第七章《隨機(jī)變量及其分布》章末復(fù)習(xí)提升與檢測

第七章《隨機(jī)變量及其分布》章末復(fù)習(xí)提升與檢測知識體系能力整合一、條件概率與全概率公式1．求條件概率有兩種方法：一種是基于樣本空間Ω，先計算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解；另一種是縮小樣本空間，即以A為樣本空間計算AB的概率．2．掌握條件概率與全概率運(yùn)算，重點(diǎn)提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【例1】(1)（2023?甲卷（理））有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【答案】【解析】根據(jù)題意，在報名足球或乒乓球俱樂部的70人中，設(shè)某人報足球俱樂部為事件，報乒乓球俱樂部為事件，則（A），由于有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，則同時報名兩個俱樂部的由人，則，則．故選．(2)某飲料廠生產(chǎn)兩種型號的飲料，已知這兩種飲料的生產(chǎn)比例分別為，且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為，若從該廠生產(chǎn)的飲料中任選一瓶，則選到非碳酸飲料的概率約為（

）A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32【答案】C【解析】由題意，選到非碳酸飲料的概率為.故選：C.【解題技法】計算條件概率要注意以下三點(diǎn)(1)明白是在誰的條件下，計算誰的概率．(2)明確P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)三者間的互化．(3)理解全概率公式P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)中化整為零的計算思想．【跟蹤訓(xùn)練】1．某部門對一家食品店的奶類飲品和面包類食品進(jìn)行質(zhì)檢，已知該食品店中奶類飲品占，面包類食品占，奶類飲品不合格的概率為0.02，面包類食品不合格的概率為0.01．現(xiàn)從該食品店隨機(jī)抽檢一件商品，則該商品不合格的概率為（

）A．0.03 B．0.024 C．0.012 D．0.015【答案】C【解析】設(shè)事件表示“抽到的商品為奶類飲品”，事件表示“抽到的商品為面包類食品”，則，設(shè)事件表示“抽檢的商品不合格”，則，所以，故選：C．2.（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到的概率為；已知第一次抽到的是，則第二次抽取的概率為．【答案】；．【解析】由題意，設(shè)第一次抽到的事件為，第二次抽到的事件為，則，（B），，二、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差1．均值和方差都是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值的基礎(chǔ)之上，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者的聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中的應(yīng)用比較廣泛．2．掌握離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差，重點(diǎn)提升邏輯推理與運(yùn)算的核心素養(yǎng)．角度1二項(xiàng)分布的均值、方差【例2】某廠有4臺大型機(jī)器，在一個月中，一臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進(jìn)行維修，每臺機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為．（1）問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率不小于？（2）已知1名工人每月只有維修1臺機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值．【解】（1）設(shè)“機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)”為事件，則．設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為，則，，，，，．故的分布列為01234設(shè)該廠有名工人，則“每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修”為，，，，…，，這個互斥事件的和事件，則01234因?yàn)?，所以至少?名工人，才能保證每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率不小于．（2）設(shè)該廠獲利為萬元，則的所有可能取值為18，13，8，，，．故的分布列為18138所以，故該廠獲利的均值為萬元．角度2超幾何分布的均值、方差【例3】某學(xué)院為了調(diào)查本校學(xué)生2023年4月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況，隨機(jī)抽取了40名本校學(xué)生，統(tǒng)計他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)Y為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20的人數(shù)，求Y的分布列及均值E(Y)．【解】(1)由圖可知，健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上網(wǎng)天數(shù)超過20的學(xué)生人數(shù)是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0,1,2，且Y服從超幾何分布．所以P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(2,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(29,52)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(5,13)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,40))＝eq\f(3,52).所以Y的分布列為Y012Peq\f(29,52)eq\f(5,13)eq\f(3,52)所以Y的均值E(Y)＝1×eq\f(5,13)＋2×eq\f(3,52)＝eq\f(1,2).【解題技法】(1)關(guān)于二項(xiàng)分布的應(yīng)用把握二項(xiàng)分布的關(guān)鍵是理解隨機(jī)試驗(yàn)中n次、獨(dú)立、重復(fù)這些字眼，即試驗(yàn)是多次進(jìn)行，試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的，每次試驗(yàn)的概率是相同的，判定隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布后結(jié)合相應(yīng)的公式進(jìn)行計算．(2)關(guān)于超幾何分布的應(yīng)用不放回取次品是超幾何分布的典型試驗(yàn)，可以將取球、選隊員等試驗(yàn)歸入超幾何分布問題，再利用其概率、均值公式進(jìn)行計算．【跟蹤訓(xùn)練】1．2022年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊與法國隊在120分鐘比賽中戰(zhàn)平，經(jīng)過四輪點(diǎn)球大戰(zhàn)阿根廷隊以總分戰(zhàn)勝法國隊，第三次獲得世界杯冠軍．其中門將馬丁內(nèi)斯撲出法國隊員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇，撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．若不考慮其他因素，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲出點(diǎn)球的個數(shù)X的期望為（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為．門將在前四次撲出點(diǎn)球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，4．，，，1，2，3，4．期望．故選：C．2．某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8道試題中隨機(jī)挑選4道進(jìn)行作答，至少答對3道才能通過初試.記在這8道試題中甲能答對6道，甲答對試題的個數(shù)為，則甲通過自主招生初試的概率為，.【答案】3【解析】依題意，知甲能通過自主招生初試的概率為.由于的可能取值為2，3，4，，故.三、正態(tài)分布及其應(yīng)用解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時注意以下兩點(diǎn)：(1)注意“3σ”原則，記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率．(2)注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運(yùn)用對稱性和結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點(diǎn)問題．【例4】（1）（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是A．越小，該物理量在一次測量中落在內(nèi)的概率越大 B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D．該物理量在一次測量中結(jié)果落在與落在的概率相等【答案】【解析】因?yàn)槟澄锢砹康臏y量結(jié)果服從正態(tài)分布，所以測量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對稱，且方差越小，則分布越集中，對于，越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故選項(xiàng)正確；對于，測量結(jié)果大于10的概率為0.5，故選項(xiàng)正確；對于，由于概率分布關(guān)于10對稱，所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項(xiàng)正確；對于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的區(qū)域大于分布在10附近的區(qū)域，故測量結(jié)果落在內(nèi)的概率大于落在內(nèi)的概率，故選項(xiàng)錯誤．故選：．（2）某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡(luò)平臺后，每天小籠包的銷售量（單位：個），估計300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個的天數(shù)大約是（

）（若隨機(jī)變量，則，，）A．236 B．246 C．270 D．275【答案】B【解析】由題可知，，，.所以300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個的天數(shù)大約是天．故選B．【解題技法】利用正態(tài)曲線解決實(shí)際問題時常利用其對稱性解題，并注意借助[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三個區(qū)間內(nèi)的概率值求解，要注意正態(tài)曲線與頻率分布直方圖的結(jié)合．【跟蹤訓(xùn)練】1．某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)期末考試，每名學(xué)生的成績服從，成績不低于120分為優(yōu)秀，依此估計優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為（

）附：若，則.A．23 B．46 C．159 D．317【答案】C【解析】由，得，則，估計優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為.故選：C2.（2022?新高考Ⅱ）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則．【答案】0.14．【解析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，章末檢測(時間：120分鐘，滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是（

）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率【答案】C【解析】對于A，5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個常量不是變量，BD也是一個定值，而C中取到次品的件數(shù)可能為0、1、2是隨機(jī)變量.故選C2．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以，故選D3．“黃梅時節(jié)家家雨，青草池塘處處蛙”，黃梅時節(jié)就是梅雨季節(jié)，每年6月至7月會出現(xiàn)持續(xù)天陰有雨的天氣，它是一種自然氣候現(xiàn)象.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計，長江中下游某地區(qū)在黃梅時節(jié)每天下雨的概率為.假設(shè)每天是否下雨互不影響，則該地區(qū)黃梅時節(jié)連續(xù)兩天中至少有一天下雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)殚L江中下游某地區(qū)在黃梅時節(jié)每天下雨的概率為，且每天是否下雨互不影響，所以該地區(qū)黃梅時節(jié)連續(xù)兩天中至少有一天下雨的概率為：，故選A4．若隨機(jī)變量的分布列為X0123P0.10.20.10.30.10.2則當(dāng)時，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由隨機(jī)變量的分布列知:，則當(dāng)時，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.5．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則等于（

）A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.939【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故選B.6．若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，則，故，故選A7．2023年3月13日第十四屆全國人民代表大會第一次會議在北京勝利閉幕，某中學(xué)為了貫徹學(xué)習(xí)“兩會”精神，舉辦“學(xué)兩會，知國事”知識競賽．高二學(xué)生代表隊由A，B，C，D，E共5名成員組成，現(xiàn)從這5名成員中隨機(jī)抽選3名參加學(xué)校決賽，則在學(xué)生A被抽到的條件下，學(xué)生B也被抽到的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】記事件A：學(xué)生A被抽到，事件B：學(xué)生B被抽到，所以，，所以．故選B8．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一次發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p，即，發(fā)球次數(shù)為2即二次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為3的概率為，則期望，依題意有，即，解得或，結(jié)合p的實(shí)際意義，可得，故選C．二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．一個袋中有個同樣大小的黑球，編號為，還有個同樣大小的白球，編號為.現(xiàn)從中任取個球，下列變量服從超幾何分布的是（

）A．表示取出的最大號碼B．表示取出的最小號碼C．取出一個黑球記分，取出一個白球記分，表示取出的個球的總得分D．表示取出的黑球個數(shù)【答案】CD【解析】AB不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，即AB錯；CD選項(xiàng)符合超幾何分布的定義，將黑球視作次品，白球視作正品，則可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，即CD正確；故選：CD.10．設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：012340.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】對A：由，解得，故A正確；對B：，，故B正確；對C：，故C正確；對D：，故D錯誤.故選：ABC.11．下列關(guān)于隨機(jī)變量X的說法正確的是（

）A．若X服從正態(tài)分布，則B．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且，隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布，若，則C．若X服從超幾何分布，則期望D．若X服從二項(xiàng)分布，則方差【答案】BCD【解析】對A，由于，所以，根據(jù)方差的性質(zhì)，，故A錯誤；對B，服從二項(xiàng)分布，，解得，，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得，，故B正確；對C，服從超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的期望公式，，故C正確；對D，服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式得，，故D正確.故選：BCD.三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上)12．設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%、35%、20%，各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%、2%、5%，現(xiàn)從中任取一件，則取到的次品的概率為．【答案】【解析】由題設(shè)，從中任取一件取到的次品的概率為.13．已知隨機(jī)變量的分布列如表：012mn若，則．【答案】【解析】，①，又②，聯(lián)立①②得，所以，則．14．一個質(zhì)地均勻的正方體的六個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，現(xiàn)連續(xù)拋擲該正方體n次，發(fā)現(xiàn)落地后向上數(shù)字大于4的平均次數(shù)不小于3，則拋擲次數(shù)n的最小值為．【答案】9【解析】依題意，每次拋擲正方體落地后出現(xiàn)向上數(shù)字大于4的概率為，設(shè)X表示拋擲n次，落地向上數(shù)字大于4的次數(shù)，則，因此，解得，所以拋擲次數(shù)n的最小值為9.四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．（本小題滿分13分）將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在內(nèi)的概率．【解析】（1）設(shè)“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上”，則,設(shè)表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則．則恰好出現(xiàn)5次正面朝上即，所以，故恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率為.（2）由（1）知，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上的概率為，重復(fù)拋擲10次正面朝上出現(xiàn)的頻率在內(nèi)，即．所以．16.（本小題滿分15分）作為一種益智游戲，中國象棋具有悠久的歷史，中國象棋的背后，體現(xiàn)的是博大精深的中華文化．為了推廣中國象棋，某地舉辦了一次地區(qū)性的中國象棋比賽，小明作為選手參加．除小明以外的其他參賽選手中，50%是一類棋手，25%是二類棋手，其余的是三類棋手．小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.3、0.4和0.5．(1)從參賽選手中隨機(jī)選取一位棋手與小明比賽，求小明獲勝的概率；(2)如果小明獲勝，求與小明比賽的棋手為一類棋手的概率．【解析】（1）設(shè)“小明與第i（，2，3）類棋手相遇”，根據(jù)題意，，記“小明獲勝”，則有，，，由全概率公式，小明在比賽中獲勝的概率為，所以小明獲勝的概率為0.375．（2）小明獲勝時，則與小明比賽的棋手為一類棋手的概率為，即小明獲勝，對手為一類棋手的概率為0.4．17.（本小題滿分15分）體育課上，體育老師安排了籃球測試，規(guī)定：每位同學(xué)有次投籃機(jī)會，若投中次或次，則測試通過，若沒有通過測試，則必須進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人投籃次.已知甲同學(xué)每次投中的概率為且每次是否投中相互獨(dú)立.(1)求甲同學(xué)通過測試的概率；(2)若乙同學(xué)每次投中的概率為且每次是否投中相互獨(dú)立.設(shè)經(jīng)過測試后，甲、乙兩位同學(xué)需要進(jìn)行投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)之和為，求的分布列與均值.【解析】（1）解：記事件甲同學(xué)通過測試，則甲同學(xué)在次投籃中，投中次或次，則.（2）若甲通過測試，則前兩次投中或者三次投籃中，第三次投中，前兩次有一次投中，所以，甲通過測試的概率為，同理可知，乙通過測試的概率為，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：故.18.（本小題滿分17分）近日，某企業(yè)舉行