第4章-曲線與曲面立體的投影

01第4章

曲線與曲面立體的投影4.1曲線頂面和底面為正多邊形的直棱柱，稱為正棱柱。1.棱柱1.圓柱螺旋線

以拇指表示動點沿母線移動的方向，其它四指表示母線的旋轉(zhuǎn)方向，若符合右手情況時，稱為右螺旋線；若符合左手情況時，稱為左螺旋線。右旋左旋4.1曲線

2.螺旋面

螺旋面分平、斜兩種。

平螺旋面的母線垂直于軸線，因此母線運動時始終平行于軸線所垂直的平面。（a）平螺旋面的形成（b）投影圖（c）空心螺旋面投影圖

4.1曲線4’3’2’1’7’8’6’9’5’10’11’12’13’空心螺旋面的投影畫法4.1曲線圓柱圓錐12圓球3圓環(huán)44.2曲面立體及其表面上的點圓柱圓柱面的形成

圓柱面是由直母線繞與母線平行的軸線旋轉(zhuǎn)一周而成。當頂圓、底圓平面與軸線垂直時，稱為正圓柱面。

由圓柱面和上、下底面圍成的立體，就是圓柱體，簡稱圓柱。頂圓母線軸線素線底圓4.2曲面立體及其表面上的點A1AOO1例1：繪制圓柱的三視圖。4.2曲面立體及其表面上的點A1AOO1利用投影的積聚性例2：已知圓柱表面的點的投影1’、2’、3’、4，求其它兩面投影。

3

3

1′

1

4″

(2

)

2″

2

3

4

4

1″4.2曲面立體及其表面上的點二、圓錐圓錐面的形成

圓錐面是由直母線繞與它相交于一點的軸線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面。當圓周所在平面與軸線垂直時，稱為正圓錐。

由圓錐面和底面組成的回轉(zhuǎn)體就是圓錐體簡稱圓錐。底圓母線軸線素線4.2曲面立體及其表面上的點圓錐體

2.圓錐的投影H面投影是一個圓周。

V面、W投影是等腰三角形。YHYWXZO4.2曲面立體及其表面上的點O1OSA例3：繪制圓錐的三視圖。

s

s

sacbda

c

b

(d

)d

b

a

(

c

)4.2曲面立體及其表面上的點O1OSA例4：已知棱錐表面上點的投影1

、2

、3，

求其它兩面投影。

s

s

(2

)

sacbda

c

b

(d

)d

b

a

(

c

)

1

1

1

2

2

(3)

3

3

4.2曲面立體及其表面上的點

輔助素線法

輔助圓法如何在圓錐面上作直線？過錐頂作一條素線?！馭M例5：已知圓錐表面上點的投影1

、2

，

求其它兩面投影。

s

●

s

●

1

(2

)s●2

1(2

)●

1

m

m4.2曲面立體及其表面上的點4.2曲面立體及其表面上的點三個視圖分別為三個和圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三個方向輪廓線的投影。3.圓球（1）形成：圓母線以直徑為軸旋轉(zhuǎn)（2）圓球的三視圖O1O∥V面最大輪廓圓A∥W面最大輪廓圓C∥H面最大輪廓圓B圓球的三視圖畫圖步驟：★特殊位置點a′b′c′(a)(c)bb?a?c?2.屬于圓球表面的點4.2曲面立體及其表面上的點圓的半徑？輔助圓法

1

1

1

(2)

k

k

(2)

m

(m)

(2)

1★一般位置點4.2曲面立體及其表面上的點4.圓環(huán)

圓環(huán)的投影4.2曲面立體及其表面上的點圓環(huán)表面的點已知圓環(huán)面上的點A、B的一個投影，求它們的另一個投影。4.2曲面立體及其表面上的點平面與圓柱截交平面與圓錐截交12平面與圓球截交34.3

平面與曲面立體截交1.平面與圓柱截交

根據(jù)截平面與圓柱軸線不同的相對位置，圓柱上的截交線有圓、橢圓、矩形三種形狀。4.3

平面與曲面立體截交平面與圓柱的截交

根據(jù)截平面與圓柱軸線不同的相對位置，圓柱上的截交線有圓、橢圓、矩形三種形狀。4.3

平面與曲面立體截交[例1]求作圓柱截斷體的投影圖。a’(b’)a

ba”b”最高點、最右點c’cc”e’（f’）最低點、最左點、圓柱輪廓線上點最前點、最后點、圓柱輪廓線上點g’（h’）一般點ghg”h”e”f”ef4.3

平面與曲面立體截交根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。2.平面與圓錐截交4.3

平面與曲面立體截交截交線的空間形狀？截交線的投影特性？★找特殊點如何找橢圓另一根軸的端點（即最前、最后點）★補充中間點★光滑連接各點三、完善輪廓例1:圓錐被正垂面截斷，完成三視圖。一、分析二、求截交線4.3

平面與曲面立體截交1'2'3‘(4’)5'(6')1"2"3"4"127‘(8')9‘(10')7"8"??5"6"??9"10"??78??910??43??56??

三視圖和立體圖。4.3

平面與曲面立體截交1'2'3‘(4’)5'(6')7‘(8')9‘(10')7"8"??5"6"??9"10"??78??910??43??56??212"1"例3:圓錐被正平面截切，補全主視圖。4.3

平面與曲面立體截交d′●c′●e●c●a●d●b●EDCABb′●a′●截交線的空間形狀？截交線的投影特性？e′●例4:圓錐被正平面截切，補全主視圖。4.3

平面與曲面立體截交d′●c′●e●c●a●d●b●EDCABb′●a′●截交線的空間形狀？截交線的投影特性？e′●

用任何位置的截平面截割圓球，截交線的形狀都是圓。當截平面平行于某一投影面時，截交線在該投影面上的投影為圓的實形，其它兩面投影積聚為直線。3.平面與圓球截交4.3

平面與曲面立體截交水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。兩個側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。例5：求半球體被截后的俯視圖和左視圖。4.3

平面與曲面立體截交三視圖和立體圖。4.3

平面與曲面立體截交直線與曲面立體相貫曲面立體與平面立體相貫12兩曲面立體相貫34.4曲面立體相貫

直線和圓柱體相交，當圓柱投影有積聚性的特殊情況下，交點可利用投影關(guān)系來確定。例1求直線AB和直立圓柱的貫穿點。1.直線與曲面立體相貫a’b’abkk’f’f4.4曲面立體相貫QHa’b’a(b)例2求鉛垂線和正圓錐的貫穿點。k’k4.4曲面立體相貫二、曲面立體與平面立體相貫

平面立體與回轉(zhuǎn)體表面相交，其相貫線一般是由若干段平面曲線（有時為直線）組合而成的空間封閉折線。每段平面曲線是平面立體的一個棱面與曲面立體的截交線，因此，求平面立體和回轉(zhuǎn)體的相貫線，可以歸結(jié)為求截交線問題。例：三棱柱與圓球相交，求作相貫線4.4曲面立體相貫三、兩曲面立體相貫

兩回轉(zhuǎn)體表面相交時所產(chǎn)生的交線稱為相貫線。

相貫線的性質(zhì)：

1.一般情況下，相貫線為封閉的空間曲線，特殊情況下也可成為平面曲線或直線。

2.相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點是兩立體表面的共有點。

求共有點的方法一般有：表面取點法，輔助平面法和輔助球面法。相貫線相貫線4.4曲面立體相貫曲面立體相貫的三種基本形式兩外表面相交外表面與內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交4.4曲面立體相貫4.4曲面立體相貫1’3”1322’1”（2”）3’（4’）44”5”7”（6”）（8”）56785’6’（7’）（8’）表面取點法原理當相貫體中有一個是軸線垂直于投影面圓柱體時，先利用圓柱表面的積聚性，得到相貫線的至少一個投影；再通過回轉(zhuǎn)體表面取點，作出相貫線的未知投影。1.表面取點法例3：求兩偏交圓柱的相貫線4.4曲面立體相貫2.輔助平面法

常用的輔助平面是投影面的平行面和垂直面，要使輔助平面與兩立體表面的交線的投影為直線或圓。4.4曲面立體相貫輔助平面的選擇

相貫體

可選截平面

截交線

圓柱

平行于軸線

兩條直線

垂直于軸線

圓

圓錐

過錐頂

兩條直線

垂直于軸線

圓

圓球

平行于投影面

圓

圓環(huán)

垂直于軸線

圓

過回轉(zhuǎn)軸且平行于投影面

兩素線圓

回轉(zhuǎn)面

垂直于軸線

圓4.4曲面立體相貫4.4曲面立體相貫例4：求圓柱與圓錐的相貫線yyPW1PV14"yy4'PV2PW23"PV3PW35"11'1"2'2"2453'35'解題步驟1分析相貫線的側(cè)面投影已知，可利用輔助平面法求共有點；2求出相貫線上的特殊點Ⅰ

、Ⅱ

、Ⅲ；3求出若干個一般點Ⅳ

、Ⅴ；4光滑且順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；5整理輪廓線。4.4曲面立體相貫例5：求圓球與圓錐的相貫線PW3PV3PV1yy5"5'3'4'3543"1"12'1'2"2yy4"解題步驟1．分析相貫線的三個投影均未知，可利用輔助平面法求共有點；2．求出相貫線上特殊點Ⅰ

、Ⅱ

、Ⅲ；4．光滑且順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；5．整理輪廓素線。3．求出若干個一般點Ⅳ

、Ⅴ；PW2

PV23．相貫線的特殊情況

兩軸線平行的柱面相交，相貫線是與軸線平行的兩條直線兩共錐頂?shù)腻F面相交，相貫線是過錐頂?shù)囊粚ο嘟恢本€4.4曲面立體相貫兩共軸回轉(zhuǎn)體相交相貫線是垂直于軸線的圓4.4曲面立體相貫兩圓柱軸線垂直相交，且直徑相等，相貫線為兩個相等橢圓兩圓柱軸線斜交,且直徑相等,相貫線為兩個不等橢圓

具有公共內(nèi)切球的兩回轉(zhuǎn)面相交,相貫線為兩相交橢圓