第十一章　第四節(jié)　事件的獨(dú)立性、條件概率與全概率公式

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第四節(jié)事件的獨(dú)立性、條件概率與全概率公式【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.2.了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系,會(huì)利用乘法公式計(jì)算概率.3.會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【命題說(shuō)明】考向考法高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查相互獨(dú)立事件、條件概率、全概率;條件概率、全概率是高考熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2025年高考中條件概率、全概率仍會(huì)出題.可能與其他知識(shí)交匯命題.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.相互獨(dú)立事件(1)概念:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.

(2)性質(zhì):若事件A與B相互獨(dú)立,那么A與B,A與B,A與B也都相互獨(dú)立.2.條件概率(1)概念:一般地,設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)=P(AB)P(A(2)兩個(gè)公式:①利用古典概型:P(B|A)=n(②概率的乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A).

微點(diǎn)撥P(B|A)與P(A|B)是兩個(gè)不同的概率,前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率.3.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意的事件B?Ω,有P(B)=

∑i=1nP(Ai)·P(B|Ai)基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類(lèi)型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)于任意兩個(gè)事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(×)提示:因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立時(shí)公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以(1)錯(cuò)誤;(2)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B).(√)提示:因?yàn)槭录嗀,B相互獨(dú)立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)=P(AB)P((3)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A,“第二枚正面朝上”為事件B,則A,B相互獨(dú)立.(√)提示:因?yàn)閽仈S2枚質(zhì)地均勻的硬幣,第一枚正面朝上,與第二枚正面的朝向無(wú)關(guān),所以(3)正確;(4)若事件A1與A2是對(duì)立事件,則對(duì)任意的事件B?Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(√)提示:因?yàn)槭录嗀1與A2是對(duì)立事件,所以B=A1B+A2B,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以(4)正確.2.(必修第二冊(cè)P253習(xí)題4改條件)甲、乙兩人獨(dú)立地破解同一個(gè)謎題,破解出此謎題的概率分別為12,23,則此謎題沒(méi)被破解出的概率為(A.16 B.13 C.56 【解析】選A.設(shè)“甲獨(dú)立地破解出此謎題”為事件A,“乙獨(dú)立地破解出此謎題”為事件B,則P(A)=12,P(B)=23,故P(A)=12,P(B)=13,所以P(AB)=12×13.(條件概率公式使用錯(cuò)誤)已知3件次品和2件正品混在一起,現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,則在第一次取出次品的條件下,第二次取出的也是次品的概率是()A.310 B.35 C.12 【解析】選C.設(shè)事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=35,P(AB)=35×24=310,則在第一次取出次品的條件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)=P(4.(2022·天津高考)52張撲克牌,沒(méi)有大小王,無(wú)放回地抽取兩次,則兩次都抽到A的概率為;已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為.

【解析】由題意,設(shè)第一次抽到A為事件B,第二次抽到A為事件C,則P(BC)=452×351=1221,P(B)=452=113,所以P(C|B)=P答案:1221【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一事件的相互獨(dú)立性角度1事件獨(dú)立性的判斷[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則()A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立【解析】選B.設(shè)甲、乙、丙、丁事件發(fā)生的概率分別為P(A),P(B),P(C),P(D).則P(A)=P(B)=16,P(C)=56×6=536,P(D)=6對(duì)于A選項(xiàng),P(AC)=0;對(duì)于B選項(xiàng),P(AD)=16×6=1對(duì)于C選項(xiàng),P(BC)=16×6=1對(duì)于D選項(xiàng),P(CD)=0.若兩事件X,Y相互獨(dú)立,則P(XY)=P(X)P(Y),因此B選項(xiàng)正確.解題技法兩個(gè)事件相互獨(dú)立的判斷方法(1)定義法:由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.(2)充要條件法:事件A,B相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(多選題)(2024·吉林模擬)口袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的白球和黑球各2個(gè),從中不放回地依次取出2個(gè)球,事件A=“取出的兩球同色”,事件B=“第一次取出的是白球”,事件C=“第二次取出的是白球”,事件D=“取出的兩球不同色”,則()A.PB=1B.B與C互斥C.A與B相互獨(dú)立D.A與D互為對(duì)立【解析】選ACD.設(shè)2個(gè)白球分別為a1,a2,2個(gè)黑球分別為b1,b2,則樣本空間為Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b2),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1)},共12個(gè)基本事件.事件A={(a1,a2),(a2,a1),(b1,b2),(b2,b1)},共4個(gè)基本事件;事件B={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2)},共6個(gè)基本事件;事件C={(a1,a2),(a2,a1),(b1,a1),(b1,a2),(b2,a1),(b2,a2)},共6個(gè)基本事件;事件D={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b2,a1),(b2,a2)},共8個(gè)基本事件,對(duì)于A,由P(B)=612=1對(duì)于B,因?yàn)锽∩C≠?,所以事件B與C不互斥,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)镻(A)=412=13,P(B)=612=12,P(AB)=則P(AB)=P(A)·P(B),故事件A與B相互獨(dú)立,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)锳∩D=?,A∪D=Ω,所以事件A與D互為對(duì)立,故D正確.角度2獨(dú)立性事件的概率[例2](2023·臨沂模擬)“11分制”乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10∶10平后,若甲先發(fā)球,兩人又打了2個(gè)球后該局比賽結(jié)束的概率為;若乙先發(fā)球,兩人又打了4個(gè)球后該局比賽結(jié)束,則甲獲勝的概率為.

【解析】記兩人又打了X個(gè)球后該局比賽結(jié)束,設(shè)雙方10∶10平后的第k個(gè)球甲得分為事件Ak(k=1,2,3…),則P(X=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=0.5×0.4+0.5×0由乙先發(fā)球,且甲獲勝的概率P=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5=0.答案:0.50.1解題技法求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積.(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2020·全國(guó)Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為12(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.【解析】(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為116(2)根據(jù)賽制,至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.比賽四場(chǎng)結(jié)束,共有三種情況:甲連勝四場(chǎng)的概率為116乙連勝四場(chǎng)的概率為116丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為18.所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1-116-116-1(3)丙最終獲勝有兩種情況:比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場(chǎng)開(kāi)始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負(fù)勝,勝負(fù)空勝,負(fù)空勝勝,概率分別為116,18,因此丙最終獲勝的概率為18+116+18+1【加練備選】某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成,元件1和元件2同時(shí)正常工作,或元件3正常工作,則部件正常工作.設(shè)三個(gè)電子元件正常工作的概率均為34,且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件正常工作的概率為(A.764 B.1532 C.2732 【解析】選D.討論元件3正常與不正常:第一類(lèi),元件3正常,上部分正常或不正常都不影響該部件正常工作,則正常工作的概率為34×1=34;第二類(lèi),元件3不正常,上部分必須正常,則正常工作的概率為14×(34×34)=964,故該部件正常工作的概率為考點(diǎn)二條件概率[例3](1)七巧板是中國(guó)民間流傳的智力玩具.它是由如圖所示的七塊板組成:五塊等腰直角三角形(其中兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形.可以拼成人物、動(dòng)物、植物、房亭、樓閣等多種圖案.現(xiàn)從七巧板中取出兩塊,已知取出的是三角形,則兩塊板恰好是全等三角形的概率為()A.35 B.25 C.27 【解析】選D.設(shè)事件A為“從七巧板中取出兩塊,取出的是三角形”,事件B為“兩塊板恰好是全等三角形”,則P(AB)=2C72=221,P(A)=C52C72=1021,所以P((2)(2024·郴州模擬)第二屆湖南旅游發(fā)展大會(huì)于2023年9月15日至17日在郴州舉行,為讓廣大學(xué)生知曉郴州,熱愛(ài)郴州,親身感受“走遍五大洲,最美有郴州”綠色生態(tài)研學(xué),現(xiàn)有甲、乙兩所學(xué)校從萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地、王仙嶺旅游風(fēng)景區(qū)、雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué),記事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地”,事件B為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”,則P(B|A)=()A.15 B.45 C.34 【解析】選B.依題意,甲、乙隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)的試驗(yàn)有32個(gè)基本事件,事件A含有的基本事件數(shù)是2×2+1=5,則P(A)=59事件AB含有的基本事件數(shù)為2×2=4,則P(AB)=49,所以P(B|A)=P(AB解題技法求條件概率的常用方法(1)定義法:P(B|A)=P((2)樣本點(diǎn)法:P(B|A)=n(對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛(ài)好滑冰,50%的同學(xué)愛(ài)好滑雪,70%的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪,在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛(ài)好滑雪,則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為()A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1【解析】選A.根據(jù)題意,在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),設(shè)選出的同學(xué)愛(ài)好滑冰為事件A,選出的同學(xué)愛(ài)好滑雪為事件B,由于該地中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛(ài)好滑冰,50%的同學(xué)愛(ài)好滑雪,70%的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪,則P(B)=0.5,同時(shí)愛(ài)好兩個(gè)項(xiàng)目的占該地中學(xué)生總?cè)藬?shù)的50%+60%-70%=40%,則P(AB)=0.4,則P(A|B)=P(AB)P(B2.(2024·雅安模擬)甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動(dòng)中,準(zhǔn)備從①②③④⑤5個(gè)項(xiàng)目中分別隨機(jī)選擇其中一項(xiàng),記事件A:甲和乙選擇的活動(dòng)各不同,事件B:甲和乙恰好一人選擇①,則P(B|A)=()A.15 B.25 C.925 【解析】選B.由題意知,nA=A52=20,nAB=C21A41=8,所以PB考點(diǎn)三全概率公式的應(yīng)用[例4](1)一份新高考數(shù)學(xué)試卷中有8道單選題,小胡對(duì)其中5道題有思路,3道題完全沒(méi)有思路.有思路的題做對(duì)的概率是0.9,沒(méi)有思路的題只能猜一個(gè)答案,猜對(duì)答案的概率為0.25,則小胡從這8道題目中隨機(jī)抽取1道做對(duì)的概率為()A.79160 B.35 C.2132 【解析】選C.設(shè)事件A表示“小胡做對(duì)”,事件B表示“小胡選到有思路的題”,則小胡從這8道題目中隨機(jī)抽取1道做對(duì)的概率P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=58×0.9+38×0.25=(2)(2024·門(mén)頭溝模擬)同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠商供應(yīng).由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知,三家產(chǎn)品的正品率分別為0.95,0.90,0.80,甲、乙、丙三家產(chǎn)品數(shù)占比例為2