專題6-3立體幾何大題綜合歸類（原卷版）

專題6-3立體幾何大題綜合歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01平行：無交線型 1題型02平行：線面平行探索性 2題型03平行：面面平行探索性 4題型04垂直：線面垂直探索性 5題型05垂直：面面垂直翻折探索性 6題型06證明與建系：斜棱柱垂面法建系 7題型07證明與建系：斜棱柱垂線法建系 8題型08證明與建系：三棱柱投影法建系 9題型09證明與建系：角平分線法建系 10題型10二面角延長線法 11題型11翻折型 12題型12臺體型 13高考練場 14題型01平行：無交線型【解題攻略】兩個平面相交：1.兩點確定一條直線，只需確定兩平面的兩個公共點即可2.由于兩平面有一個公共點A，再找一個公共點即可確定交線3.一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行，在平面內(nèi)，過兩平面的公共點作直線與已知直線平行，則此直線即為兩平面的交線【典例1-1】如圖，在平行四邊形中，，，為的中點，以為折痕將折起，使點到達點的位置，且，，分別為，的中點.(1)證明：平面.(2)若平面與平面的交線為，求直線與平面所成角的正弦值.【變式1-1】如圖所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,側(cè)棱⊥底面且．(1)指出棱與平面的交點的位置（無需證明）；(2)求點到平面的距離．【變式1-2】如圖，為圓錐的頂點，為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，是的中點，四邊形為正方形．設(shè)平面平面，證明：；.題型02平行：線面平行探索性【解題攻略】平行的常用構(gòu)造方法①三角形中位線法； ②平行四邊形線法； ③比例線段法.注意：平行構(gòu)造主要用于：①異面直線求夾角； ②平行關(guān)系的判定.【典例1-1】如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，且，為中點.(1)求證平面(2)在上是否存在一點，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置.【變式1-1】如圖，四邊形中，，，，，，分別在，上，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使．(1)若，在折疊后的線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.(2)求三棱錐的體積的最大值，并求出此時點到平面的距離.【變式1-2】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，點E在CD上，且DE＝2，將△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G為AE中點.(1)求證：DG⊥平面ABCE；(2)求四棱錐D-ABCE的體積；(3)在線段BD上是否存在點P，使得CP∥平面ADE？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.題型03平行：面面平行探索性【解題攻略】證明平行

(1)線線平行：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.(2)線面平行：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.(3)面面平行：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.【典例1-1】在三棱柱中，(1)若分別是的中點，求證：平面平面.(2)若點分別是上的點，且平面平面，試求的值．【變式1-1】.在長方體中，，P為的中點．已知過點的平面與平面平行，平面與直線分別相交于點M，N，請確定點M，N的位置；【變式1-2】已知正方體中，?分別為對角線?上的點，且．（1）求證：平面；（2）若是上的點，的值為多少時，能使平面平面？請給出證明．題型04垂直：線面垂直探索性【解題攻略】垂直的常見構(gòu)造：①等腰三角形三線合一法；②勾股定理法； ③投影法.④菱形的對角線互相垂直【典例1-1】已知正方體的棱長為，、、分別是、、的中點．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由；(3)求到平面的距離．【變式1-1】如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點．(1)求證：AF∥平面SEC；(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一點M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【變式1-2】如圖，在直三棱柱中，，，，為棱上靠近的三等分點，為棱上靠近的三等分點.(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在點D，使得面?若存在，求出的大小并證明；若不存在，說明理由.題型05垂直：面面垂直翻折探索性【解題攻略】翻折翻折前后，在同一平平面內(nèi)的點線關(guān)系不變翻折過程中是否存在垂直或者平行等特殊位置關(guān)系翻折過程中，角度是否為定值翻折過程中，體積是否存在變化【典例1-1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，點M是AC與BD的交點，點N在線段PB上，且PN＝PB.(1)證明：MN平面PDC；(2)在線段BC上是否存在一點Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出點Q的位置；若不存在，請說明理由.【變式1-1】如圖，在三棱臺ABC-DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)設(shè)平面ACE∩平面DEF＝a，求證：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，請確定G點的位置；若不存在，請說明理由．【變式1-2】如圖（1），點E是直角梯形ABCD底邊CD上的一點，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，將沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，連接CD和BD，如圖（2）．(1)求證：平面平面BCD；(2)在線段BD上確定一點F，使得平面ADE.題型06證明與建系：斜棱柱垂面法建系【解題攻略】斜棱柱垂線型建系如果存在垂線（投影型）斜棱柱，則可以直接借助垂線作為z軸建系，下底面，可以尋找或者做出一對垂線作為xy軸。這類建系，主要難點是分析“空中”的點的坐標(biāo)?？罩悬c坐標(biāo)可以有以下思維：讓空中點垂直砸下來（落下來，尋找投影），投影點坐標(biāo)以及下落的高度借助向量相等，尋找空中點所在線段的向量對應(yīng)的底面相等向量，即可計算出空中點的坐標(biāo)【典例1-1】（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．

(1)求證：B，D，E，四點共面；(2)求二面角的余弦值．【變式1-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）如圖，在斜三棱柱中，，，的中點為，的中點為.

(1)證明：OD∥平面；(2)若，，，求平面與平面所成角的大小.【變式1-2】（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形．，點D為棱AC上動點(不與A，C重合)，平面B1BD與棱A1C1交于點E．(1)求證：；(2)若，平面ABC⊥平面，，求直線BC與平面B1BDE所成角的正弦值．題型07證明與建系：斜棱柱垂線法建系【典例1-1】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，為的中點，，，，點在底面上的射影為點.

(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面所成角的正弦值.【變式1-1】（2023·四川成都·川大附中校考模擬預(yù)測）如圖所示多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四邊形ABCD是菱形，，，(1)求證：平面ABCD；(2)求二面角的正弦值.【變式1-2】（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，側(cè)面為菱形，為等邊三角形．(1)求證：；(2)若，點E是側(cè)棱上的動點，且平面與平面的夾角的余弦值為，求點B到平面的距離．題型08證明與建系：三棱錐投影法建系【典例1-1】（2023春·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，，D是AC的中點，E是AB上一點，平面PDE.(1)證明：平面PBC；(2)若，，求二面角的正弦值．【變式1-1】（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，是點在平面ABC上的投影，，，是BD的中點.(1)證明：平面DAC；(2)若O點正好落在的內(nèi)角平分線上，，，，求二面角的正弦值.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，D，E，P分別在棱AC，AB，BC上，且D為AC中點，，于F.(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)，，二面角的余弦值為時，求直線與平面所成角的正弦值.題型09證明與建系：角平分線法建系【解題攻略】等角射影平分線型建系如果一條線和一個角的兩邊所成角度相等，則該線在角度所在平面射影是角平分線。此時，這個模型也滿足“三面角余弦定理”：大題解答時，需要簡單的證明才能使用【典例1-1】（2024年九省聯(lián)考）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，為與的交點，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【變式1-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知三棱柱中，是的中點，是線段上一點.

(1)求證：；(2)設(shè)是棱上的動點（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線與平面所成角的正弦值.【變式1-2】(2024鄭州一質(zhì)檢）如圖，在多面體中，底面為平行四邊形，平面BC，為等邊三角形，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．題型10二面角延長線法【典例1-1】.（2023春·安徽蕪湖·高三統(tǒng)考）在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，且直線與平面所成角為為中點.

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【變式1-1】（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，設(shè)點為上的動點.

(1)求面積的最小值；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【變式1-2】（2023秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，，二面角為鈍角，三棱錐的體積為.

(1)求二面角的大??；(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值..題型11翻折型【解題攻略】翻折型建系翻折型幾何體，尋找翻折前和翻折后的“變與不變”的點線面關(guān)系。翻折前翻折后在同一平面內(nèi)的點線，數(shù)量關(guān)系不變。翻折后，一般情況下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系計算翻折后，可以構(gòu)造三棱錐，利用三棱錐斜面建系法來建系計算【典例1-1】（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）如圖，平面五邊形由等邊三角形與直角梯形組成，其中，，，，將沿折起，使點到達點的位置，且.

(1)當(dāng)時，證明并求四棱錐的體積；(2)已知點為棱上靠近點的三等分點，當(dāng)時，求平面與平面夾角的余弦值.【變式1-1】（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線段CD上找出點F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，請指出點F的具體位置（無需給出證明過程）．(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺的體積，并求出此時二面角的余弦值．【變式1-2】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對角線交點為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；(2)當(dāng)時，在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．題型12臺體型【解題攻略】臺體建系型正棱臺型，建系較簡單，一般是正多邊形中心作為原點，上下底面連線作為z軸。非正棱臺型，如有垂面或者垂線，則可以垂面垂線型建系，無垂面垂線，則可參考三棱錐斜面建系思維?！镜淅?-1】．（2019上·浙江·高三校聯(lián)考）在三棱臺中，是等邊三角形，二面角的平面角為，.（I）求證：；（II）求直線與平面所成角的正弦值.【變式1-1】（2024上·山東德州·高三統(tǒng)考）如圖，在四棱臺中，底面是邊長為2的菱形，，，點分別為的中點．(1)證明：直線面；(2)求二面角的余弦值．【變式1-2】（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正四棱臺中，，，，為棱，的中點，棱上存在一點，使得平面．

(1)求；(2)當(dāng)正四棱臺的體積最大時，求與平面所成角的正弦值．高考練場1.如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，設(shè)平面與平面的交線為直線．證明：平面.2.如圖，在正方體中，為的中點．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點，使得平面平面，若存在，請說明理由．3..如圖，四棱錐中，，，為的中點．(1)求證：平面.(2)在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請說明理由．4..如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．河南省開封市五縣2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題5.圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.(1)證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；(2)求圖2中的直線與平面所成角的正弦值.6.（2023·四川宜賓·宜賓市敘州區(qū)第一中