2024年全國(guó)一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分S13圓錐曲線解答題9

2024年全國(guó)一卷新高考題型細(xì)分S13——圓錐曲線大題9試卷主要是2024年全國(guó)一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國(guó)高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過(guò)去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！秷A錐曲線——大題》題目主要按長(zhǎng)短順序排版，具體有：短，中，長(zhǎng)，涉后導(dǎo)數(shù)等，大概206道題。每道題目后面標(biāo)注有類型和難度，方便老師備課選題。中6：（2024年粵J126廣東三模）18．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，，，是上三個(gè)不同的點(diǎn)，直線，，分別與軸交于，，，其中的最小值為4.

(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（18．(1)

(2)是，定值1.【分析】（1）根據(jù)拋物線定義可得的最小值為通徑時(shí)，可求得的值；（2）設(shè)直線的方程為與拋物線聯(lián)立方程組，結(jié)合的重心位于軸上，求得，又，解得，同理可得，又由運(yùn)算得，運(yùn)算得解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€通過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以線段為拋物線的焦點(diǎn)弦，如圖，設(shè)，，線段的中點(diǎn)，由拋物線的定義可得，由平面幾何的性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，取得最小值為，所以，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）依題知直線的傾斜角不為0，則設(shè)直線的方程為18．(1)

(2)是，定值1.【分析】（1）根據(jù)拋物線定義可得的最小值為通徑時(shí)，可求得的值；（2）設(shè)直線的方程為與拋物線聯(lián)立方程組，結(jié)合的重心位于軸上，求得，又，解得，同理可得，又由運(yùn)算得，運(yùn)算得解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€通過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以線段為拋物線的焦點(diǎn)弦，如圖，設(shè)，，線段的中點(diǎn)，由拋物線的定義可得，由平面幾何的性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，取得最小值為，所以，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）依題知直線的傾斜角不為0，則設(shè)直線的方程為.設(shè)，，，由，得，則，

因?yàn)榈闹匦奈挥谳S上，所以，所以，，所以，

，，因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以，所以，顯然，解得，，同理可得，又，則，所以為定值1.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)，根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，結(jié)合的重心位于軸上，即，解得，再利用，，可得，，結(jié)合三角形重心的坐標(biāo)公式，代入運(yùn)算得解.（2024年粵J127汕頭二模）18．如圖，矩形中，，.、、、分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，設(shè)，.

(1)證明：直線與的交點(diǎn)在橢圓：上；（18．(1)見解析

(2)、、成等比數(shù)列，證明見解析.【分析】（1）設(shè)，分別表示出直線的方程和直線的方程，兩式相乘化簡(jiǎn)即可得出答案；（2）設(shè)直線的方程為，直線MO的方程為分別與橢圓的方程聯(lián)立由韋達(dá)定理求出，可證得即可判斷、、成等比數(shù)列.【詳解】（1）設(shè)，依題意，，，，，則直線的方程為，①

直線的方程為，②

①×②得：即

故直線與的交點(diǎn)M在橢圓18．(1)見解析

(2)、、成等比數(shù)列，證明見解析.【分析】（1）設(shè)，分別表示出直線的方程和直線的方程，兩式相乘化簡(jiǎn)即可得出答案；（2）設(shè)直線的方程為，直線MO的方程為分別與橢圓的方程聯(lián)立由韋達(dá)定理求出，可證得即可判斷、、成等比數(shù)列.【詳解】（1）設(shè)，依題意，，，，，則直線的方程為，①

直線的方程為，②

①×②得：即

故直線與的交點(diǎn)M在橢圓上；（2）依題意，直線的斜率均不為零，故設(shè)直線PO的方程為，直線MO的方程為

由得：

由得

即成等比數(shù)列.（2024年浙J41天域二模）17．已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)到雙曲線兩條漸近線的距離乘積為，過(guò)分別作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，已知與雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，與左右兩支分別交于，兩點(diǎn).

(1)求雙曲線的方程；（17．(1)

(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組求出得解；（2）設(shè)直線的方程為，可得的方程，分別與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示直線的方程，令求得是定值.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的兩漸近線方程分別為，，點(diǎn)到雙曲線兩漸近線的距離乘積為，由題意可得：，解得，，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，由，互相垂直得的方程，17．(1)

(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組求出得解；（2）設(shè)直線的方程為，可得的方程，分別與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示直線的方程，令求得是定值.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的兩漸近線方程分別為，，點(diǎn)到雙曲線兩漸近線的距離乘積為，由題意可得：，解得，，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，由，互相垂直得的方程，聯(lián)立方程得，消得，成立，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立方程得，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱性判斷知定點(diǎn)在軸上，直線的方程為，則當(dāng)時(shí)，，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)線法再聯(lián)立雙曲線方程從而解出點(diǎn)的坐標(biāo)，再得到直線的方程，最后令即可得到其定點(diǎn)坐標(biāo).（2024年魯J24棗莊三月考）19.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被截得的線段長(zhǎng)為．

（1）求的方程；（【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由截得的線段長(zhǎng)可確定橢圓所過(guò)的點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合離心率建立的方程組，求解可得.（2）由直線和圓相切，可求出的等量關(guān)系，直線和橢圓聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)點(diǎn)距公式分別求出的長(zhǎng)，然后計(jì)算周長(zhǎng)，由的等量關(guān)系化簡(jiǎn)，然后分情況討論的正負(fù)可求出周長(zhǎng)的范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，點(diǎn)在橢圓上，則有，解得．所以的方程為．【小問(wèn)2詳解】由題意知【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由截得的線段長(zhǎng)可確定橢圓所過(guò)的點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合離心率建立的方程組，求解可得.（2）由直線和圓相切，可求出的等量關(guān)系，直線和橢圓聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)點(diǎn)距公式分別求出的長(zhǎng)，然后計(jì)算周長(zhǎng)，由的等量關(guān)系化簡(jiǎn)，然后分情況討論的正負(fù)可求出周長(zhǎng)的范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，點(diǎn)在橢圓上，則有，解得．所以的方程為．【小問(wèn)2詳解】由題意知，，設(shè)，由與圓相切，得，即．由消去并整理得．該方程的判別式，由韋達(dá)定理得．于是，而．同理，．所以．顯然，下面對(duì)的符號(hào)進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，．（*）令，則且．代入（*）化簡(jiǎn)得．因?yàn)?，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．②當(dāng)時(shí)，．綜上，周長(zhǎng)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：的周長(zhǎng)包含弦長(zhǎng)，以及，由弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)點(diǎn)距公式表示出周長(zhǎng)，換元法將所求轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出范圍.

（2024年魯J21濟(jì)南三月考）18.已知雙曲線C：的左右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn).

（1）若直線的斜率k存在，求k的取值范圍；（【答案】（1）；（2）；（3）3.【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合題意列出不等式組，即可求解；（2）由（1）得到，求得，結(jié)合斜率公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（3）由（2）可知，設(shè)與的方程分別為和，兩兩方程組，求得，結(jié)合三角形的面積公式和不等式的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€【答案】（1）；（2）；（3）3.【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合題意列出不等式組，即可求解；（2）由（1）得到，求得，結(jié)合斜率公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（3）由（2）可知，設(shè)與的方程分別為和，兩兩方程組，求得，結(jié)合三角形的面積公式和不等式的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得，解得，又由直線的斜率為，可得的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】解：由雙曲線，可得，，由（1）可得，，則.所以.【小問(wèn)3詳解】解：由（2）可知，所以直線與直線的方程分別為和，聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，于是，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值問(wèn)題的解答策略與技巧：1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；2、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.（2024年蘇J24蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)）18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作兩條動(dòng)直線分別與交于另外兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.

（1）求的值；(【答案】（1）2（2），【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線直線和橢圓的方程，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)列出關(guān)于a的方程，即可求得答案.（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，即可求得，的表達(dá)式，結(jié)合，可推出，即三點(diǎn)共線，結(jié)合，可得【答案】（1）2（2），【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線直線和橢圓的方程，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)列出關(guān)于a的方程，即可求得答案.（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，即可求得，的表達(dá)式，結(jié)合，可推出，即三點(diǎn)共線，結(jié)合，可得，由此即可取得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，代入，得，由得，，解得，；【小問(wèn)2詳解】由（1）知橢圓方程為，聯(lián)立，得，解得或，即，則，即，同理可得，則，，由于，故，故，即三點(diǎn)共線，又，故，又，，故，解得，由于，故【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，解答的難點(diǎn)在于計(jì)算比較復(fù)雜，并且都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，計(jì)算量較大，需要有較強(qiáng)的計(jì)算能力..（2024年蘇J21南通二適）19.已知雙曲線的漸近線為，左頂點(diǎn)為.

（1）求雙曲線的方程；（【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程及頂點(diǎn)求出得雙曲線方程；（2）①設(shè)，由四點(diǎn)共圓可得，根據(jù)斜率公式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)表示形式，由直線與雙曲線聯(lián)立得出根與系數(shù)的關(guān)系，據(jù)此化簡(jiǎn)即可求出；②求出點(diǎn)坐標(biāo)得出，利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)均值不等式求出半徑的最值，即可得出圓面積的最值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對(duì)稱，又頂點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線的方程為（，），從而漸近線方程為：，由題條件知：.因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)為，所以，，所以雙曲線的方程為：.【小問(wèn)2詳解】如圖，①，設(shè)直線的方程為：，將代入方程：，得，當(dāng)且時(shí)，設(shè)，，則【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程及頂點(diǎn)求出得雙曲線方程；（2）①設(shè)，由四點(diǎn)共圓可得，根據(jù)斜率公式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)表示形式，由直線與雙曲線聯(lián)立得出根與系數(shù)的關(guān)系，據(jù)此化簡(jiǎn)即可求出；②求出點(diǎn)坐標(biāo)得出，利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)均值不等式求出半徑的最值，即可得出圓面積的最值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對(duì)稱，又頂點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線的方程為（，），從而漸近線方程為：，由題條件知：.因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)為，所以，，所以雙曲線的方程為：.【小問(wèn)2詳解】如圖，①，設(shè)直線的方程為：，將代入方程：，得，當(dāng)且時(shí)，設(shè)，，則，.設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)，則，由于，，，四點(diǎn)共圓知：，所以直線的傾斜角為，.直線的方程為：，令，則，從而，所以，又，得：，又，代入上式得：，，，化簡(jiǎn)得：，解得：（舍）或.故點(diǎn)的坐標(biāo)為.②直線的方程為，由①知：，所以.直線方程；，所以，若，在軸上方時(shí)，在的上方，即時(shí)，；若，在軸下方時(shí)，即時(shí)，，所以或.又直線與漸近線不平行，所以.所以，或且.因?yàn)?，設(shè)圓的半徑為，面積為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上述不等式取等號(hào)，或且.所以且，從而且.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用直線的傾斜角與圓的內(nèi)接四邊形的角的關(guān)系，得出這一關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線相交，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)求參數(shù)的常規(guī)問(wèn)題.（2024年湘J29邵陽(yáng)二聯(lián)考）18.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).（【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）先利用點(diǎn)在雙曲線上和雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線方程，然后分直線的斜率存在與否討論，存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理法表示出，再代入直線方程表示出，最后利用向量的數(shù)量積為零求出斜率，再代入弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)；（2）假設(shè)存在，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法表示出，要使為定值，則，解出后得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再用弦長(zhǎng)公式表示出三角形的面積，最后利用換元法和分離常數(shù)法結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最小值.【小問(wèn)1詳解】把代入得：，又.又，解得.雙曲線方程為.若直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè).，舍去.若的斜率存在，設(shè)【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）先利用點(diǎn)在雙曲線上和雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線方程，然后分直線的斜率存在與否討論，存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理法表示出，再代入直線方程表示出，最后利用向量的數(shù)量積為零求出斜率，再代入弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)；（2）假設(shè)存在，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法表示出，要使為定值，則，解出后得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再用弦長(zhǎng)公式表示出三角形的面積，最后利用換元法和分離常數(shù)法結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最小值.【小問(wèn)1詳解】把代入得：，又.又，解得.雙曲線方程為.若直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè).，舍去.若的斜率存在，設(shè)方程為，代入，化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，.，得，即.則..【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在，使得為定值.設(shè)方程為，代入，化簡(jiǎn)得.由題意..由題意.要使為定值，則，解之得.存在，使得為定值.此時(shí)令，..由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在遞減，在時(shí)取得最大值1.的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）求弦長(zhǎng)時(shí)，可用弦長(zhǎng)公式，韋達(dá)定理表示出兩根之和和兩根之積；（2）對(duì)于直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，可采用向量垂直數(shù)量積為零，求出關(guān)于參數(shù)的方程，再討論定點(diǎn)問(wèn)題；（3）求圓錐曲線中三角形的面積最值問(wèn)題時(shí)，可用弦長(zhǎng)公式表示出面積，再結(jié)合換元法或基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最值.（2024年湘J27長(zhǎng)沙一中適應(yīng)）18.如圖，已知拋物線，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任作兩條直線，分別與拋物線交于A，B與C，D.

（1）若的斜率分別為，求四邊形的面積；

（2）設(shè)

（?。┱业綕M足的等量關(guān)系；（【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）（?。└鶕?jù)題意，表示出直線的方程，結(jié)合過(guò)點(diǎn)，即可得到關(guān)系式；（ii）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與直線【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）（ⅰ）根據(jù)題意，表示出直線的方程，結(jié)合過(guò)點(diǎn)，即可得到關(guān)系式；（ii）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與直線的方程，即可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再將滿足的等量關(guān)系代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由已知，聯(lián)立直線與拋物線得，設(shè)，則，所以，聯(lián)立直線與拋物線得，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】（?。┮?yàn)?，所以的直線方程為，整理得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以①，所以滿足的等量關(guān)系為；（ⅱ）證明：由（?。┩砜傻芒?，同理可得AC：，BD：，聯(lián)立與方程，解出點(diǎn)坐標(biāo)，，，由①②得，代入點(diǎn)的縱坐標(biāo)則，所以點(diǎn)坐標(biāo)在直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是聯(lián)立與方程，解出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)上一問(wèn)的結(jié)論得到，，將其代入化簡(jiǎn)即可.（2024年湘J26衡陽(yáng)八中）18.已知雙曲線經(jīng)過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)的離心率分別為，且．

（1）求的方程；（【答案】（1）的方程為的方程為（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，，解方程即可求出，即可求出的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，由題意可得，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立可得，同理可得，即可求出直線的斜率為，再由基本不等式即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】依題意可得，得，由，得，解得，故的方程為的方程為．【小問(wèn)2詳解】易知，設(shè)，直線【答案】（1）的方程為的方程為（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，，解方程即可求出，即可求出的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，由題意可得，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立可得，同理可得，即可求出直線的斜率為，再由基本不等式即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】依題意可得，得，由，得，解得，故的方程為的方程為．【小問(wèn)2詳解】易知，設(shè)，直線的斜率分別為，則，在，即有，可得為定值．設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立可得恒成立，設(shè)，則有，可求得，設(shè)直線的方程為：，同理可得，則由可得：，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而，故等號(hào)可以取到．即當(dāng)取最小值時(shí)，，聯(lián)立，可解得，故的方程為：的方程為：，聯(lián)立可解得，即有．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（2）問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)在于設(shè)直線的斜率分別為，由題意可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程求得，聯(lián)立直線與橢圓的方程同理可得，即可求出直線的斜率為，再由基本不等式即可得出答案.（2024年湘J21一起考一模）19.已知雙曲線E：（，）一個(gè)頂點(diǎn)為，直線l過(guò)點(diǎn)交雙曲線右支于M，N兩點(diǎn)，記，，的面積分別為S，，.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，的值為.

（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由題意可得，再由結(jié)合三角形面積公式可求得，由此可得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由向量坐標(biāo)表示求得，代入雙曲線方程得，同理可得，再由韋達(dá)定理即可得到，得證；（3）由得到，結(jié)合（2）中結(jié)論可將式子化簡(jiǎn)為，再利用換元法與雙勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得m的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，則當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，不妨設(shè)，【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由題意可得，再由結(jié)合三角形面積公式可求得，由此可得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由向量坐標(biāo)表示求得，代入雙曲線方程得，同理可得，再由韋達(dá)定理即可得到，得證；（3）由得到，結(jié)合（2）中結(jié)論可將式子化簡(jiǎn)為，再利用換元法與雙勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得m的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，則當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，不妨設(shè)，由，得，將代入方程，得，解得，所以雙曲線E的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，，由與，得，即，，將代入E的方程得：，整理得：①，同理由可得②．由①②知，，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根．由韋達(dá)定理知，所以為定值．【小問(wèn)3詳解】又，即，整理得：，又，不妨設(shè)，則，整理得，又，故，而由（2）知，，故，代入，令，得，由雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以m的取值范圍為．.【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的范圍問(wèn)題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.（2024年鄂J10二次T8聯(lián)考）18.已知雙曲線的方程為，其中是雙曲線上一點(diǎn)，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，雙曲線在點(diǎn)處的兩條切線記為與交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線的斜率分別為．

（1）證明：；（【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得斜率表達(dá)式，利用自變量范圍即可得出證明；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得其斜率為，同理可得，聯(lián)立直線的方程解得，再通過(guò)聯(lián)立的方程利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可求得，可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即，可得.【小問(wèn)1詳解】證明：如下圖所示：由【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得斜率表達(dá)式，利用自變量范圍即可得出證明；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得其斜率為，同理可得，聯(lián)立直線的方程解得，再通過(guò)聯(lián)立的方程利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可求得，可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即，可得.【小問(wèn)1詳解】證明：如下圖所示：由，可得；所以，又在雙曲線上，．因此，易知，由可知，所以；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，設(shè)直線的斜率分別為，直線的方程為，聯(lián)立方程，由可得，同理可得；聯(lián)立的方程，消去可得；將，代入上式，化簡(jiǎn)整理可得；設(shè)直線的方程分別為，則可得，聯(lián)立雙曲線與直線方程，消去可得關(guān)于的二次方程，該方程的兩根為；由韋達(dá)定理可知，可得；同理可得，所以，再將表達(dá)式代入中整理可得：，再將代入上式整理可得；所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，故；可得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)直線和切線方程，通過(guò)與雙曲線聯(lián)立求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的表達(dá)式，并通過(guò)化簡(jiǎn)變形求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，即可求得，可得.（2024年冀J13示范高中）17.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4.

（1）求C的方程；(【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率結(jié)合實(shí)軸長(zhǎng)，可求得a,b,即得答案;（2）根據(jù)O，A，N，M四點(diǎn)共圓結(jié)合幾何性質(zhì)可推出，設(shè)，，，從而可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出t,再設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線與直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，代入t的表達(dá)式中化簡(jiǎn)，可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?qū)嵼S長(zhǎng)為4，即，，又，所以，，故C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由O【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率結(jié)合實(shí)軸長(zhǎng)，可求得a,b,即得答案;（2）根據(jù)O，A，N，M四點(diǎn)共圓結(jié)合幾何性質(zhì)可推出，設(shè)，，，從而可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出t,再設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線與直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，代入t的表達(dá)式中化簡(jiǎn)，可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?qū)嵼S長(zhǎng)為4，即，，又，所以，，故C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由O，A，N，M四點(diǎn)共圓可知，，又，即，故，即，所以,設(shè)，，，由題意可知，則直線，直線，因?yàn)镸在直線l上，所以，代入直線AG方程，可知，故M坐標(biāo)為，所以，又，由，則，整理可得，當(dāng)直線GH斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意，故設(shè)直線，代入雙曲線方程：中，可得，所以，，又，所以,故，即，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程的求解，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題，解答時(shí)要注意明確點(diǎn)線的位置關(guān)系，能設(shè)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出參