切圓與外接圓

知識串講考點十圓內接正多邊形一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心.外接圓的半徑叫作正多邊形的半徑.內切圓的半徑叫作正多邊形的邊心距.正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.知識串講考點十圓內接正多邊形圓內接正多邊形常見輔助線作法：2）作邊心距，構造直角三角形.1）連半徑，得中心角；3）正多邊形半徑、邊心距和正多邊形邊長已知其中兩個量，第三個量可通過勾股定理求解.4）若P為正n邊形的周長，α為邊長，r為邊心距，正n邊形的周長P為_______,正n邊形的面積為_______,an

5）正n邊形的一個內角的度數(shù)是_