2024屆新疆喀什第二中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

喀什第二中學(xué)2023～2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級期中測試數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3．考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4．本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角函數(shù)與解三角形、平面向量與復(fù)數(shù)。一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。A3,Bx2x30AB1.已知集合，則（）32,C.1,3D.A.B.1i)z3i，則|z|2.若復(fù)數(shù)z滿足（）A.5B.5C.25D.203.如圖所示，在中，6，則AD（）1166A.C.B.D.571757571ABACABAC66664.若角A.4的終邊上有一點Pm，且sin，則m（）541B.C.-1D.5.設(shè)aR，則“a0”是“a3a2”的（）A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件6.為落實黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國，扎實推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)?人才?文化?生態(tài)?組織振興”的目標(biāo)，第1頁/共6頁x某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例P關(guān)于還款人的年收入（單e0.9位：萬元）的Logistic模型：P(x).已知當(dāng)貸款人的年收入為9萬元時，其實際還款比例為1e0.92e0.450%，若貸款人的年收入約為5萬元，則實際還款比例約為（參考數(shù)據(jù)：A.30%B.40%C.60%）3D.70%7.“風(fēng)調(diào)雨順?國泰民安”八個字，是全國重點文物保護(hù)單位?國家3A級旅游景區(qū)，小胡同學(xué)想知道鎮(zhèn)國寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB7.5，，在同一水平面上且三點共mCBCN線）測得建筑物頂部A，鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角分別為15°和60°，在A處測得鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角為30°，則鎮(zhèn)國寺塔的高度約為（31.73）A31.42mB.33.26m有兩條與直線C.35.48mD.37.52mfxx2ax平行的切線，且切點坐標(biāo)分別為，y2xPx,fx8.已知函數(shù)1111Qx,fx，則的取值范圍是（）22120,2222,C.A.B.0,4D.二、選擇題：本題共4小題。9.下列等式成立的是（）122A.2B.sin222.522.52212cos28cos32cos62cos58C.D.33cos502第2頁/共6頁10.已知實數(shù)a，b，c，其中ab1，c0，則下列關(guān)系中一定成立的是（）Aa2bcb2acB.a3b211acbcabD.C.ab11.已知函數(shù)fxcos2x2cosx1，則下列說法正確的是（）fx的最小正周期為πA.B.C.的最大值為2fxπ的圖象關(guān)于直線fx對稱x2πD.在fx上單調(diào)遞減212.已知為定義在R上的偶函數(shù)且fx不是常函數(shù)，，，fxFxf1x1gxfx11若是奇函數(shù)，則（）gxy的圖象關(guān)于1fxA.B對稱fxfx4C.是奇函數(shù)FxD.與Fx關(guān)于原點對稱gx三、填空題：本題共4小題。π,aa2abb13.已知非零向量a,b的夾角為，則__________．314.圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為______.4xy0x215.已知，則的最小值為___________.y(xy)2xxf(x)，若的解集是fx__________；若函數(shù)x16.設(shè)函數(shù)1，則不等式x3x,x3恰好有兩個零點，則的取值范圍是__________．gxfx2四、解答題：本題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。105π17.已知sincos（1）求sincos，.的值；第3頁/共6頁2023π2023π的值.（2）求18.已知函數(shù)fxx2abx2a．fx的值；x0的解集為{1x，求ab（1）若關(guān)于的不等式（2）當(dāng)b2時，解關(guān)于x的不等式fx0．πfxAsinx19.已知函數(shù)（其中A0,的圖象fx2π向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．gx4（1）求與的解析式；gxfxFxfxgx（2）令，求方程Fx在區(qū)間2π內(nèi)的所有實數(shù)解的和．2f(x)21ax是偶函數(shù).x20.已知函數(shù)2a（1）求的值;g(x)f(x)xh(x)x22xmx10,4，存在x5，使得2（2）設(shè)，，若對任意的，求的取值范圍g1h2m.π3ABAD,CAD,ABABCπ21.如圖，在平面四邊形ABCD中，．243BC2,sinADC，求CD（1）若（2）若的長；5π,CD8，求AD的長．6fxaxaex,a0a1．22.已知函數(shù)且a（1）討論的單調(diào)性．fx（2）若有且僅有兩個零點，求a的取值范圍．fx第4頁/共6頁喀什第二中學(xué)2023～2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級期中測試數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3．考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4．本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角函數(shù)與解三角形、平面向量與復(fù)數(shù)。一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。A3,Bx2x30AB1.已知集合，則（）32,C.1,3D.A.B.1【答案】C【解析】3B,【分析】由題可得，然后利用交集的概念即得.2323B【詳解】由2x30可得x，即,，2AB3．所以故選：C．i)z3i，則|z|2.若復(fù)數(shù)z滿足（）A.5B.5C.25D.20【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法計算出復(fù)數(shù)z，再利用模長公式求|z|.3ii)1ii)i)z3iz12(2)25．【詳解】因為，所以，所以|z|故選：A．第1頁/共19頁3.如圖所示，在中，6，則AD（）1166A.C.B.D.71757571ABACABAC6666【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算法則，準(zhǔn)確化簡、運算，即可求解.【詳解】根據(jù)向量的線性運算法則，可得：6671767ADABBDABBCABACABABAC.7故選：A.4.若角A.45m（的終邊上有一點Pm，且sin，則）541B.C.-1D.【答案】C【解析】y【分析】根據(jù)公式sin，即可得到本題答案.2x2yym5【詳解】由已知，得sin，解得m1.5x2y2(2)2m25y0因為sin故選：C，所以，則m1.55.設(shè)aR，則“a0”是“a3a2”的（）A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】B第2頁/共19頁【解析】【分析】分別證明充分性和必要性，即可得到本題答案.1aa0aa0a分性不成立；““a32““a322a2，解得a1a1a0，故必要性成立.②由a3，因“”可以推出“a03a2綜上，可知“故選：B”是“a”的必要不充分條件.6.為落實黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國，扎實推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)?人才?文化?生態(tài)?組織振興”的目標(biāo)，x某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例P關(guān)于還款人的年收入（單e0.9位：萬元）的Logistic模型：P(x).已知當(dāng)貸款人的年收入為9萬元時，其實際還款比例為1e0.92e0.450%，若貸款人的年收入約為5萬元，則實際還款比例約為（參考數(shù)據(jù)：）3A.30%B.40%C.60%D.70%【答案】B【解析】e0.90.1x【分析】根據(jù)題意求得Px，令x5，即可求解.1e0.1xe0.99kx9P50%50%0.99k1，，解得e【詳解】由題意知，當(dāng)所以9k0.90，可得時，，則1e0.99ke0.90.1xk0.1，所以Px，1e0.1x23e0.90.15e0.4當(dāng)x5時，Px40%.1e0.90.151e0.4231故選：B.7.“風(fēng)調(diào)雨順?國泰民安”八個字，是全國重點文物保護(hù)單位?國家3A級旅游景區(qū)，小胡同學(xué)想知道鎮(zhèn)國寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB7.5，，在同一水平面上且三點共mCBCN線）測得建筑物頂部A，鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角分別為15°和60°，在A處測得鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角為第3頁/共19頁30°，則鎮(zhèn)國寺塔的高度約為（31.73）A.31.42m【答案】C【解析】B.33.26mC.35.48mD.37.52m6ABsin15【分析】由已知，在△ACM中應(yīng)用正弦定理得求鎮(zhèn)國寺塔的高度.，再由倍角余弦公式求sin15，進(jìn)而2△ACM中ACM105,CAM45，則AMC30，【詳解】在ABsin153AC，所以，而，sin30sin4526ABsin15130(3262所以，又sin15，228467.543)則故選：C35.48m.2622fxx2ax有兩條與直線平行的切線，且切點坐標(biāo)分別為，y2xPx,fx8.已知函數(shù)1111Qx,fx，則的取值范圍是（）22120,2222,C.A.B.0,4D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出fxx2ax在P,Q兩點處的切線斜率，即可得出是x,x12112x22xa0的兩根，利用韋達(dá)定理即可得出的取值范圍.12第4頁/共19頁【詳解】根據(jù)題意可知fxx2ax，所以1,2，的定義域為axfx2x易得，a時，切線斜率為21Px,fx由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點為,111a同理可得，Q點處切線斜率為22；2a21221a2121a0y2x又因為兩條切線與直線平行，可得，即2222a022222所以x,x是關(guān)于方程2x22xa0的兩根，121a所以可得(2)42a>0，即a，又xxxx212122210a；2111x1a222110a2所以12xxa，由可得122a1121112>4的取值范圍是.即，所以12aa12故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線平行的位置關(guān)系得出關(guān)于x,x的等量12關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)定義域和韋達(dá)定理即可求得表達(dá)式的取值范圍.二、選擇題：本題共4小題。9.下列等式成立的是（）122A.2B.sin222.522.52212cos28cos32cos62cos58C.D.33cos502【答案】AB第5頁/共19頁【解析】【分析】應(yīng)用倍角正余弦、和差角正余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡求值，即可判斷各項的正誤.1【詳解】A：212sin15cos151sin30，成立；22B：sin222.5222.545，成立；212cos28cos32cos62cos58cos28cos32sin28sin32cos(2832)cos60C：，不成立；sin103cos10cos102sin50cos50sin100D：3cos50cos50cos10cos10cos10cos101，不成立.故選：AB10.已知實數(shù)a，b，c，其中ab1，c0，則下列關(guān)系中一定成立的是（）A.a2bcbacbc2acB.a3b211abD.C.ab【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)作差法判斷A，D選項，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B選項，特殊值法判斷C選項.【詳解】對于A，a2bcbacabacbcababc0，故A正確；222對于B，因為a3a2，a2b2，所以a3b2，故B正確；對于C，當(dāng)a3，b2，c5時，acbc，故C錯誤；1ab1bab1ab0，故D正確.對于D，因為故選:ABD.aab11.已知函數(shù)fxcos2x2cosx1，則下列說法正確的是（）fx的最小正周期為πA.第6頁/共19頁的最大值為2fxB.C.π的圖象關(guān)于直線fx對稱x2πD.在fx上單調(diào)遞減2【答案】BD【解析】1252fπxf(x)fπx【分析】由f(x)是否成立判斷A、Cfx2(cosx)2、，結(jié)合余弦函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)判斷B、D.【詳解】由fπx2(πx)2cos(πx)12x2x1f(x)，的周期，A錯；fxπ所以不是fπx2(πx)2cos(πx)12x2x1f(x)，由π所以的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯；fxx2152fxxx)2x2)2cosx[，由，而2152fx2)22，B對；所以2π2xx上遞減，且x由在，π2結(jié)合二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在fx上單調(diào)遞減，D對.故選：BD12.已知為定義在R上的偶函數(shù)且fx不是常函數(shù)，，，fxgxFxf1x1fx11若是奇函數(shù)，則（）gxy的圖象關(guān)于1fxA.B.C.對稱fxfx4是奇函數(shù)FxD.與Fx關(guān)于原點對稱gx【答案】ABC【解析】第7頁/共19頁【分析】根據(jù)偶函數(shù)和函數(shù)對稱性的定義可判斷A選項；利用函數(shù)的周期性可判斷B選項；利用奇函數(shù)的定義可判斷C選項；利用對稱性的定義可判斷D選項.fx1fx10，gxgx0【詳解】由題意，得，即fx1fx12整理得y的圖象關(guān)于1fx，所以對稱，故A正確；又因為為偶函數(shù)，則，2fxfxfx2fxf2xfx2fx42fx，所以，故B正確；所以fx4fxfx4，則，則為奇函數(shù)，故C正確；FxFxf1x1f1x10FxFxgx因為，所以與關(guān)于軸對稱，不關(guān)于原點對稱，故D錯誤．Fxgxy故選：ABC．三、填空題：本題共4小題。π,aa2abb13.已知非零向量a,b的夾角為，則__________．3【答案】12【解析】【分析】將向量垂直轉(zhuǎn)換為數(shù)量積為0，由數(shù)量積的計算公式結(jié)合已知條件即可求解.π,aa2ab【詳解】由題意非零向量a,b的夾角為，3a2ab0所以，化簡得ab2a2，π3b232b，解得12由數(shù)量積公式得.3故答案為：12.14.圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)弧長公式結(jié)合面積公式計算即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l2r4，又l2r，所以r1，l2，扇形的面積1Slr1.2故答案為：1.4xy0x215.已知，則的最小值為___________.y(xy)第8頁/共19頁【答案】8【解析】416x21616x2x2x22x22yxyx2x解.4416x2x2x2x2yxy2xy0xy0yxy【詳解】由，可得，可得，2yxyx2y時，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即161616x2x28，當(dāng)且僅當(dāng)2x2x2，即時，等號成立，2又由2xx2x4x2y2x2綜上所述，當(dāng)故答案為：8.16.設(shè)函數(shù)時，取得最小值8.yxy2xxx3x,xf(x)的解集是fxx1，則不等式__________，若；若函數(shù)3恰好有兩個零點，則的取值范圍是__________．gxfx2①.4,0②.,【答案】【解析】的解集，畫出1時，分x1和x1兩種情況解不等式即可fxx【分析】當(dāng)y2xyx33x的圖象，結(jié)合圖象求解即可2xx1f(x)1時，【詳解】當(dāng)，x3x,x131，解得x2或1x0，令2x4x且x1，解得1x4，x33xx，且xfxx令所以的解集為．(0)33x2，解得x1或x2，令2x42，解得x3，x令由當(dāng)yx33x，得y3x23x，20，x1或x1時，y0，當(dāng)1x1時，y第9頁/共19頁所以所以yxyx3x在(,和)上遞增，在(上遞減，333x的極大值為(33(2，極小值為1312，3如圖所示，當(dāng)3時，fx2恰有兩個零點，符合題意；2當(dāng)當(dāng)當(dāng)恰有3個零點，不符題意；32時，fx恰有2個零點，符合題意；21時，fx2恰有1個零點，不符題意．1時，fx2所以的取值范圍是,32,1．故答案為：4,0；,.畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.四、解答題：本題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。105π17.已知sincos（1）求sincos，.的值；2023π2023π的值.（2）求2105【答案】（1）（2）-5【解析】1）應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值再根據(jù)角的范圍判斷符號即可；（2）先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值再應(yīng)用誘導(dǎo)公式求值.【小問1詳解】第10頁/共19頁25105因為sin，所以(sincos)2，23所以12sincos，即2sincos0.55π，則sin0，所以cos0，sincos0，因為因為82105(sincos)212sincos，所以sincos.5【小問2詳解】105sin,3101010解得sincos，由，210510sin,sincostan3；所以911152023πtan2023πsincos32tantan所以.1010fxxabx2a．18.已知函數(shù)2的解集為{1x，求ab的值；fxx0（1）若關(guān)于的不等式（2）當(dāng)b2時，解關(guān)于x的不等式fx0．a(chǎn)b1【答案】（1）（2）答案見解析【解析】a1ab1）根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系列方程，解方程得到，然后求即b2可；（2）分a【小問1詳解】由題意可知，關(guān)于的不等式2、a2和a2三種情況解不等式即可.x2的解集為x1x，abx2a0xx所以關(guān)于的方程x2abx2a0a1的兩個根為1和2，ab3所以，解得，2a2b2第11頁/共19頁則ab1．【小問2詳解】由條件可知，0，x2a2x2a0xax2，即xax2或當(dāng)a2時，解得；當(dāng)a2時，解得x2；當(dāng)a2時，解得x2xa或．x2；xxa或綜上可知，當(dāng)a2時，原不等式的解集為xx2；當(dāng)a2時，原不等式的解集為xa.或當(dāng)a2時，原不等式的解集為2πfxAsin（其中的圖象xA0,fx19.已知函數(shù)2π向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．gx4（1）求與的解析式；gxfxFxfxgx（2）令，求方程Fx2在區(qū)間2π內(nèi)的所有實數(shù)解的和．ππ3fx2sin2x【答案】（1）gx2cos2x，317π（2）6【解析】1）由函數(shù)圖象可得A即周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出，即可求出函數(shù)的fx解析式，再根據(jù)平移變換的原則即可求得函數(shù)的解析式；gx（2）先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.Fx【小問1詳解】第12頁/共19頁由圖可知，A2，7ππ1232π函數(shù)的周期T4π，所以2，fxfx2sin2x所以，7π127π67π6f2sin3π2，所以sin1，又7ππ2π，所以2π,kZ所以，623ππ，所以又，23πfx2sin2x所以，3π因為將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)fx的圖象，gx4ππ43πg(shù)x2sin2x所以22x；3【小問2詳解】Fxfxgxπ3π32sin2x22xππ22sin2x34π1222sin2x，π12Fx22sin2x由2，π1122sin2x得，ππ49πx2π，所以2x,因為所以，121212ππ5π13π17π2x或或或，126666第13頁/共19頁π25πππ所以x或或或，248248Fx在區(qū)間2π內(nèi)的所有實數(shù)解的和為2所以方程π3π25π11π17π．24824861ax是偶函數(shù).f(x)2x20.已知函數(shù)2a（1）求的值;g(x)f(x)xh(x)x22xmx10,4，存在x5，使得2（2）設(shè)，，若對任意的，求的取值范圍g1h2m.12a【答案】（1）(,2]（2）【解析】1）由偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解的值；a（2）由題意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分別求出和的最0,4hx0,5gxhxgx小值，即可求解.【小問1詳解】f(x)2x1ax因為所以是偶函數(shù)，2f(x)f(x)，1ax21ax，2xx即222x12x12ax0，2212x2x112ax0，，22x122x12ax0222x2xlog22ax012x，2xlog22x2ax0，第14頁/共19頁x2ax0，，12ax012所以12a0a，即.【小問2詳解】1g(x)2x1x，22x10,4，存在x52gxhx，使得，12因為對任意的所以在上的最小值不小于在上的最小值，gx0,4hx0,510,4在上單調(diào)遞增，g(x)2x1x因為22所以g01，gx因為h(x)x2xmxm1，22所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，hx5所以hm1，hx所以1m1，解得m2，m所以的取值范圍為(,2].π3ABAD,CAD,ABABCπ21.如圖，在平面四邊形ABCD中，．243BC2,sinADC，求CD（1）若的長；5π,CD8（2）若，求AD的長．6【答案】（1）5（2）243【解析】3sin，進(jìn)而可得【分析1）在中，應(yīng)用正弦定理求得13sinBAC,cosBAC，進(jìn)而有AC10，在ACD應(yīng)用正弦定理求CD；1010第15頁/共19頁πCADBAC及sinACDsin(CADADC)（2）由，再結(jié)合正弦定理求AD.2【小問1詳解】BCABπBAC)BCsin(π在中sinBAC4AB，sin(BAC)sinBAC41sinBACBACsinBAC)3sin整理得，21313tanBACsinBAC,BAC所以，故，101022BCsinABCBCAC2AC10，又sinBACsinABCsinBAC110CDπ在ACD中，又ABAD,CAD，sinCADsin2310ACBAC10所以sinCADBAC，故CD【小問2詳解】5.35sinACABABsinABC2ACππBACsinBAC由sinABC，sin(BAC)sin(BAC)44ACCDCDsinsinCAD4AC由，sinsinCADsinCADπ4CADBACAC而，故sinCADBAC，故，2cosBAC42122sintan所以，sin1221所以sinB