分段函數(shù)在生活中的應(yīng)用

《分段函數(shù)在生活中的應(yīng)用》研究性學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)作者姓名陳艷貞任職單位山東省梁山現(xiàn)代高中學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高中一年級(jí)單元標(biāo)題函數(shù)的概念與性質(zhì)研究性學(xué)習(xí)名稱分段函數(shù)在生活中的應(yīng)用小組成員全班7個(gè)小組所有成員所需時(shí)間2課時(shí)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（或概述）通過(guò)對(duì)分段函數(shù)在生活中的應(yīng)用的調(diào)查、研究、交流及總結(jié)過(guò)程：1.進(jìn)一步理解分段函數(shù)的內(nèi)涵，理論結(jié)合實(shí)際。2.通過(guò)體會(huì)分段函數(shù)在生活及社會(huì)各領(lǐng)域應(yīng)用的廣泛性，感悟數(shù)學(xué)的博大精深與應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識(shí)3.在共同學(xué)習(xí)、探究中，不斷提高合作交流能力、數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)據(jù)信息處理運(yùn)用能力及觀察分析、歸納總結(jié)、抽象概括的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力，并培養(yǎng)求真務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神4.進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)建模的思想方法，培養(yǎng)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步體驗(yàn)并能初步運(yùn)用數(shù)學(xué)的重要思想方法——數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想。

【情境】

實(shí)際上，學(xué)生從小學(xué)到高中對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)走過(guò)了三個(gè)階段：“無(wú)意中的直觀經(jīng)歷”、“有意中的感性認(rèn)識(shí)”、“思辨中的理性認(rèn)識(shí)”。無(wú)意中，學(xué)生開始體會(huì)著直觀的“函數(shù)”：買一個(gè)本子花五毛錢，買兩個(gè)本子花1元錢，買三個(gè)本子花……本子數(shù)和錢數(shù)的“依賴關(guān)系”埋下了函數(shù)的美麗種子；有意中，通過(guò)變化過(guò)程中的兩個(gè)變量的關(guān)系初步地學(xué)習(xí)了感性的“函數(shù)”：勻速行進(jìn)的汽車行駛的路程與時(shí)間的“動(dòng)態(tài)關(guān)系”打開了函數(shù)的智慧大門；思辨中，通過(guò)探究?jī)蓚€(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系深刻地學(xué)習(xí)了理性的“函數(shù)”：兩個(gè)集合中的數(shù)的“映射關(guān)系”開辟了函數(shù)的廣闊天空。也就是說(shuō)，學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象的函數(shù)概念之前已經(jīng)在無(wú)意中或多或少地接觸到函數(shù)的實(shí)際背景，甚至已經(jīng)在無(wú)意中用函數(shù)來(lái)解決過(guò)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題——這充分說(shuō)明了函數(shù)與生活的息息相關(guān)性是自然的。隨著社會(huì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用變得更加廣泛和深入，已經(jīng)滲透到生活的各個(gè)領(lǐng)域……函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心和主線，它的內(nèi)涵恰好能體現(xiàn)不斷變換和變化的事物的本質(zhì)及事物間的內(nèi)在聯(lián)系。而分段函數(shù)經(jīng)常作為主角出現(xiàn)在函數(shù)的應(yīng)用中——如通訊話費(fèi)、計(jì)程車計(jì)費(fèi)、銀行利率、郵資、個(gè)人所得稅等問(wèn)題……很有必要在這些方面開展研究性學(xué)習(xí)。這樣既能體悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，又能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識(shí)。由上面的分析和論述，本次研究性學(xué)習(xí)選擇的情境應(yīng)該是自然的、有實(shí)際意義的，為了體現(xiàn)研究的開放性和互促性，不能只在一個(gè)單位進(jìn)行，也不能太分散，缺乏比較性，可分別到桓臺(tái)縣工商銀行、桓臺(tái)縣稅務(wù)局和桓臺(tái)縣電信局進(jìn)行實(shí)地研究……【任務(wù)與預(yù)期成果】

通過(guò)課上學(xué)習(xí)交流和課外調(diào)查研究、網(wǎng)絡(luò)資源參考利用和生活實(shí)際親歷探究的方式完成下列任務(wù)：（1）進(jìn)入相關(guān)行業(yè)進(jìn)行實(shí)地調(diào)研，盡可能多地列出分段函數(shù)在這些領(lǐng)域中的應(yīng)用情況（2）利用網(wǎng)上資源或到圖書館查閱相關(guān)資料分類總結(jié)分段函數(shù)在生活中的應(yīng)用情況（3）把實(shí)地調(diào)研的情況與在網(wǎng)上、圖書館中研究的情況進(jìn)行交流和整合（4）在小組和班里開展針對(duì)性互動(dòng)交流，對(duì)所形成的認(rèn)識(shí)和成果進(jìn)行調(diào)整和完善。（5）不但要形成相應(yīng)的成果，而且還要在所研究的領(lǐng)域中編制出符合實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題（6）通過(guò)解答編制的問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)分段函數(shù)的本質(zhì)和應(yīng)用價(jià)值，寫出反思總結(jié)

預(yù)期成果：（1）分段函數(shù)應(yīng)用情況研究報(bào)告（2）分段函數(shù)應(yīng)用案例匯總（3）以分段函數(shù)為例總結(jié)函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值（論文或總結(jié)）（4）相關(guān)的反思總結(jié)（5）編制出符合實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題【過(guò)程】（過(guò)程要體現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的主要環(huán)節(jié)）活動(dòng)1：按照平時(shí)上課所分小組為研究小組進(jìn)行研究（上課采用“合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法”，每組6—7名同學(xué)，根據(jù)學(xué)生各方面成績(jī)和能力有層次分組，怎樣分組曾做過(guò)問(wèn)卷調(diào)查）?；顒?dòng)2：各小組策劃研究目標(biāo)和方案（小組之間互相溝通一下，避免一個(gè)領(lǐng)域有多個(gè)組研究，而另外的領(lǐng)域卻沒(méi)人研究，最多有兩個(gè)小組在同一行業(yè)里進(jìn)行研究）。活動(dòng)3：各小組進(jìn)入相關(guān)行業(yè)中進(jìn)行實(shí)地調(diào)研，了解分段函數(shù)的應(yīng)用情況，并做好記錄，經(jīng)過(guò)匯總、整理、總結(jié)、提煉，最后形成關(guān)于分段函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題?；顒?dòng)4：到圖書館或利用網(wǎng)絡(luò)收集相關(guān)信息、查閱相關(guān)應(yīng)用問(wèn)題，結(jié)合實(shí)際調(diào)查的情況，從實(shí)際與理論兩個(gè)方面對(duì)分段函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行全面分析和研究，并用發(fā)展的思想方法研究一下分段函數(shù)在此領(lǐng)域里的過(guò)去的應(yīng)用情況，與現(xiàn)在進(jìn)行對(duì)比，有了哪些變化和發(fā)展，需要不需要改進(jìn)和完善，未來(lái)哪些方面還需要數(shù)學(xué)應(yīng)用的支持。并初步寫出總結(jié)報(bào)告或形成論文?；顒?dòng)5：各組分享自己研究的初步成果（各小組把自己的研究思路、過(guò)程、結(jié)論、成果以及有價(jià)值的資源與其它小組共向），進(jìn)行全面交流，互相學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，互相促進(jìn)，共同進(jìn)步。并對(duì)自己的研究成果進(jìn)行修改、補(bǔ)充和完善（在這個(gè)過(guò)程中，對(duì)小組的研究成果和研究過(guò)程進(jìn)行評(píng)價(jià)）。活動(dòng)6：總結(jié)反思，并根據(jù)研究成果和經(jīng)驗(yàn)，編制相關(guān)的分段函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，也可對(duì)函數(shù)在相關(guān)領(lǐng)域的未來(lái)中的應(yīng)用進(jìn)行展望或論述（在這個(gè)過(guò)程中，可通過(guò)解決提煉或編制的應(yīng)用問(wèn)題，鍛煉分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，并進(jìn)一步體悟所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻內(nèi)涵和應(yīng)用價(jià)值。這個(gè)過(guò)程也可進(jìn)行評(píng)價(jià)）?！驹u(píng)價(jià)設(shè)計(jì)】設(shè)計(jì)相應(yīng)的研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)量表或評(píng)價(jià)量規(guī)，通過(guò)自我評(píng)價(jià)、小組互評(píng)、教師評(píng)價(jià)相結(jié)合進(jìn)行評(píng)價(jià)……本研究性學(xué)習(xí)所設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)量表或評(píng)價(jià)量規(guī)如下：評(píng)價(jià)指標(biāo)（權(quán)重）好【1，0.8】一般（0.8，0.6]需要改進(jìn)(0.6,0]學(xué)生評(píng)價(jià)教師評(píng)價(jià)（0.5）

總分自評(píng)（0.2）互評(píng)(0.3)目標(biāo)確定（15分）給出的目標(biāo)明確，與本次活動(dòng)所確定的四個(gè)方面的總體學(xué)習(xí)目標(biāo)內(nèi)涵相同。給出的目標(biāo)比較明確，缺少一個(gè)方面的目標(biāo)或一個(gè)方面的目標(biāo)設(shè)不明確、不恰當(dāng)。缺少兩個(gè)以上方面的目標(biāo)或?qū)Ψ矫婺繕?biāo)不明確、不恰當(dāng)。

方案策劃（15分）1.研究方案策劃科學(xué)合理，操作性強(qiáng)。2.人員分工恰當(dāng)明確。（分工的全面性與恰當(dāng)性）1.研究方案策劃比較合理，操作性較強(qiáng)。有一個(gè)環(huán)節(jié)不合理。2.分工比較恰當(dāng)明確，但分工的全面性或個(gè)別人員安排的恰當(dāng)性有不足之處。1.研究方案策劃不夠合理，操作性也不強(qiáng)。有兩個(gè)以上環(huán)節(jié)不合理。2.分工顯然不全面，人員分工過(guò)于隨意。

情感態(tài)度（15分）1.態(tài)度端正、積極主動(dòng)、求真務(wù)實(shí)，各成員同步展開有效工作，效率高。2.在研究過(guò)程中，互相尊重，既注意傾聽(tīng)和吸取其他同學(xué)的觀點(diǎn)。又積極提出自己的思想觀點(diǎn)。1.態(tài)度比較端正，有一定積極性，但部分成員開展工作存在互相觀望的情況，工作效率一般。2.在研究過(guò)程中，互相尊重，在傾聽(tīng)和吸取其他同學(xué)的觀點(diǎn)和積極提出自己的思想觀點(diǎn)方面做得不夠充分。

1.態(tài)度不都端正，不能做到求真務(wù)實(shí)，部分成員的工作需要經(jīng)常敦促，效率低。2.在研究過(guò)程中，與他人互相獨(dú)立，不注意傾聽(tīng)和吸取其他同學(xué)的觀點(diǎn)，發(fā)言不積極主動(dòng)。

研究過(guò)程（25分）1.研究步驟緊湊有序，及時(shí)詳盡地記錄下了關(guān)于分段函數(shù)在該行業(yè)應(yīng)用的情況和相關(guān)數(shù)據(jù)。2.積極且全面地參與了所設(shè)計(jì)的六個(gè)研究活動(dòng)，并且對(duì)每個(gè)研究活動(dòng)都進(jìn)行總結(jié)和反思。3.研究過(guò)程中，細(xì)心、耐心。尊重相關(guān)行業(yè)人員，交流溝通科學(xué)合理，受到調(diào)研方人員的好評(píng)。1.研究步驟比較緊湊有序，但關(guān)于分段函數(shù)在該行業(yè)應(yīng)用的情況和相關(guān)數(shù)據(jù)記錄不夠詳細(xì)。

2.有一個(gè)研究活動(dòng)不能積極全面地參與或只是在搞形式，個(gè)別研究活動(dòng)沒(méi)進(jìn)行總結(jié)和反思。

3.研究過(guò)程中，比較細(xì)心和耐心，對(duì)相關(guān)行業(yè)人員比較尊重，但部分環(huán)節(jié)交流溝通方式不夠全面合理，沒(méi)有負(fù)面影響。1.研究隨意不按步驟進(jìn)行，關(guān)于分段函數(shù)在該行業(yè)應(yīng)用的情況和相關(guān)數(shù)據(jù)記錄太零散、不詳細(xì)。2.有兩個(gè)以上研究活動(dòng)不能積極全面地參與或只是在搞形式，大部分研究活動(dòng)沒(méi)有總結(jié)和反思。3.研究過(guò)程中，不夠細(xì)心和耐心，對(duì)相關(guān)行業(yè)人員缺乏尊重，較多環(huán)節(jié)交流溝通方式不夠合理，有一定的負(fù)面影響。

研究成果（35分）1.總結(jié)出分段函數(shù)在該行業(yè)應(yīng)用的案例，寫出此方面的研究報(bào)告或論文，內(nèi)容充實(shí)、合情合理。2.各組交流活動(dòng)結(jié)束后形成全面的反思總結(jié)。3.能夠進(jìn)一步編制出針對(duì)分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題。4.文字表述條理性好，邏輯性強(qiáng)，基本上無(wú)錯(cuò)別字。1.有分段函數(shù)的應(yīng)用案例、研究報(bào)告或論文，但內(nèi)容不夠充實(shí)，個(gè)別方面存在問(wèn)題。

2.各組交流活動(dòng)結(jié)束后形成比較全面的反思總結(jié)。

3.能夠進(jìn)一步編制出針對(duì)分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，但問(wèn)題有瑕疵。4.文字表述條理性好，邏輯性較強(qiáng)，有2-3處錯(cuò)別字。1有分段函數(shù)的應(yīng)用案例、研究報(bào)告或論文，但理論或結(jié)果與實(shí)際不符，多數(shù)在搞形式。2.各組交流活動(dòng)結(jié)束后沒(méi)能形成比較全面的反思總結(jié)。3.沒(méi)能夠編制出針對(duì)分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題。4.文字表述不條理，邏輯性較差，有3處以上錯(cuò)別字。

過(guò)程合作（20分）1.調(diào)研過(guò)程和案例、研究報(bào)告或論文是集體合作完成的。2.調(diào)研過(guò)程和結(jié)果有效體現(xiàn)