33-第三章第三節(jié)(概率統(tǒng)計)

3.3隨機變量的獨立性第三章多維隨機變量及其分布

內(nèi)容簡介:隨機變量的獨立性是研究兩個或幾個隨機變量之間的影響關(guān)系.

獨立性是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的一個很重要的概念，同時也是非常實用的方法,它是由隨機事件的相互獨立性引申而來的.

我們重點學(xué)習(xí)如何判定獨立性.

第三章多維隨機變量及其分布3.3隨機變量的獨立性3.3.1提出問題

(1)聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)

在X與Y獨立的情況下關(guān)系如何？一般情況下關(guān)系如何?

(2)離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量獨立的充要條件是什么？3.3.2預(yù)備知識

1.事件的獨立性,聯(lián)合分布律與聯(lián)合概率密度,邊緣分布律與邊緣概律密度；

2.充分必要條件,n重積分及其反常積表示.

分3.3.3建立理論與方法應(yīng)用

隨機變量的獨立性是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的一個很重要的概念,它是由隨機事件的相互獨立性引申而來的.我們知道,兩個事件A與B是相互獨立的,當(dāng)且僅當(dāng)它們滿足

P(AB)=P(A)P(B).

由此,可引出兩個隨機變量的相互獨立性.

設(shè)X,Y為兩個隨機變量,于是{X≤x},{Y≤y}為兩個隨機事件,則兩事件{X≤x},{Y≤y}相互獨立,相當(dāng)于下式成立P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y},或?qū)懗煞植己瘮?shù)形F(x,y)=FX(x)FY(y).

定義1

設(shè)X,Y是兩個隨機變量,其聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y).若F(x,y)=FX(x)FY(y),則稱隨機變量X與Y相互獨立.

具體地,對離散型與連續(xù)型隨機變量的獨立性,可分別用分布律與概率密度描述.

定理1(1)離散型隨機變量X與Y相互獨立的充要條件是對于(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj},

(3.3.1)

其中ij=1,2,….

(2)連續(xù)型隨機變量X與Y相互獨立的充要條件是

f(x,y)=fX(x)fY(y)

(3.3.2)幾乎處處成立.

例3.3.1

設(shè)隨機變量(X,Y)的分布律及邊緣分布律如下表：

XY01p.j12pi.問X與Y是否相互獨立？P{X=1,Y=1}==P{X=1}P{Y=1},P{X=0,Y=1}==P{X=0}P{Y=1},

解因為P{X=0,Y=2}==P{X=0}P{Y=2},因此X,Y是相互獨立的.P{X=1,Y=2}==P{X=1}P{Y=2},

講評此題是離散型隨機變量的獨立性問題.例3.3.2繼續(xù)解讀例3.2.2：設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為問連續(xù)型隨機變量X與Y是否相互獨立?解由例3.2.2已知關(guān)于Y的邊緣概率密度為

由x和y的對稱性，得到關(guān)于X的邊緣概率密度為

fX(x)fY(y)≠f(x,y).

可見,得到以下的關(guān)系:

因此,X與Y不相互獨立.講評此題是連續(xù)型隨機變量的獨立性問題.在第四章的不相關(guān)問題中還要用此題.

例3.3.3

設(shè)(X,Y)是二維正態(tài)隨機變量,它的概率密度為

試證X與Y相互獨立的充要條件是ρ=0.

證由例3.1.6知道,邊緣概率密度fX(x)和fY(y)的乘積為

反之,如果X和Y相互獨立,由于f(x,y),fX(x),fY(y)都是連續(xù)函數(shù),故對于所有的x和y有

特別地,令x=μ1,y=μ2,由上述等式得到從而ρ=0.

因此,如果ρ=0,則對于所有的實數(shù)x和y,有f(x,y)=fX(x)fY(y),即X和Y相互獨立.f(x,y)=fX(x)fY(y).

隨機變量的獨立性往往由實際問題確定.在獨立的情況下,邊緣分布唯一確定聯(lián)合分布,這樣就將多維隨機變量的問題轉(zhuǎn)化為一維隨機變量的問題.所以獨立性是非常值得重視的概念之一.

定理2

對于二維正態(tài)隨機變量(X,Y),X與Y相互獨立的充要條件是參數(shù)ρ=0.

綜上所述,得到以下的重要結(jié)論:講評:

關(guān)于多個隨機變量的有關(guān)理論,可由二維隨機變量的一些概念推廣得到.

n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)定義為F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn},

其中x1,x2,…,xn為任意實數(shù).

若存在非負函數(shù)f(x1,x2,…,xn),使得對于任意實數(shù)x1,x2,…,xn有如下的關(guān)系:2.n維隨機變量的相關(guān)理論則稱f(x1,x2,…,xn)為連續(xù)型隨機變量(X1,X2,…,Xn)的概率密度.

設(shè)(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)F(x1,x2,…,xn)為已知,則(X1,X2,…,Xn)的k(1≤k≤n)維邊緣分布函數(shù)就隨之確定.

例如(X1,X2,…,Xn)關(guān)于X1和關(guān)于(X1,X2)

的邊緣分布函數(shù)分別為

=F(x1,x2,…,xn)

又若f(x1,x2,…,xn)是(X1,X2,…,Xn)的概率密度,則(X1,X2,…,Xn)關(guān)于X1和關(guān)于(X1,X2)的邊緣概率密度分別為

定義2

若對于所有的實數(shù)x1,x2,…,xn有

則稱隨機變量X1,X2,…,Xn是相互獨立的.對于可列無窮多個隨機變量X1,X2,…,Xn,…,若其中任何有限多個隨機變量都是相互獨立的,則稱隨機變量序列X1,X2,…,Xn,…相互獨立.

以下定理在數(shù)理統(tǒng)計中很重要.定義3

若對于所有的x1,x2,…,xm;y1,y2,…,yn有F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn)=F1(x1,x2,…,xm)F2(y1,y2,…,yn)

(3.3.8).

其中F1,F2,F依次為隨機變量(X1,X2,…,Xm),

(Y1,Y2,…,Yn)和(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Yn)的分布函數(shù),則稱隨機變量(X1,X2,…,Xm)和

(Y1,Y2,…,Yn)是相互獨立的.證明略.

例如,若(X1,X2)和(Y1,Y2,Y3)獨立，則X1

與Y2獨立，X1+2X2與3Y1-Y2+5Y3獨立.

設(shè)(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…,Yn)相互獨立,則(1)Xi(i=1,2,…,m)和Yj(j=1,2,…,n)相互獨立.(2)

又若h,g是連續(xù)函數(shù),

則h(X1,X2,…,Xm)和g(Y1,Y2,…,Yn)也相互獨立.定理3

3.3.4小結(jié)與思考

本次課主要學(xué)習(xí)了:

(1)關(guān)于X和Y的相互獨立性以及隨機向量(X1,X2)與(Y1,Y2)的獨立性概念.

(2)要掌握關(guān)于離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量獨立的充要條件.思考題

(1)聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)在X與Y獨立的情況下關(guān)系如何?一般情況下關(guān)系如何?

(2)離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量相互獨立的充要條件是什么？

3.3.5習(xí)題布置

習(xí)題3.51、4、5

.參考文獻與聯(lián)系方式[1]鄭一,王玉敏,馮寶成.概率論與數(shù)理統(tǒng)計.大連理

工大學(xué)出版社，2015年8月.[2]鄭一,戚云松