教師資證高中數(shù)學(xué)考試真題

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.若函數(shù)f（x）=八:°戈：：，在x=0處可導(dǎo)，則a,b的值為（）.

d*sin2xx>0

A.a=2,b=lB.a=l,J=2

C,a=-2，b=1D.a=2,b=—1

n?1「

2.已知f（x）=x'miX*，若f（x）的一階導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則”的取值范圍是（）.

0x=0

A.n>3B.n=2C.〃=1D.?=0

3.已知，%（L3.0）,平面％過如點且垂直與MM?,平面叼：6x+>，+18z-18=0

與平面藥之間的夾角為）（）.

71

D.

9

4.若向量a,b>c>兩足,+b+3=0,貝U石x6=（）.

A.bxaB.cxbC.bxcD.

5.設(shè)〃階方陣M的秩“&，）=/<%則它的〃個行向量中（).

A.任意一個行向量均可由其他r個行向量線性表示

B.任意r個行向量均可組成極大線性無關(guān)組

C.任意/個行向量均線性無關(guān)

D.必有「個行向蚩線性無關(guān)

樂趣干缺失無法解析__________________________________

7.下列對向量學(xué)習(xí)意義的描述：

①有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活和其他學(xué)科的聯(lián)系；

②有助于理解數(shù)學(xué)運算的意義和價值，發(fā)展運算能力；

③有助于掌握處理幾何問題的一種方法，體會數(shù)形結(jié)合思想；

④有助于理解數(shù)學(xué)不同內(nèi)容之間存在廣泛的聯(lián)系.

其中正確的共有（）.

A.1條B.2條C.3條D.4條

8.數(shù)學(xué)歸納法的推理方式屬于（）.

A.歸納推理B.演繹推理C.類比推理D.合情推理

二、簡答題(本大題共5小題，每題7分，共35分)

9.有線性變換7=.j-5.變換矩陣《=1,B=I

(1)求橢圓W?+片=1經(jīng)過線性變換后的方程.

49

(2)變換后,那些性質(zhì)不變，那些性質(zhì)變了(如：距離、斜率、相交)？

10.已知函數(shù)/Xx)=lnx,g(x)=—(x-1).

4

(1)求f(X)和g(x)圍成的平面區(qū)域的面積.

|(2)求0”4/(x),l<x<3,繞［’軸旋轉(zhuǎn)的體積.

H.一個袋子里有8個黑球，8個白球，隨機不放回連續(xù)取球5次，每次取出1個球，求最多取到

3個白球的概率.

卜2.給出數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，請舉出數(shù)學(xué)課堂中兩個能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)文化的例子.|

13.簡述數(shù)學(xué)建模的主要過程.

三、解答題(本大題1小10分)

14.已知函數(shù)，x)在閉區(qū)間［?可上連續(xù)，且/(a)JQ)<0,請用二分法證明/(x)在(ab)內(nèi)至

少有一個零點.

四'樹S(本冊Id濡，15分)

15.有人認(rèn)為目前的教學(xué)缺乏對中學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，請談一談你的看法，并說一說在老師在教

學(xué)中應(yīng)該如何做.

五、案例分析題（本大題1小題，20分）

16.在學(xué)習(xí)了“直線與圓的位置關(guān)系'’后，一位教師讓學(xué)生解決如下問題：

求過點P（2,3）且與圓。：（x-1尸+乂=1相切的直線I的方程.

一位學(xué)生給出的解法如下：

由圓。的方程（x-1尸+V=1,可得圓心。的坐標(biāo)為（L0）,圓的半徑r=1.

設(shè)直線/的斜率為心則直線/：）-3=Wx-2）,即fcc-y-2k+3=0.

卜2k+3]

因為直線/與圓。相切，所以圓心。到直線/到距離為d=1,解得：

**1

所以直線/的方程為4X-3J+1=0.

（D指出上述解法的錯誤之處，分析錯誤原因，并給出兩種正確解法34分）.

（2）針對該題的教學(xué)，談?wù)勅绾卧O(shè)置問題，幫助學(xué)生避免出現(xiàn)上述錯誤（6分）.

六、（秋題U30分）

17.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)2017版，對“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”提出的學(xué)習(xí)要求為：

①通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道導(dǎo)

數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想.

②體會極限思想.

③通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

針對導(dǎo)數(shù)的概念及其意義以達(dá)到①，完成教學(xué)設(shè)計.

（1）設(shè)計教學(xué)重點（6分）.

<2）教學(xué)過程（導(dǎo)入、概念形成與鞏固），并寫出設(shè)計意圖（24分）.

答案：

1.答案：A.

2.答案：A.

3.答案：B.

4.答案：C.

5.答案：D.

6.答案：C.

7.答案：D.

8.答案：B.

9.答案：⑴(必一3f+(%-5)，=1

M=2（必一3）

解析：3)

巧=3（打-5）

產(chǎn)+5

4（”—行+外”―5f

=1,即（M—3）2+（〃—5）=

(2)在該

種變換下，不變的性質(zhì)：都是中心對稱圖形和軸對稱圖形，都是在某條件

下點的軌跡所形成的對稱圖形;變化的性質(zhì)：圖形的形態(tài)發(fā)生了變化，不再

以原點為中心點，不再與坐標(biāo)軸相交，圖形距離中心點的距離都相等。

10.答案：(1)3in5-4)(2)(9In3-4)^.

解析：(Dfinx-^^(x-1)t&=31n5-4；

"4

(2)F=^-32-lnj辦=(91n3-4)兀.

解析：最多取到3個白球的概率：尸=1一三里f=1一2=黑

7878

12.參考答案：

(1)微積分是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要基礎(chǔ)課程，貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.故

在學(xué)習(xí)微積分時可以收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和有關(guān)人物的資料，

并進(jìn)行交流;體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值.

(2)“楊輝三角”在中國數(shù)學(xué)文化史中有著特殊的地位，它蘊含了豐富的

內(nèi)容，還科學(xué)地揭示了二項展開式的二項式系數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，由它還可以

直觀看出二項式定理的性質(zhì).故可以在二項式定理中介紹我國古代數(shù)學(xué)成就

“楊輝三角*有意識地強調(diào)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、文化價值、美學(xué)價值，從而

提高文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識.

13.參考答案：

數(shù)學(xué)建模是9學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空

間，有助于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用，體驗數(shù)學(xué)與日

常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程,

增強應(yīng)用意識;有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實

踐能力.數(shù)學(xué)建模過程大致分為以下幾個過程：

模型準(zhǔn)備：在模型準(zhǔn)備的過程中，我們要了解問題的實際背景，明確

其實際意義，掌握研究對象的信息，并能夠運用數(shù)學(xué)語言描述研究對象.

模型假設(shè)：依據(jù)研究對象的信息和建模的目的，對研究問題通過間接

明了的語言進(jìn)行問題假設(shè).

建立模型：根據(jù)假設(shè)，對于研究問題通過數(shù)學(xué)語言、公式依靠數(shù)學(xué)工

具建立各部分之間的聯(lián)系，能夠建立起數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu).

解決模型：獲取研究對象數(shù)據(jù)資料，對資料進(jìn)行分析，對模型的所有

參數(shù)做出計算.

分析模型：對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析.

檢驗?zāi)Ｐ停簩⒛Ｐ头治鼋Y(jié)果與實際情形進(jìn)行比較，以此來驗證模型的

準(zhǔn)確性、合理性和適用性.如果模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其

實際含義，并進(jìn)行解釋.如果模型與實際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次

重復(fù)建模過程.

三、解答題（本大題1小題，10分）

14.答案：

證明：記［勺聞山㈤,令6=&獸，如果〃q）=。，結(jié)論已經(jīng)成立；若

）（q）H0,那么與/（q）/（4）中有一個小于零，不妨設(shè)

記［。2也］=［，勺］,再令。2=生；」，如果/（。2）=0,結(jié)論

已經(jīng)成立；故同樣可設(shè)/（。2）=0,那么/（X）在［%Cz］與上也］這兩個區(qū)間中的

某一個區(qū)間上端點值異號，并記這個區(qū)間為［丹淮3］；將這個過程無限重復(fù)下去，就

得到一列閉區(qū)間｛［%?/｝,滿足

（1）［44］＞［。＞卜葭J〃=L2

b-Q

!t!t＞QD）

（3）/（4）/電）＜0,〃=L2…；

由（1）和（2）可知｛［（.%］｝是一個區(qū)間套，由區(qū)間套定理，存在

46回4］,〃=123…，且有也為=吧.因為在點4處連續(xù)，所

以由⑶得/3）=也/㈤）/（3wo,則必有/⑷=0.顯然，心（。㈤，

它就是/（x）的一個零點.

四、論述題（本大題1小題，15分）

15.參考答案：

數(shù)學(xué)思維就是以數(shù)、形與推理過程為研究對象，以數(shù)學(xué)語言與符號為

思維載體，并以認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維.

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一般采用題海戰(zhàn)術(shù)，只重視結(jié)果，不重視

過程，造成學(xué)生的思維模式比較固定，雖然對某一類型的題目可以快速解

答，但是在遇到新題型的時候，學(xué)生就會缺乏數(shù)學(xué)思維.

數(shù)學(xué)思維作為一種思維品質(zhì)，教師可以從以下幾個方面來培養(yǎng)學(xué)生的

數(shù)學(xué)思維：

一方面，教師要精心設(shè)置需要學(xué)生做出邏輯判斷的問題情境，設(shè)計能

夠引發(fā)學(xué)生獨立思考的教學(xué)過程，創(chuàng)造能引起思維沖突的交流機會，讓學(xué)

生充分運用數(shù)學(xué)化思維去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，真

正將學(xué)生的思維活動有機融入學(xué)習(xí)過程中.

另一方面，教師要精心設(shè)計可以喚醒學(xué)生好奇心的“開放性的問題”，

要充分鼓勵學(xué)生的思維直覺，鼓勵學(xué)生大膽想象與猜想，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原

為學(xué)生自己經(jīng)歷抽象和歸納的思維過程.

與此同時，堅持啟發(fā)式教學(xué)，調(diào)動學(xué)生思維.啟發(fā)式教學(xué)注重展現(xiàn)知識

發(fā)生過程，創(chuàng)造情境，啟發(fā)學(xué)生比較、分析、綜合、抽象、概括以及判斷、

推理等，思考問題，發(fā)現(xiàn)問題，得出結(jié)論，可以培養(yǎng)思維的廣闊性和深刻

性.

總而言之，不僅要讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維去思考，還要讓學(xué)生敢于別

出心裁地思考，只有這樣，才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

五、案例分析題(本大題1小題，20分)

16.參考答案：

(1)①錯誤之處：學(xué)生忽略了直線方程的點斜式存在局限性，只能表示

斜率存在的直線方程.因此在計算過程中沒有討論斜率不存在的情況，導(dǎo)致

結(jié)果缺少一種情況

②原因：對于直線方程的表達(dá)形式的細(xì)節(jié)認(rèn)識不深刻忽略了直線方程

的點斜式存在局限性，只能表示斜率存在的直線方程.而學(xué)生根據(jù)直線和圓

相切是圓心到直線的距離等于半徑，設(shè)直線的點斜式方程，進(jìn)行求解，未

討論直線斜率不存在的情況，所以出現(xiàn)錯誤.

③解法1：根據(jù)圓的方程(X-1『+丁=1得圓心0(1。，半就?=1.由于直線

過點尸(2,3)目與圓(X—1)2+丁=1相切，所以當(dāng)直線斜率不存在時，得x=2,滿

是題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為J」3=Mx-2),即

kx-y-2k+3=Q.因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離。==i,

4

解得上=§.所以直線方程為4x-3J，+1=0.綜上所述,直線方程為4x-3v+l=0

或x=2.

解法2：根據(jù)圓的方程（》-1）2+丁=1得圓心。（1,0）,半徑廠=1.由于直線過

點尸（2,3）目與圓（x-l）2+』=1相切，所以當(dāng)斜率不存在時，得x=2,滿足題意;

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為｝」3=為（工一2）,即去一），-2左+3=0.將直線

和圓的方程聯(lián)立：（A-1）+>=1,消去y得到

v-3=A?（x-2）

（1+二）/+（-4左?+6左_2）乂+4左2_12左+9=0,由于直線和圓相切，所以令

A=0,得到（Y儲+6左一2『-4（1+/）（4二-12左+9）=0,解得上=（所以

直線方程為4x—3y+l=0；綜上所述，直線方程為4x—3y+l=0或x=2.

（2）設(shè)置問題的時候，組要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)隨時調(diào)整引導(dǎo)問題的難

度做到問題設(shè)置難度適中循序漸進(jìn)并具有啟發(fā)性.

因此在針對該題目的教學(xué)時，首先會設(shè)置如下幾個問題幫助學(xué)生梳理

解題思路

問題1：從幾何或代數(shù)的角度思考直線和圓相切，具有什么特點呢？

預(yù)設(shè)：從幾何的角度出發(fā)，是圓心到直線的距離等于圓的半徑，且交

點只有1個.

從代數(shù)的角度出發(fā)，是圓的方程與直線方程聯(lián)立后的方程有兩個相等

的實根距離等于圓的半徑.

問題2：那么根據(jù)大家剛剛的思考結(jié)果，大家根據(jù)題干作圖，觀察一

下符合條件的直線有幾條？分別又具有什么特征呢？

預(yù)設(shè)：2條，一條斜率存在，一條斜率不存在

問題3：通過這個結(jié)果你得到什么啟示，在完成這個題目的解析的時

候需要注意什么呢？

預(yù)設(shè)：需要先討論斜率不存在的時候是否符合題意，再設(shè)出直線的點

斜式進(jìn)行求解.

六、教學(xué)設(shè)計題（本大題1小題，30分）

17.參考答案

（1）教學(xué)重點：理解導(dǎo)數(shù)概念的建立及其幾何意義

教學(xué)重點之所以這樣設(shè)計是為了針對本節(jié)知識中最重要最核心的問題，

結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，對于導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)最重要的就是理解導(dǎo)數(shù)的概

念和它的幾何意義的學(xué)習(xí)，因此設(shè)計了如上的教學(xué)重點.

（2）導(dǎo)入：通過復(fù)習(xí)瞬時速度、切線的斜率的求法引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角

度思考函數(shù)的增量與自變量增量之間比的極限，從而引出導(dǎo)數(shù)的本節(jié)標(biāo)題.

（設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)導(dǎo)入可以準(zhǔn)確地將新舊知識建立聯(lián)系，并且抽象

與具體相結(jié)合的好處在于加深對導(dǎo)數(shù)概念的理解，在已有的知識水平上有

一個新知識的學(xué)習(xí)可以激發(fā)學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)興趣)

新授：通過總結(jié)導(dǎo)入中的例子給出新的概念，即設(shè)函數(shù)F=/(x)在附近有

定義，當(dāng)自變量在x=x0處有增量Ax時，則函數(shù)J=〃x)相應(yīng)地有熠量

AJ'=/(A-0+AA)-/(X0),如果6To時，母與6的比去也叫函數(shù)的平均變化率，

有極限即孚無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)》=力X)在XT兒處

的導(dǎo)數(shù)，記作承I，即門五)=Hm'+二.

J八―'U7A?->0.

給出定義之后，引導(dǎo)學(xué)生思考求導(dǎo)數(shù)的時候是否有哪些需要注意的問題，組織

學(xué)生小組討論