專題02直線與直線的位置關(guān)系

【解析版】專題02直線與直線的位置關(guān)系本章主要討論三維空間中的直線與平面，從四個簡單直觀的公理（也稱為“基本事實(shí)”)出發(fā)，通過演繹推理的方法建立起關(guān)于空間的點(diǎn)、直線與平面之間基本關(guān)系的比較系統(tǒng)完整的理論；這方面的要求與“二期課改“教材相比，有明顯的提高，因此課程的難度也略有增大；作這樣變化的目的在于克服學(xué)生空間直觀想象和邏輯推理上的不足；所以，充分利用教材的內(nèi)容但不要超越教材的難度，注意給學(xué)生鋪設(shè)好從平面到立體的臺階，聚焦培養(yǎng)學(xué)生的能力和索養(yǎng)；因此，在學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念與空間想象能力是學(xué)習(xí)立體幾何的關(guān)鍵；教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注空間圖形及其位置關(guān)系的多種表征方式；如實(shí)物、模型、圖形、符號及文字等，并通過不同表征方式的相互轉(zhuǎn)化來幫助學(xué)生理解空間概念、圖形和解決，用好長方體這一直觀的模型；一、《必修第二冊》目錄與內(nèi)容提要【本章教材目錄】第10章空間直線與平面10.1平面及其基本性質(zhì)10.1.1空間的點(diǎn)、直線與平面；10.1.2相交平面；10.1.3空間圖形的平面直觀圖的畫法；10.2直線與直線的位置關(guān)系10.2.1空間的平行直線；10.2.2異面直線；10.2.3兩條異面直線所成的角；10.3直線與平面的位置關(guān)系10.3.1直線與平面平行；10.3.2直線與平面垂直；10.3.3直線與平面所成的角；10.3.4三垂線定理；10.4平面與平面的位置關(guān)系10.4.1平面與平面平行；10.4.2二面角*10.5異面直線間的距離【本章內(nèi)容提要】1、立體幾何中的公理及其推論（1）公理1如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個平面上，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面上；（2）公理2不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個平面；推論1一條直線和這條直線外的一點(diǎn)確定一個平面；推論2兩條相交直線確定一個平面；推論3兩條平行直線確定一個平面；（3）公理3如果兩個不同的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線；（4）公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行；2、直線與直線的位置關(guān)系（1）有三種可能的位置關(guān)系：相交、平行、異面；（2）等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等；推論1如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或者互補(bǔ)；推論2如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；（3）異面直線的定義：不同在任何一個平面上的兩條直線叫做異面直線；（4）異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面上一點(diǎn)的直線，和此平面上不經(jīng)過該點(diǎn)的任何一條直線是異面直線；（5異面直線所成的角的定義：兩條異面直線平移到相交位置時所得到的銳角或直角，稱為這兩條異面直線所成的角；3、直線與平面的位置關(guān)系（1）直線與平面平行的判定定理：如果不在平面上的一條直線與這個平面上的一條直線平行，那么該直線與這個平面平行；（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，過這條直線的一個平面與此平面相交，那么其交線必與該直線平行；（3）線面垂直的定義：如果一條直線與平面上的任意一條直線都垂直，就說這條直線與這個平面互相垂直；（4）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與平面上的兩條相交直線都垂直，那么直線與該平面垂直；（5）直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；推論1：過一點(diǎn)有且只有一個平面與給定的直線垂直；推論:2：過一點(diǎn)有且只有一條直線與給定的平面垂直；（6）線面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角；（7）三垂線定理：平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直；4、平面與平面的位置關(guān)系（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面上的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行；（2）兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行；（3）一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，一個二面角的大小等于它的平面角的大??；（4）平面與平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直；（5）平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果果兩個平面垂直，那么其中一個平面上垂直于兩個平面交線的直線與另一個平面垂直；*5、異面直線間的距離（1）定理：對于任意給定的兩條異面直線，存在唯一的一條直線與這兩條直線都垂直并且相交；（2）定義：兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離；1、公理4文字語言符號語言圖形語言平行同一直線的兩條直線平行a//b，b//c?a//c2、等角定理文字語言圖形語言如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)；3、空間兩條直線的三種位置關(guān)系文字語言（是否有公共點(diǎn)）圖形語言共面直線相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線不同在任何一個平面上的兩條直線，沒有公共點(diǎn)；4、異面直線判定定理文字語言符號語言圖形語言異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面上一點(diǎn)的直線，和此平面上不經(jīng)過該點(diǎn)的任何一條直線都是異面直線；如圖，若AB∩α=B，A?α，a?α，B?a，?直線AB與α為異面直線5、異面直線所成的角文字語言異面直線所成的角的范圍圖形語言已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）；【注意】為了簡便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上；.（0°，90]；特別地，當(dāng)θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b.求兩條異面直線所成的角的一般步驟：（1）作：恰當(dāng)?shù)剡x擇一個點(diǎn)（經(jīng)常在其中一條線上取一點(diǎn)），作出（常用平移法)異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)；（2）證：證明(1)中所作出的角(或其補(bǔ)角)就是所求異面直線所成的角；（注：證明線線平行）（3）求：通過解三角形或其他方法，求出(1)中所構(gòu)造的角的大小；（注：假如所構(gòu)造的角的大小為α，若0°<α≤90°，則α即為所求異面直線所成角的大??；若90°<α<180°，則180°－α即為所求）；題型1、對公理4的直接理解例1、（1）已知a，b是平行直線，直線c∥直線a，則c與b()A．不平行B．相交C．平行D．垂直【提示】在空間，涉及平行問題注意構(gòu)建與公理4的聯(lián)系；【答案】C；【解析】∵a∥b，c∥a，∴c∥b.；（2）如圖所示，E，F(xiàn)分別是長方體A1B1C1D1?ABCD的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．【證明】設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連接EQ，QC1.∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EQ∥A1D1；又在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1，∴EQ∥B1C1（公理4），∴四邊形EQC1B1為平行四邊形．∴B1E∥C1Q，又∵Q，F(xiàn)是DD1，C1C兩邊的中點(diǎn)，∴QD∥C1F，∴四邊形QDFC1為平行四邊形，∴C1Q∥DF；又∵B1E∥C1Q，∴B1E∥DF；∴四邊形B1EDF為平行四邊形；【說明】空間中判別兩直線平行的方法：1、借助平面幾何知識證明，如三角形中位線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、用成比例線段證平行等；2、利用公理4，即可判別兩直線都與第三條直線平行；題型2、證明直線與直線平行例2、（1）如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)；（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如果AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形；【證明】（1）因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq\f(1,2)AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形；（2）因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD，因?yàn)镋F＝eq\f(1,2)AC，AC＝BD，所以EH＝EF，又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH是菱形；（2）如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)；求證：四邊形B1EDF為平行四邊形；【證明】如圖，取DD1的中點(diǎn)Q，連接EQ，QC1；∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EQA1D1.∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B(tài)1C1，∴EQB1C1，∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1EC1Q；又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點(diǎn)，∴QDC1F，∴四邊形DQC1F為平行四邊形，∴C1QFD；又B1EC1Q，∴B1EFD，故四邊形B1EDF為平行四邊形；【說明】證明兩直線平行，目前有兩種途徑：一是應(yīng)用公理4，即找到第三條直線，證明這兩條直線都與之平行；二是證明同一個平面內(nèi)這兩條直線無公共點(diǎn)；題型3、等角定理及其應(yīng)用例3、（1）若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不一定平行【答案】D【解析】如圖所示：∴OB與O1B1不一定平行；（2）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)，試證明：∠BGC＝∠FD1E.【證明】因?yàn)镕為BB1的中點(diǎn)，所以BFeq\f(1,2)BB1，因?yàn)镚為DD1的中點(diǎn)，所以D1Geq\f(1,2)DD1.BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.所以，四邊形D1GBF為平行四邊形．所以，D1F∥GB，同理D1E∥GC.所以，∠BGC與∠FD1E的對應(yīng)邊平行且方向相同，所以，∠BGC＝∠FD1E；【說明】等角定理的應(yīng)用是：1、根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的邊分別平行，即先證明線線平行；2、根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等或互補(bǔ)；題型4、公理4與等角定理的綜合應(yīng)用例4、（1）已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，則AC與A1C1的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．以上均有可能【答案】D；【解析】如圖所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，則AC與A1C1的位置關(guān)系是平行、相交或異面；故選D.（2）如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn).（1）求證：四邊形MNA1C1是梯形；（2）求證：∠DNM＝∠D1A1C1；【證明】(1)連接AC，在△ACD中，∵M(jìn)，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)，∴MN是△ACD的中位線，∴MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC；由正方體的性質(zhì)得AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，易知NA1與MC1不平行，∴M，N，A1，C1四點(diǎn)共面，且四邊形MNA1C1是梯形.（2）由（1）可知MN∥A1C1，又ND∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)，又∠DNM與∠D1A1C1對應(yīng)的兩邊方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1；【說明】1、判斷兩條直線平行是立體幾何中的一個重要組成部分，除了平面幾何中常用的判斷方法以外，公理4也是判斷兩直線平行的重要依據(jù)；2、證明角相等，利用空間等角定理是常用的方法，在證明過程中一定要說明兩個角的對應(yīng)邊方向都相同或都相反.另外也可以通過證明兩個三角形全等或相似來證明兩角相等；具體為：（1）空間等角定理實(shí)質(zhì)上是由以下兩個結(jié)論組成的：①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行且方向都相同或相反，那么這兩個角相等；②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對邊方向相同，另一組對邊方向相反，那么這兩個角互補(bǔ)；（2）證明角相等，一般采用三種途徑：①利用等角定理及推論；②利用三角形相似；③利用三角形全等；題型5、準(zhǔn)確判別空間中兩直線位置關(guān)系例5、（1）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．平行B．異面C．相交D．平行、相交或異面【答案】D【解析】如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面；（2）如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，判斷下列直線的位置關(guān)系：①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________.【答案】①平行②異面③相交④異面【解析】根據(jù)題目條件知道直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相交”；直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點(diǎn)，則兩直線“平行”.所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1、B、B1在一個平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C“異面”.同理，直線AB與直線B1C“異面”.所以②④都應(yīng)該填“異面”；【說明】判斷空間中兩直線的位置關(guān)系可利用定義，常常借助空間幾何體，把要判斷的直線和平面放在某些具體的空間圖形(如長方體、正方體)中，有利于作出正確的判斷，同時對于錯誤的說法也便于找出反例；題型6、會判別空間兩條直線為異面直線例6、（1）已知α，β為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是()A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面【答案】D；【解析】若a?α，b?β，則a與b可能平行，可能相交，也可能異面，故A錯誤；若a與b異面，b與c異面，則a與c可能平行，可能相交，也可能異面，故B錯誤；若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b可能平行，可能相交，也可能異面，故C錯誤；由異面直線的定義，知D正確.（2）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為(填序號)．【答案】③④；【解析】直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤；③④正確．【說明】1、判定兩條直線是異面直線的方法：（1）定義法：證明兩條直線既不平行又不相交；（2）定理：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號語言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．2、判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅（1）建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線；（2）重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系；題型7、證明異面直線的方法例7、（1）如圖：，，，，直線與具有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【證明】直線與是異面直線理由如下．若直線與直線不是異面直線，則它們相交或平行；設(shè)它們確定的平面為，則，；由于經(jīng)過點(diǎn)與直線有且僅有一個平面，因此平面與平面，從而，進(jìn)而，這與產(chǎn)生矛盾，所以，直線與是異面直線；（2）已知A、B、C、D是空間四個點(diǎn)，且直線AB與CD是兩條異面直線.用反證法證明：直線AC與BD也是異面直線.【提示】根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，先假設(shè)直線AC、BD是共面直線，再推出錯誤結(jié)論，即可得證；【證明】假設(shè)直線AC、BD是共面直線；則A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以AB、CD共面，這與AB、CD是異面直線矛盾；所以假設(shè)錯誤，即直線AC、BD也是異面直線；【說明】判定兩條直線是異面直線的方法①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；②反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面；③判定定理：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線；用符號語言可表示為：，，，與l是異面直線（如圖）；題型8、求異面直線所成的角的方法例8、（1）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是．【答案】90°；【解析】如圖，過點(diǎn)M作ME∥DN交CC1于點(diǎn)E，連接A1E，則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)正方體的棱長為a，則A1M＝eq\f(3,2)a，ME＝eq\f(\r(5),4)a，A1E＝eq\f(\r(41),4)a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即異面直線A1M與DN所成的角為90°.答案：90°（2）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF和AB所成的角；【解析】如圖，取BD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，AB＝CD，所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.所以∠GFE就是EF與AB所成的角或其補(bǔ)角，EG＝GF.因?yàn)锳B⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG為等腰直角三角形．所以∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°.【說明】1、異面直線一般依附于某幾何體，所以在求異面直線所成的角時，首先將異面直線平移成相交直線，而定義中的點(diǎn)O常選取兩異面直線中其中一個線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)或幾何體中的某個特殊點(diǎn)．2、求異面直線所成的角的一般步驟（1）作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角.（2）證：證明作出的角就是要求的角.（3）計算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二證三計算”來概括.同時注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°；題型9、忽略異面直線所成的角的范圍致錯例1、如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．【解析】如圖，連接BD，并取其中點(diǎn)E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其補(bǔ)角)為BC與MN所成的角，∠MEN(或其補(bǔ)角)為BC與AD所成的角；由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC與AD所成的角為60°.【說明】1、易錯警示：解本題時易忽略異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°，從而由∠MEN＝120°直接得出BC與AD所成的角為120°這一錯解．事實(shí)上，在未判斷出∠MEN是銳角、直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩條異面直線所成的角，如果∠MEN為鈍角，那么它的補(bǔ)角才是直線所成的角；2、糾錯措施：求異面直線所成的角θ的時候，要注意它的取值范圍是0°<θ≤90°.兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角時，容易忽略這個三角形的內(nèi)角可能等于兩條異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角；題型10、公理4的應(yīng)用畫交線例1、（1）如圖所示為一長方體木料，經(jīng)過木料的面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫？并說明理由．【解析】如圖所示，在面A1C1內(nèi)過P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，則直線EF即為所求．理由：因?yàn)镋F∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.（2）.一塊長方體木料如圖所示，現(xiàn)在因做某種家具，需將此木料沿邊BC和面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)P鋸開，工人師傅怎樣操作才能達(dá)到要求?請你設(shè)計一個方案解決此問題，并說明理由.【解析】如圖所示，在面A1B1C1D1內(nèi)過點(diǎn)P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，連接BE，CF，沿BC，BE，CF，EF鋸開木料即可.理由:因?yàn)镋F∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.所以EF，BC共面.1、分別和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是【答案】異面或相交；【解析】如圖有兩種情況.2、若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是【答案】相交、平行或異面【解析】異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，a、b異面，直線c的位置可如圖所示．3、空間兩個角α，β的兩邊分別對應(yīng)平行，且α＝60°，則β角的大小為【答案】60°或120°【解析】∵空間兩個角α，β的兩邊對應(yīng)平行，∴這兩個角相等或互補(bǔ)，∵α＝60°，∴β＝60°或120°；4、已知在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________．【答案】平行；【解析】如圖所示，∵M(jìn)，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，∴MNeq\f(1,2)AC，由正方體的性質(zhì)可得ACA′C′，∴MN綉eq\f(1,2)A′C′，即MN與A′C′平行．答案：平行5、對角線互相垂直的空間四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，則四邊形MNPQ是________.【答案】矩形【解析】如圖所示.∵點(diǎn)M，N，P，Q分別是四條邊的中點(diǎn)，∴MN∥AC且MN＝eq\f(1,2)AC，PQ∥AC且PQ＝eq\f(1,2)AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四邊形MNPQ是平行四邊形.又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四邊形MNPQ是矩形.6、如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：（1）直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是（2）直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是（3）直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是（4）直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是【答案】（1）平行；（2）異面；（3）相交；（4）異面；【解析】序號結(jié)論理由（1）平行因?yàn)锳1D1∥BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1B∥D1C（2）異面A1B與B1C不同在任