第13講曲線與方程

第13講曲線與方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.結(jié)合已學(xué)過(guò)的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想.2．會(huì)求簡(jiǎn)單曲線的方程.知識(shí)點(diǎn)1曲線的方程與方程的曲線一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解．(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程（適合某種條件的點(diǎn)的軌跡方程），這條曲線叫做方程的曲線.提醒：有些函數(shù)的解析式可以看成一種特殊的方程，不過(guò)，曲線的方程不一定時(shí)函數(shù).知識(shí)點(diǎn)2求曲線的方程與根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)1.求動(dòng)點(diǎn)M軌跡方程的一般步驟：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）；（2）寫(xiě)出M要滿足的幾何條件，并將改幾何條件用M的坐標(biāo)表示出來(lái)；（3）化簡(jiǎn)并檢驗(yàn)所得方程是否為M的軌跡方程.提醒：（1）求曲線的方程時(shí)，若題設(shè)條件中無(wú)坐標(biāo)系，則需要先建立坐標(biāo)系，建系時(shí)，盡量取已知的相互垂直的直線為坐標(biāo)軸，或利用圖形的對(duì)稱性選軸，或使盡可能多的點(diǎn)落在軸上；求曲線的方程與求軌跡是有區(qū)別的，若是求軌跡，則不僅要求出方程，而且還要說(shuō)明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，即說(shuō)出圖形的形狀、位置等．（2）判斷點(diǎn)P是否在曲線C上，只需將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入C的方程，若成立，則P在C上，否則P不在C上．拓廣：已知點(diǎn)P在已知曲線上，動(dòng)點(diǎn)M隨P的變化而變化，形成軌跡，把P稱作主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M稱作被動(dòng)點(diǎn).求動(dòng)點(diǎn)M軌跡方程的“相關(guān)點(diǎn)法（代入法）”步驟：（1）設(shè)點(diǎn)：M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0,y0）；（2）求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，用x,y表示x0,y0；（3）代入（換）：將x0,y0代入已知曲線方程，便可得到所求軌跡方程.2.根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)，一般要注意兩類(lèi)性質(zhì)：一類(lèi)是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的本身固有性質(zhì)，如圓的半徑、圖形的對(duì)稱性等；一類(lèi)是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如圓的圓心、圖形的范圍等．考點(diǎn)一：曲線與方程的概念例1.（2223高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，曲線的方程為，曲線的方程為，則“點(diǎn)在曲線上”是“點(diǎn)在曲線上”的（

）.A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義，以及曲線與方程的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，有，所以由點(diǎn)在曲線上，可以推出點(diǎn)在曲線上；當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，有，所以由點(diǎn)在曲線上推不出點(diǎn)在曲線上，所以“點(diǎn)在曲線上“是”點(diǎn)在曲線上“的充分非必要條件.故選：A【變式11】（2324高二上·上?！て谀┮阎鴺?biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上，則下列命題中正確的是（

）A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程B．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程C．凡坐標(biāo)不適合方程的點(diǎn)都不在曲線C上D．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合方程【答案】B【分析】由逆否命題的真假性的關(guān)系結(jié)合曲線與方程的定義逐一判斷即可.【詳解】由于“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上”與“不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程”互為逆否命題，所以“不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程”是正確的，故B對(duì)，D錯(cuò)；對(duì)于點(diǎn)集而言，不滿足，但它仍然屬于在曲線C上（仍然屬于點(diǎn)集合），故A、C錯(cuò)誤.故選：B.【變式12】（2122高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上，下列命題正確的是（

）A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程B．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程C．坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)都不在曲線C上D．曲線C是坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)的軌跡【答案】B【分析】根據(jù)曲線與方程的定義和關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上，則方程的曲線可能只是曲線C的一部分，此時(shí)曲線C上位于曲線M之外部分的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程，故A選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.對(duì)于B，命題"不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足程“與已知條件中的命題互為逆否命題.因?yàn)榛槟娣衩}的兩個(gè)命題真假相同，所以B選項(xiàng)中的命題正確.對(duì)于C，由A選項(xiàng)的分析過(guò)程得，曲線C上位于曲線M之外部分的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程，但這些點(diǎn)在曲線C上，故C選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.對(duì)于D，由A選項(xiàng)的分析過(guò)程可知，D選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.故選：B.【變式13】（2021高二上·上海徐匯·期中）如果曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，那么下列命題正確的是（

）A．曲線的方程是 B．曲線上的點(diǎn)都在方程的曲線上C．方程的曲線是 D．以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上【答案】B【分析】由曲線方程的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系進(jìn)行邏輯判斷即可.【詳解】設(shè)所有在曲線上的點(diǎn)構(gòu)成集合，所有以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成集合，則原題等價(jià)于.A選項(xiàng)等價(jià)于，不正確；B選項(xiàng)等價(jià)于，正確；C選項(xiàng)等價(jià)于，不正確；D選項(xiàng)等價(jià)于，不正確.故選：B.考點(diǎn)二：點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系例2.（2021·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在曲線上，則在點(diǎn)，，，中，也在該曲線上的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】由點(diǎn)在曲線上，即，將其它點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，同樣能使方程成立，即可知都在曲線上，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).【詳解】由在該曲線上，知：，∴，故，，，都在曲線上.故選：D.【變式21】（2122高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若曲線C的方程為，則下列各點(diǎn)中，在曲線C上的點(diǎn)是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】利用點(diǎn)與曲線的關(guān)系即可求解.【詳解】對(duì)于A，將代入方程，所以點(diǎn)在曲線上，故A正確；對(duì)于B，將代入方程，所以點(diǎn)不在曲線上，故B不正確；對(duì)于C，將代入方程，所以點(diǎn)不在曲線上，故C不正確；對(duì)于D，將代入方程，所以點(diǎn)不在曲線上，故D不正確；故選：A.【變式22】（2016高二·全國(guó)·課后作業(yè)）方程表示的圖形經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，中的（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【解析】本題先根據(jù)，排除，兩點(diǎn)，再將，兩點(diǎn)代入滿足方程，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由方程，可知，兩點(diǎn)不符合題意；對(duì)于點(diǎn)，，則有；對(duì)于點(diǎn)，．故選：C．【變式23】（2021高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)曲線和的交點(diǎn)為P，那么曲線必定（）A．經(jīng)過(guò)P點(diǎn) B．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)C．不一定經(jīng)過(guò)P點(diǎn) D．經(jīng)過(guò)P點(diǎn)和原點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)交點(diǎn)的性質(zhì)，運(yùn)用代入法進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè)曲線和的交點(diǎn)為P的坐標(biāo)為，因此有且，因此，所以曲線必定經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，故選：A考點(diǎn)三：根據(jù)點(diǎn)與曲線的關(guān)系求參數(shù)例3.（2122高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若點(diǎn)在方程的曲線上，則．【答案】2或【分析】將點(diǎn)代入方程，從而解出答案.【詳解】將點(diǎn)代入方程得解得：或故答案為：2或.【變式31】（2021高二上·北京·期中）已知曲線x2+my﹣3＝0過(guò)點(diǎn)（1，1），則m＝．【答案】2【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，求解m即可．【詳解】曲線x2+my﹣3＝0過(guò)點(diǎn)（1，1），可得1+m﹣3＝0，可得m＝2．故答案為：2．【變式32】（1920高二·全國(guó)·課后作業(yè)）點(diǎn)在曲線上,則a=.【答案】【解析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入方程中可得故答案為：【變式33】（1920高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A(a，2)既是曲線上的點(diǎn)，也是直線上的點(diǎn)，則m=.【答案】【解析】由于點(diǎn)A(a，2)既是曲線上的點(diǎn)，也是直線上的點(diǎn)，所以從而可求出的值【詳解】解：由點(diǎn)A既在曲線上，也在直線上，則故答案為：考點(diǎn)四：由方程研究曲線的圖形例4.（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）畫(huà)出下列方程相應(yīng)的曲線圖形．(1)；(2)．【答案】(1)圖形見(jiàn)解析(2)圖形見(jiàn)解析【分析】（1）（2）首先將方程變形，即可得到方程表示的為兩條直線，從而畫(huà)出圖形.【詳解】（1）因?yàn)?，則，所以或，即方程表示兩條直線和，圖形如下所示：

（2）因?yàn)?，所以，所以或即方程表示兩條直線和，圖形如下所示：

【變式41】（2122高二上·貴州遵義·期末）設(shè)方程表示的曲線是（

）A．一個(gè)圓和一條直線 B．一個(gè)圓和一條射線C．一個(gè)圓 D．一條直線【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)題給方程，即可得到其表示的曲線為一條直線.【詳解】由，可得，則由，可得，則方程表示的曲線是一條直線.故選：D【變式42】（2014高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）方程表示的曲線是（）A．—個(gè)圓 B．兩個(gè)圓C．一個(gè)半圓 D．兩個(gè)半圓【答案】D【分析】方程可化為，去絕對(duì)值分，兩種情況解決即可.【詳解】方程可化為，因?yàn)椋曰?，若時(shí)，則方程為；若時(shí)，則方程為，故選：D【變式43】（2324高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）關(guān)于曲線下列說(shuō)法：①關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②關(guān)于直線軸對(duì)稱；③關(guān)于直線對(duì)稱；④曲線是封閉圖形，面積小于；⑤曲線是封閉圖形，面積大于；⑥曲線不是封閉圖形無(wú)法計(jì)算面積.其中正確的序號(hào)（

）A．①②⑥ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑥【答案】B【分析】將、和代入曲線方程可確定①②③的正誤；根據(jù)的范圍，結(jié)合當(dāng)時(shí)，可確定曲線圍成封閉圖形的面積大于圓的面積，知④⑤⑥正誤.【詳解】對(duì)于①，將代入曲線方程得：，曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，①正確；對(duì)于②，將代入曲線方程得：，曲線關(guān)于直線軸對(duì)稱，②正確；對(duì)于③，將代入曲線方程得：，與曲線方程不同，曲線不關(guān)于直線對(duì)稱，③錯(cuò)誤；對(duì)于④⑤⑥，由知：，，則曲線為封閉圖形；在曲線上取一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，即點(diǎn)在圓外，曲線圍成封閉圖形的面積大于圓的面積，⑤正確，④⑥錯(cuò)誤.故選：B.考點(diǎn)五：求軌跡方程例5.（2324高二上·河南鄭州·階段練習(xí)）（1）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和M到定直線的距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡．（2）如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)條件，建立方程，化簡(jiǎn)即可求出結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，再利用點(diǎn)在圓上，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)代入法即可求得的軌跡方程.【詳解】（1）設(shè)d是點(diǎn)M到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是集合，則，將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得，即，所以，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10、6的橢圓．（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，把，代入上述方程，得，即所求軌跡方程為.【變式51】（2324高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知圓與y軸相切，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓外，過(guò)P作圓C的切線，切點(diǎn)為M．(1)求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；(2)求滿足的點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】(1)圓心坐標(biāo)為，圓C的半徑為1．(2)【分析】（1）將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解圓心，利用相切即可求解半徑，（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可列等式，化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓C的圓心坐標(biāo)為．又圓C與y軸相切，所以，即，故圓C的半徑為1．（2）設(shè)，則，．由于，則，整理得點(diǎn)P的軌跡方程為：．經(jīng)檢驗(yàn)，上的點(diǎn)都符合條件．【變式52】（2023高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，，連接PA并延長(zhǎng)至Q，使得，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)，得到，，利用代入法求解.【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，點(diǎn)P坐標(biāo)，則，因?yàn)?，所以，，解得，，代入得，整理得，所以?dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為．【變式53】（2324高二上·陜西寶雞·期末）如圖，已知點(diǎn)A(6,4)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，E點(diǎn)是線段OA上任意一點(diǎn)，EC⊥AB于點(diǎn)C，ED⊥x軸于點(diǎn)D，OC與ED相交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的軌跡方程.【答案】【分析】求解直線OA的方程，設(shè)出F的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化求解C的坐標(biāo)，由向量共線，求解即可．【詳解】OA的方程為：，設(shè)，所以，可得，F(xiàn)在線段OC上，所以，,得，整理得F的軌跡方程為：.考點(diǎn)六：由方程研究曲線的性質(zhì)例6.（2324高二上·上海寶山·階段練習(xí)）已知曲線的方程為，下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是.①無(wú)論取何值，曲線都關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②無(wú)論取何值，曲線關(guān)于直線和對(duì)稱；③存在唯一的實(shí)數(shù)使得曲線表示兩條直線；④當(dāng)時(shí)，曲線上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為.【答案】①②④【分析】①將曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)代入，看是否滿足方程即可；②將曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)代入，看是否滿足方程即可；③由聯(lián)想完全平方與平方差公式，可得情況，將二次式變形為兩個(gè)一次因式的乘積為的形式，驗(yàn)證可知；④當(dāng)時(shí)，結(jié)合曲線對(duì)稱性分類(lèi)研究曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離范圍，再轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的最大值即可.【詳解】①設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則成立.由，得點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在曲線上.故無(wú)論取何值，曲線都關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，①正確；②設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則成立.由，得點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也在曲線上.又，即點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也在曲線上.故無(wú)論取何值，曲線關(guān)于直線和對(duì)稱，②正確；③當(dāng)時(shí)，曲線方程為，方程可變形為，即曲線表示兩條直線，或；當(dāng)時(shí)，曲線方程為，方程可變形為，即曲線表示兩條直線，或，故使得曲線表示兩條直線的實(shí)數(shù)不唯一，故③不正確；④當(dāng)時(shí)，，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，即，當(dāng)時(shí)，則，即，即，由①所得曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)，都有，即曲線上任意兩點(diǎn)間距離小于或等于圓的直徑，又存在兩點(diǎn)兩點(diǎn)都在曲線上，且，故曲線上任意兩點(diǎn)間距離最大值為，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：從方程數(shù)的形式研究曲線的對(duì)稱性，關(guān)鍵在于設(shè)出曲線上任意一點(diǎn)，求解其對(duì)稱點(diǎn)，將坐標(biāo)代入驗(yàn)證方程是否仍然成立.常用兩點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系有：（1）和關(guān)于軸對(duì)稱；（2）和關(guān)于軸對(duì)稱；（3）和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（4）和關(guān)于直線對(duì)稱；（5）和關(guān)于直線對(duì)稱.【變式61】（2324高二上·河南焦作·階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠.“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是“阿波羅尼斯圓”.已知曲線是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之比等于常數(shù)的“阿波羅尼斯圓”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．曲線關(guān)于軸對(duì)稱 B．曲線關(guān)于軸對(duì)稱C．曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．曲線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】A【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式再結(jié)合題意可得.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，曲線是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)，距離之比等于常數(shù)，所以，顯然也滿足方程，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，不關(guān)于軸、原點(diǎn)對(duì)稱，且不過(guò)原點(diǎn).故選：A.【變式62】（多選）（2324高二上·江蘇南通·期末）已知曲線，則（

）A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．為的一個(gè)頂點(diǎn)【答案】ACD【分析】用軸對(duì)稱和點(diǎn)對(duì)稱的定義逐一判斷即可.【詳解】A:用和替換方程中的和，化簡(jiǎn)后方程不變，故曲線E關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；B：用替換方程中的y，方程變?yōu)椋c原方程不同，故E不關(guān)于軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；C：用y替換方程中的x，同時(shí)用x替換方程中的y，方程不變，故E關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；D：用替換y，同時(shí)用替換x，方程不變，故E關(guān)于直線對(duì)稱，聯(lián)立，解得或,由頂點(diǎn)的定義知，是E的一個(gè)頂點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.【變式63】（2324高二上·北京西城·階段練習(xí)）曲線C是平面內(nèi)與定點(diǎn)和定直線的距離的積等于4的點(diǎn)的軌跡，給出下列四個(gè)命題：①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱；③曲線C與y軸有3個(gè)交點(diǎn)；④若點(diǎn)M在曲線C上，則的最小值是；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①②④．【分析】將所求點(diǎn)用直接表示出來(lái)，然后根據(jù)條件列出方程即可求出軌跡方程，然后根據(jù)方程研究性質(zhì)即可求解①②③，利用消元法，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值即可判斷④．【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，曲線是平面內(nèi)與定點(diǎn)和定直線的距離的積等于4的點(diǎn)的軌跡，，當(dāng)時(shí)，，曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故①正確；將中的用代入該等式不變，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故②正確；令時(shí)，，故曲線與軸只有1個(gè)交點(diǎn)，故③不正確；，，解得，若點(diǎn)在曲線上，則，故④正確．故答案為：①②④．考點(diǎn)七：兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題例7.（2223高二·全國(guó)·課堂例題）已知曲線的方程是，曲線的方程是，判斷與是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．【答案】與有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為、、【分析】聯(lián)立兩曲線的方程，求出方程組的公共解，即可得出結(jié)論.【詳解】解：聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組，解方程組可得或或，因此與有三個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)坐標(biāo)為、、.【變式71】（2021高二·全國(guó)·課后作業(yè)）曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是．【答案】【分析】聯(lián)立方程，方程組解的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】由可得，，所以或，所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)是．故答案為：．【變式72】（1718高二下·上海浦東新·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】2【分析】曲線為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓軸及上側(cè)，從而根據(jù)曲線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可求實(shí)數(shù)m的值．【詳解】曲線為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓軸及上側(cè)，與直線L：軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖：由圖象可知，，故答案為：2．【變式73】（2122高二·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷直線與曲線是否相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為：和.【分析】聯(lián)立方程，運(yùn)用代入法進(jìn)行消元，通過(guò)方程是否有解進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】將直線方程與曲線方程聯(lián)立得：，解得，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此直線與曲線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為：和.1．（2021高二上·吉林遼源·階段練習(xí)）已知曲線C的方程為x2＋2x＋y－1＝0，則下列各點(diǎn)中，在曲線C上的點(diǎn)是（

）A．(0，1) B．(－1，3)C．(1，1) D．(－1，1)【答案】A【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)依次代入曲線方程中驗(yàn)證即可【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以此點(diǎn)(0，1)在曲線上；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)(－1，3)不在曲線上；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)(1，1)不在曲線上；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)(－1，1)不在曲線上，故選：A2．（2223高二下·四川達(dá)州·期中）方程表示的曲線是（

）A．一個(gè)圓 B．兩個(gè)半圓 C．兩個(gè)圓 D．半圓【答案】A【分析】方程可化為，根據(jù)圓的概念即可得到對(duì)應(yīng)曲線.【詳解】由方程，兩邊平方得，即，所以方程表示的軌跡為一個(gè)圓，故選：A.3．（2324高二上·河北唐山·期末）線段長(zhǎng)度為4，其兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則線段中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】利用幾何法直接求出軌跡方程，進(jìn)而由圓的面積公式求解.【詳解】，設(shè)為線段中點(diǎn)，，設(shè)，則，即．則線段中點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓；故線段中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.故選：D4．（2324高二上·北京·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.如曲線：，（如圖所示），給出下列三個(gè)結(jié)論①曲線關(guān)于直線對(duì)稱；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于；③曲線圍成的圖形的面積是.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．① B．①② C．①③ D．②③【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性可判斷①，由曲線方程知曲線關(guān)于原點(diǎn)，，軸對(duì)稱，當(dāng)，時(shí)，可得，可得，所以可得曲線為為圓心，為半徑的半圓，由此可做出曲線的圖像，從而通過(guò)運(yùn)算可判斷命題②③的真假．【詳解】設(shè)點(diǎn)在曲線上，則，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，將代入曲線中得，因此在曲線上，故①正確，曲線可知曲線關(guān)于原點(diǎn)，，軸對(duì)稱，當(dāng)，時(shí)，可得，可得，所以可得曲線為為圓心，為半徑的半圓，曲線上任意點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于或等于，故命題②錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性可知曲線圍成的圖形的面積為4個(gè)半圓的面積加上邊長(zhǎng)為的正方形的面積，即，故命題③正確；故選：C5.（2324高二上·北京·期中）已知，以為斜邊的直角，其頂點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由勾股定理得到等式，化簡(jiǎn)后除去曲線與軸的交點(diǎn)得答案.【詳解】設(shè)，則，即，整理得：.∵三點(diǎn)構(gòu)成三角形