第18講函數(shù)的應用（二）

第18講：函數(shù)的應用（二）【考點歸納】考點一、求函數(shù)的零點或者參數(shù)考點二、零點存在性定理的應用考點三、根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍考點四、根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍考點五、二分法概念的理解考點六、用二分法求方程的近似解考點七：根據(jù)指對冪的零點分布求參數(shù)考點八：函數(shù)模型的應用考點九：函數(shù)的零點和方程綜合【知識梳理】知識點一函數(shù)的零點對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點．知識點二函數(shù)的零點、方程的解、函數(shù)圖象與x軸的交點方程f(x)＝0的實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．知識點三函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．知識點四二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．由函數(shù)的零點與相應方程根的關(guān)系，可用二分法來求方程的近似解．知識點五用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0.2．求區(qū)間(a，b)的中點c.3．計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：(1)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點；(2)若f(a)·f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c.4．判斷是否達到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟(2)～(4)．以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷．【例題詳解】題型一、求函數(shù)的零點或者參數(shù)1．（2324高一上·廣西柳州·期末）已知函數(shù)的零點為和3，則（

）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】由二次函數(shù)的零點與二次函數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系即可得解.【詳解】由題意二次函數(shù)的零點為和3，所以，所以.故選：A.2．（2324高一上·四川廣安·期末）已知函數(shù)的兩個零點分別是和3，函數(shù)，則函數(shù)在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)韋達定理得到，得到，得到其單調(diào)性，從而得到值域.【詳解】由題意得，解得，故，由于與在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故，，故在上的值域為.故選：B3．（2324高一上·天津紅橋·階段練習）已知函數(shù)，，若函數(shù)有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為和有兩個交點，畫出兩個函數(shù)的圖形，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)，因為，令，即，由函數(shù)有2個零點，即和有兩個交點，在同一坐標系內(nèi)畫出兩個函數(shù)的圖形，如圖所示，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使得函數(shù)有2個零點，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.題型二、零點存在性定理的應用4．（2324高一下·江蘇揚州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點存在性定理分析判斷即可.【詳解】令，在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，對于A，因為，，所以的零點不在內(nèi)，所以A錯誤，對于B，因為，，所以的零點不在內(nèi)，所以B錯誤，對于C，因為，，所以的零點在內(nèi)，所以方程的解所在區(qū)間為，所以C正確，對于D，因為，，所以的零點不在內(nèi)，所以D錯誤，故選：C5．（2324高一上·安徽馬鞍山·期末）函數(shù)的零點屬于區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理判斷即可.【詳解】依題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以函數(shù)的零點屬于區(qū)間是.故選：D6．（2324高一上·山西運城·期末）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由零點存在定理即可求解.【詳解】由題意在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B.題型三、根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍7．（2023·山西陽泉·三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)及函數(shù)零點的存在性定理即可求解.【詳解】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在區(qū)間存在零點，所以，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：B.8．（2223高一上·江蘇南通·期中）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，解得，，即可求得m的取值范圍．【詳解】令，即，解得，，又因為函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，，所以，所以實數(shù)m的取值范圍是．故選：C．9．（2223高一上·湖南常德·階段練習）已知一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，則m的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】令，利用零點存在性定理，建立參數(shù)所滿足的不等式，解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．【詳解】因為元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，令，則由題意可得，即解得，又，可得.故選：A.題型四、根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍10．（2324高一上·福建廈門·期末）已知函數(shù)恰有三個零點,則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】因為,對進行分類討論,利用數(shù)形結(jié)合的方法即可得到結(jié)果.【詳解】因為,①當時,做出兩段拋物線的圖像如圖:

此時函數(shù)只有兩個零點,不滿足題意;②當時,,做出兩段拋物線的圖像如圖:

此時函數(shù)恰有三個零點,滿足題意;③當時,因為在有兩個零點,且當時兩段拋物線的函數(shù)值相等,若要滿足題意,則兩段拋物線的圖像應該如圖:

此時,滿足題意;綜上實數(shù)的取值范圍為.故選:B.11．（2324高一上·廣東佛山·期末）若函數(shù)在上恰有一個零點，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)零點的定義，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分，和，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)在上恰有一個零點，當時，可得，令，解得，符合題意；當時，由，則滿足，解得，即；當時，要使得函數(shù)在上恰有一個零點，則滿足或，即，解得或，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為或.故選：C.12．（2324高一上·廣東汕尾·期末）若函數(shù)，恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，則有，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得答案.【詳解】由，得，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：令，則，由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，從而函數(shù)有3個零點，但對恒成立，即對恒成立，又，則，所以.故選：D.題型五、二分法概念的理解13．（2324高一上·吉林延邊·期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二分法求零點的要求，逐一分析各選項即可得解.【詳解】不能用二分法求零點的函數(shù)，要么沒有零點，要么零點兩側(cè)同號；對于A，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，故可用二分法求零點；對于B，有唯一零點，但恒成立，故不可用二分法求零點；對于C，有兩個不同零點，且在每個零點左右兩側(cè)函數(shù)值異號，故可用二分法求零點；對于D，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，故可用二分法求零點.故選：B.14．（2324高一上·浙江杭州·期中）下列方程中不能用二分法求近似解的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用二分法的定義一一判定即可.【詳解】根據(jù)二分法的要求，在上，有才能用二分法，對于A，顯然在定義域上單調(diào)遞增，且，可以使用二分法，故A錯誤；對于B，在定義域上連續(xù)，有，可以使用二分法，故B錯誤；對于C，在定義域上連續(xù)，且有，可以使用二分法，故C錯誤；對于D，，且只有一個零點，故不可以使用二分法，故D正確.故選：D15．（2223高一上·浙江·期末）用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零點存在定理計算求解.【詳解】設，顯然函數(shù)圖象是連續(xù)的，則有，，，，，所以，，，，故區(qū)間可以作為初始區(qū)間，故A，C，D錯誤.故選：B.題型六、用二分法求方程的近似解16．（2324高一上·湖南長沙·期末）設，用二分法求方程在上的近似解時，經(jīng)過兩次二分法后，可確定近似解所在區(qū)間為（

）A．或都可以 B．C． D．不能確定【答案】B【分析】借助二分法定義計算即可得.【詳解】，，第一次取，有，故第二次取，有，故此時可確定近似解所在區(qū)間為.故選：B.17．（2324高一上·湖南株洲·期末）已知函數(shù)，現(xiàn)用二分法求函數(shù)在內(nèi)的零點的近似值，則使用兩次二分法后，零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二分法的計算方法即可判斷.【詳解】由二分法可知，第一次計算，又，由零點存在性定理知零點在區(qū)間上，所以第二次應該計算，又，所以零點在區(qū)間.故選：B.18．（2324高一上·上海虹口·期末）若在用二分法尋找函數(shù)零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為，則實數(shù)和分別等于（

）A． B．2，3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合二分法的定義和題設條件，得出方程組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在至多有一個零點，又由依次確定了零點所在區(qū)間為，可得，即，解得.故選：A.題型七：根據(jù)指對冪的零點分布求參數(shù)19．（2324高一上·重慶長壽·期末）已知函數(shù)的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點的橫坐標，畫出圖象，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的零點即為與的圖象的交點橫坐標，函數(shù)的零點即為與的圖象的交點橫坐標，函數(shù)的零點即為與的圖象的交點橫坐標，在同一坐標系內(nèi)，分別畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可得：，所以.故選：B.20．（2223高一下·河北石家莊·期中）設函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的解，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖象，及直線，由圖象知，，求出，代入后利用函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)論．【詳解】如圖，作出函數(shù)有圖象，再作直線，時，滿足題意，由圖知，，∴，即，由得，因此，，易知函數(shù)在時是增函數(shù)，所以，故選：D．

21．（2223高一上·湖北黃岡·期末）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，作出函數(shù)的圖象，分析可知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不等的實根，令，利用二次函數(shù)的零點分布可得出關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因為關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，則關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不等的實根，設，則函數(shù)在內(nèi)有兩個不等的零點，所以，，解得.故選：A.題型八：函數(shù)模型的應用22．（2324高一下·河北石家莊·階段練習）某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，已知第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量（）滿足函數(shù)模型（），其中為改良工藝的次數(shù)，假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．14次 B．15次 C．16次 D．17次【答案】C【分析】依題意列出不等式，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及對數(shù)運算解不等式即可求得答案.【詳解】，由，得，即，得，又，所以，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要16次.故選：C23．（2324高一下·廣東茂名·階段練習）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信通帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬W在原來的基礎(chǔ)上增加20%，信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（

）（附：）A．48% B．37% C．28% D．15%【答案】A【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計算信噪比為1000和5000時的比值即可求解.【詳解】由題意可得，當時，，當時，，所以，所以的增長率約為.故選：A24．（2324高一下·安徽蕪湖·階段練習）血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是，當血氧飽和度低于時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時間（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù).已知，給氧1小時后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達到，則至少還需要給氧時間（單位：時）為（

）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．1.5【答案】B【分析】根據(jù)題意利用指數(shù)模型表達式可求得，代入數(shù)據(jù)計算可得至少還需要給氧時間為0.5小時.【詳解】設使得血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要小時，由題意可得，兩邊同時取自然對數(shù)并整理，得，；則，則給氧時間至少還需要0.5小時.故選：B題型九：函數(shù)的零點和方程綜合25．（2324高一上·重慶·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)若，判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；(3)設，且在區(qū)間上不存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)在上是單調(diào)遞增的，證明見解析(3)【分析】（1）法一由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和奇函數(shù)關(guān)于原點對稱得出；法二奇函數(shù)的定義和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出；（2）由函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為求令在上有零點，則在上有解，再由單調(diào)性列出不等式，求出，再取補集即可.【詳解】（1）（法一）因為有意義時，，又因為為奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱，即經(jīng)檢驗適合題意.（法二）由知，即，則，經(jīng)檢驗，時，無意義，故.（2）在上是單調(diào)遞增的，證明如下：,設，則，由知，，則且，所以從而，即，則在上是單調(diào)遞增函數(shù).（3）令在上有零點，則在上有解，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減知：，即，那么在區(qū)間上不存在零點時，26．（2324高一上·廣東佛山·期末）已知數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，其中為常數(shù)．(1)求函數(shù)和的解析式；(2)若函數(shù)的最小值為16，求的值：(3)在（2）的條件下，討論函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】(1)；.(2)(3)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，與已知條件聯(lián)立方程組，即可求得.（2）化簡，利用基本不等式，對分類討論，求出的最小值，從而求出的值.（3）先化簡，換元令，求得，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)與的交點問題，即可求解.【詳解】（1）因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，又因為①，所以，即②，由①②得，，.（2），，當且僅當，即等號成立，所以當時，，不滿足題意，舍去；當時，，所以或（舍去）；當時，有最大值，無最小值，舍去，綜上，的值為.（3）由（2）知，所以，，所以，令，因為，所以，當且僅當，即等號成立，所以，所以，所以，即，因為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，時，，時，，的值域為，為偶函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性易得時為增函數(shù)，值域為，簡圖如下：①當，即時，與無交點，所以的零點有個；②當，即時，與有個公共點，且公共點的橫坐標，當時，根據(jù)的圖象可知，與有2個交點，所以的零點有2個.③當，即時，與有個公共點，且公共點的橫坐標，當時，與各有2個公共點，所以的零點有4個；④當，即時，與有個公共點，且公共點的橫坐標為和，當時，根據(jù)的圖象可知，與有1個公共點；當時，根據(jù)的圖象可知，與有2個公共點，所以的零點有3個.⑤當，即時，且公共點的橫坐標，當時，根據(jù)的圖象可知，與有2個公共點，所以的零點有2個.綜上，當時，的零點為個；當或時，的零點為2個；當時，的零點有3個；當時，的零點為個.【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)的判定方法主要有：①解方程法：根的個數(shù)就是零點個數(shù)；②數(shù)形結(jié)合法：把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象公共點的個數(shù)問題，結(jié)合圖象判定.27．（2324高一上·重慶江北·期末）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若函數(shù)，且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)5(2)【分析】（1）首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最值；（2）首先化簡函數(shù)，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，即可求解.【詳解】（1），，，當，，所以的值域為，所以函數(shù)的最大值為5；（2），令，則，，令，整理可得①，，作出簡圖，如下，當時，，顯然不合題意，當時，有兩個根，當時，有一個根，因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，所以①式有兩個根，且一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，設，則有或，即或，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【專項訓練】一、單選題28．（2324高一下·四川達州·期中）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點存在性定理可得到答案.【詳解】因為和均是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，又，，，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：C.29．（2324高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)已知條件先畫出在不同定義域內(nèi)的圖象，需要求解函數(shù)的零點個數(shù)，令，利用函數(shù)的圖象求解和兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)即可.【詳解】由題意可知，的零點個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖象交點個數(shù)，它們的函數(shù)圖象如圖所示.故選：C．30．（2324高一下·海南·階段練習）指數(shù)函數(shù)模型在生活生產(chǎn)中應用廣泛，如在疾病控制與統(tǒng)計?物理學?生物學?人口預測等問題上都可以應用其進行解決.研究發(fā)現(xiàn)，某傳染病傳播累計感染人數(shù)隨時間（單位：天）的變化規(guī)律近似有如下的函數(shù)關(guān)系：，其中為常數(shù)，為初始感染人數(shù).若前3天感染人數(shù)累計增加了，則感染人數(shù)累計增加需要的時間大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．10.5天 B．9天 C．8天 D．6天【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型，結(jié)合指數(shù)與對數(shù)運算列方程求解即可得結(jié)論.【詳解】當時，感染人數(shù)累計增加了，則，所以，則，所以，所以感染人數(shù)累計增加可得，則，此時，所以，故感染人數(shù)累計增加需要的時間大約為天.故選：B.31．（2324高一下·江蘇揚州·階段練習）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得，，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應計算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理可知零點，結(jié)合對二分法的理解即可得出結(jié)果.【詳解】因為，由零點存在性知：零點，根據(jù)二分法，第二次應計算，即.故選：B.32．（2324高三上·陜西西安·期末）已知函數(shù)若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出的大致圖象，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為與的圖象有4個不同交點，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意，作出的大致圖象，如圖所示，要使得，即函數(shù)與的圖象有4個不同交點，則，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：A.33．（2324高一上·安徽淮南·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意方程有兩個不同的解，利用韋達定理得，則轉(zhuǎn)化為求的范圍即可.【詳解】，作出函數(shù)圖象如圖：

因為函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，所以或，且方程即有兩個不同的解.故，所以，因為或，所以或，所以.故選：B34．（2324高一上·江西撫州·期末）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在時，成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由的單調(diào)性及，得到在區(qū)間有解，分離出參數(shù)即可求解.【詳解】由題意知．設．則．因為在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增．設．若，則可得在區(qū)間有解．在區(qū)間上有解，且在區(qū)間上有解，且在區(qū)間恒成立．．故選：D.35．（2324高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的根，它們從小到大依次記為，則（

）A． B．C． D．函數(shù)有6個零點【答案】B【分析】作出函數(shù)的圖象，對于A：直接觀察即可；對于B：通過求解；對于C：根據(jù)圖像得到，，進一步計算求解；對于D：令，求出的根，代入，繼續(xù)根據(jù)圖像可求根的個數(shù).【詳解】作出函數(shù)的圖象如下：對于A：關(guān)于x的方程有四個不同的根，即函數(shù)與的圖象有4個交點，由圖象可得，A錯誤；對于B：由圖可知，解得，B正確；對于C：由圖象知，所以，且，所以，又由，所以，C錯誤；對于D：對于函數(shù)函數(shù)，令，則，可得，當時，由圖可得，有個根，當時，由圖可得，有個根，當時，由圖可得，有個根，當時，由圖可得，有個根，綜合得函數(shù)有個零點，D錯誤.故選：B.【點睛】方法點睛：對于零點個數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點個數(shù)來求解，直觀，方便.二、多選題36．（2324高一上·浙江杭州·期末）函數(shù)，有且，則下列選項成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用對數(shù)性質(zhì)判斷選項A；再利用零點存在定理判斷得，從而判斷選項B、C、D.【詳解】因為有且所以，即，得所以，且所以A正確（因為），故即，令當時，當時，，而故在之間必有解，所以存在，使得所以C正確，所以B不正確，所以D正確

故選：ACD【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.37．（2324高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實根，則實數(shù)可能的取值有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由題意得方程最多有兩個解，一元二次方程最多有兩個根，所以若要滿足題意，則一元二次方程在時，有兩個不同的根，由此即可列出不等式組求解.【詳解】如圖所示，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象和直線，如圖：當時，方程無解，當或時，方程有唯一解，當時，方程有兩個解，而一元二次方程最多有兩個根，由題意若關(guān)于的方程有4個不同的實根，則當且僅當，一元二次方程在時，有兩個不同的根，令，所以，解不等式組得或，對比選項可知實數(shù)可能的取值有.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：通過數(shù)形結(jié)合得方程的根的情況，進一步將原問題轉(zhuǎn)換為一元二次方程根的分布問題即可列出不等式組求解.38．（2324高一上·遼寧朝陽·期末）在用“二分法”求函數(shù)零點的近似值時，若第一次所取區(qū)間為，則第二次所取區(qū)間可能是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用二分法的定義得到答案.【詳解】由題知第一次所取區(qū)間為，取中間值，則第二次所取區(qū)間可能是或.故選：BD.39．（2324高一上·廣西賀州·期末）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)有3個零點B．若函數(shù)有2個零點，則C．若關(guān)于的方程有4個不等實根，，，，則D．關(guān)于的方程有5個不等實數(shù)根【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，依次分析選項是否正確，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，由此作出函數(shù)的草圖：依次分析選項：對于A：由圖象易知曲線與y軸有兩個交點，故函數(shù)有2個零點，故A錯誤；對于B：令，可得，則函數(shù)的零點個數(shù)即為與的圖象的交點個數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，由圖象可知，B正確；對于C：若關(guān)于的方程有四個不等實根，則與的圖象有四個交點.不妨設，由圖象可得：，且，，所以，故C正確；對于D：因為，解得或，結(jié)合圖象可知：有一個根，有四個根，所以關(guān)于的方程有5個不等實數(shù)根，D正確．故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)圖像及應用，關(guān)鍵是利用圖像并結(jié)合對稱性解決CD.三、填空題40．（2324高一上·浙江杭州·期末）函數(shù)的零點，則的值為．【答案】【分析】由函數(shù)單調(diào)性以及零點存在定理得，由此即可得解.【詳解】因為和均單調(diào)遞增，所以也單調(diào)遞增，又注意到，所以由零點存在定理可知函數(shù)的唯一零點，所以，即有.故答案為：.41．（2324高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為.【答案】【分析】畫出函數(shù)的圖象，令，可得，求得的值，結(jié)合圖象，根據(jù)交點的個數(shù)，即可求解.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，令，即，令，可得，若，令，解得或；若，令，解得，當時，即，此時函數(shù)和的圖象有4個交點，即4個零點；當時，即，此時函數(shù)和的圖象有1個交點，即1個零點；當時，即，此時函數(shù)和的圖象有1個交點，即1個零點；當時，即，此時函數(shù)和的圖象有1個交點，即1個零點.綜上可得，函數(shù)的零點個數(shù)為7個.故答案為：.42．（2324高一上·湖南長沙·期末）已知分別是函數(shù)與的零點，若，則的取值范圍為.【答案】【分析】分別為與圖象交點的橫坐標，而與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與直線垂直，從而可得，再得出的范圍后即可得結(jié)論．【詳解】由題意，分別為與圖象交點的橫坐標，而與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與直線垂直，因此這兩個交點關(guān)于直線對稱，如圖所示：，∵，∴，.故答案為：．43．（2324高一上·云南昭通·期末）已知函數(shù)函數(shù)有個零點；若方程有三個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是.【答案】2【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象，即可判斷出的零點個數(shù)及有三個不相等的實數(shù)根時，k的取值范圍.【詳解】如下圖所示，的零點有兩個；方程有三個不相等的實數(shù)根，即，即函數(shù)的圖象與直線有三個不同交點.結(jié)合函數(shù)的圖象，因為，則k的取值范圍是.故答案為：2；四、解答題44．（2324高一上·江蘇鹽城·期末）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值并用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)若方程在內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)求解，檢驗即可，根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)把原問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)值域及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解值域即可求解.【詳解】（1）因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，于是得，解得，所以，滿足，函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：，，，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，于是得，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）由是上的奇函數(shù)，可化為，由在上單調(diào)遞增可得，即，，則，令，當，即時，，又，所以當時，，所以實數(shù)的取值范圍是.45．（2324高一上·安徽安慶·期末）茶是中華民族的舉國之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞于魯周公，始于唐朝，興于宋代，中國茶文化起源久遠，歷史悠久，文化底蘊深厚，是我國文化中的一朵奇葩！我國人民歷來就有“客來敬茶”的習慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌．立德中學利用課余時間開設了活動探究課《中國茶文化》，小明同學用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室內(nèi)，開始時測得這杯茶的溫度為100℃，經(jīng)過1分鐘測得其溫度變?yōu)?0℃，再經(jīng)過1分鐘測得其溫度變?yōu)?5℃．小明想利用上述數(shù)據(jù)建立這杯茶的溫度y（單位：℃）隨經(jīng)過的時間t（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，選用了兩種函數(shù)模型：①（為常數(shù)，且）；②（為常數(shù)，）．(1)請通過計算幫小明同學選出恰當?shù)暮瘮?shù)模型；(2)現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度不要超過60℃，請利用（1）中選出的模型該杯茶泡好后到適宜飲用至少需要等待多長時間？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)2.5分鐘【分析】（1）分別代入得到函數(shù)模型，結(jié)合生活實際進行判斷即可；（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)模型解不等式即可.【詳解】（1）若選用①，根據(jù)條件