基礎(chǔ)課41 空間向量與空間角、距離問題

第11頁基礎(chǔ)課41空間向量與空間角、距離問題課時評價·提能基礎(chǔ)鞏固練1.在空間直角坐標系中，已知A1,?1,1，B3,A.22 B.32 C.62[解析]∵A1,?1,∴AB=2∴AB?AP=2∴AP在AB方向上的投影向量的模?∴點P1,0,2到直線AB2.已知在三棱錐P?ABC中，PC⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=ACA.463 B.263 C.[解析]以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則AP=0,4,設(shè)平面PAB的一個法向量為m=則m?即4y+令y=2，則∴m=0,2,?1，∴點C故選A.3.已知在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，AA.147 B.7014 C.314[解析]如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1DC1=則DC1=AB2于是AC?所以cos?AC,D所以異面直線AC與DC1所成的角的余弦值為3144.設(shè)α,β,γ為平面，且α⊥β,α∩β=l.若γ與α所成的二面角為45°，l與γ所成的角為30A.15° B.45° C.30°[解析]設(shè)平面α，β，γ的單位法向量分別為a,b,c，直線l上的單位方向向量為l.根據(jù)題意，{a,b,l}構(gòu)成空間直角坐標系的一個單位正交基底由題意可設(shè)c與a的夾角的余弦值為22，c與l的夾角的余弦值為1設(shè)c=xa+yb+zl由x2+y2于是所求銳二面角為60°.故選D5.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD，MA.33 B.23 C.32[解析]如圖，正方體內(nèi)的三棱錐A?BCD為滿足題意的鱉臑以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，則B0,0,0，A0,0,1，則BM=(12,12,cos?BM,CD故異面直線BM與CD夾角的余弦值為33.故選A6.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA.255 B.22 C.5[解析]如圖,以A為坐標原點，AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.AB=則A10,0,1,B3,0設(shè)Px,y,z，當A1C=2所以P(32,1所以BP=(?32,12,12)，所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為|cos?A1A,BP?7.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是AC的中點，點P在線段A1CA.[14,13] B.[13,12] C.[解析]如圖，設(shè)正方體的棱長為1，A1PA1連接B1D并以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x,y則A1,0,0,C0,1,0,O(12,12,0)，則A1在正方體ABCD?A1B1C1D1所以DB1=1,1所以sinθ=1=1所以當λ=12時，sinθ取得最大值，最大值為33，當λ=0或λ=1時，sinθ取得最小值8.已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，E為AB的中點（如圖1），將△ADE沿直線DE翻折至△A'DE處（如圖2），連接A'B，A'C，若四棱錐A'?A.312 B.232 C.314[解析]連接BD（圖略），因為四邊形ABCD為菱形，且∠A=60°，所以因為E為AB的中點，所以DE⊥AB，所以DE⊥因為EB∩A'E=E，EB?平面A'EB,A'因為菱形ABCD的邊長為4，所以AB=AD=CD=所以直角梯形BCDE的面積為12設(shè)四棱錐A'?EBCD的高為?，則13×所以?=A'E，所以A所以以E為原點，ED,EB,EA'所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系（圖略），則B0,2,0,C23所以令c=BCBC=(32,所以a=3+所以點F到直線BC的距離d=故選A.綜合提升練9.（多選題）已知在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為側(cè)面BCC1B1A.線段A1PB.33C.對任意點P，總存在點Q，使得DD.存在點P，使得直線A1P與平面AD[解析]建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz，根據(jù)題意，可得D0,0,0，A1,0,0，設(shè)點Px1,1,z1，Qx2,y2,z2故cos45°=Q為線段A1C上的動點，則有A1Q對于A，有A1P=x1?對于B，過點Q作平面ABCD的垂線，垂足為R，因為sin∠ACA1=故求33A1Q+PQ因為QR=1?所以QP2則PQ?QR+1≥1，當且僅當x1=z1=1?λ時對于C，若D1Q⊥CP，則D1Q?CP所以當λ=1時，D1Q?CP=?z=0,此時點P與點B重合，當點Q與點C重合時，P1當0≤λ<1時，Δ=?8λλ?1≥0，故對任意點P，總存在點對于D，易知平面ADD1A1的一個法向量為n=0,1,0即直線A1P與平面ADD1A1的法向量所成的角為30°，則cos30°=A1P10.（多選題）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=1,AB=AD=3,E是側(cè)面AA1D1D的中心，F(xiàn)是底面A.n=1,B.直線EF//平面C.異面直線EF與A1D.存在點M，使得直線A1M與平面A[解析]由題意可得A0,0,0,B3,0,0,C3因為E是側(cè)面AA1D1D的中心，F(xiàn)是底面ABCD的中心，所以E(0,32,對于A，因為BA1=?3所以n?BA所以n⊥BA1，n⊥BC，所以n=1,0,對于B，因為AD⊥平面C所以AD=0,3,0因為EF=(32,0,?12)，因為EF?平面C1D1DC，所以直線EF//平面C對于C，因為EF?A1C=(32,0,?12)?3,3,?1=2≠0，所以EF對于D，設(shè)M0,m,00≤m≤3，則A1M=0,m,?1，由A可知n=1若直線A1M與平面A1BC所成的角為π4，則所以存在點M，使得直線A1M與平面A1BC所成的角為π4，所以D11.（雙空題）如圖，這個多面體是由底面為ABCD的長方體被平行四邊形AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1[解析]如圖，建立空間直角坐標系，則B2,4,0,A2,0,0由題意可知，四邊形AEC1F為平行四邊形，則AF=EC1，即?所以BF=?2,?4,2，所以BF設(shè)平面AEC1F因為AE=0,所以n?令y=?1，則x=z因為CC1=0,0,3，所以點12.[2024·江蘇模擬]如圖，在三棱錐A?BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點.若點[解析]如圖，連接CO，∵BC=CD,BO∴OA，BD，OC兩兩互相垂直以O(shè)為坐標原點，OB,OC,OA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則A0,0,2,B1,0,0,C0,2設(shè)平面DEC的一個法向量為n1∵DC=1,∴x令y=1，解得x=?2,設(shè)平面DEF的一個法向量為n2∵DF=DB+BF∴n2?令y1=?7，解得x∴n2=2,?7,5，設(shè)二面角F?應用情境練13.鐘鼓樓是中國傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報時的建筑.中國古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也常?？梢钥匆姼接戌姌堑慕ㄖ?某建筑物樓頂有一頂部逐級收攏的四面鐘樓，四個大鐘對稱分布在四棱柱的四個側(cè)面（四棱柱看成正四棱柱，鐘面圓心在棱柱側(cè)面中心上），在整點時刻（在0點至12點中取整數(shù)點，含0點，不含12點），已知在3點時和9點時，相鄰兩鐘面上的時針所在的兩條直線相互垂直，則正面在2點時和右側(cè)面在8點時，兩鐘面上的時針所在的兩條直線所成的角的余弦值為14[解析]如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1的中心，G為BB1的中點，EN為2點鐘時針，F(xiàn)M為8點鐘時針，則∠NEG=30°，∠MFG=30°，設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，以D為原點，以DA,DC,DD1的方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，則E(a,a2,b2)，N(a,a,b214.(2024·九省適應性測試)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為2的正方形,O為AC與BD的交點,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.(1)證明:C1O⊥平面ABCD.(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.[解析](1)如圖,連接BC1,DC1,因為底面ABCD是邊長為2的正方形,所以BC=DC,又因為∠C1CB=∠C1CD,CC1=CC1,所以△C1CB≌△C1CD,所以BC1=DC1,因為O為線段BD的中點,所以C1O⊥BD,在△C1CO中,CC1=2,CO=12AC=2,∠C1CO=所以cos∠C1CO=22=C1C2+OC則C1C2=OC2+C1O2,即C1O⊥OC,又OC∩BD=O,OC?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD.(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(0,2,0),D(0,-2,0),A(2,0,0),C(-2,0,0),C1(0,0,2),則AA1=CC1=(2,0,2),AB=(-2,2,0),AD=(-2設(shè)平面BAA1的一個法向量為m=(x1,y1,z1),平面DAA1的一個法向量為n=(x2,y2,z2),則AA1·m=0,AB·m=0?2AA1·n=0,AD·m=0?2x2設(shè)二面角B-AA1-D大小為θ,則cosθ=m·n|m|·|n|=13所以二面角B-AA1-D的正弦值為22創(chuàng)新拓展練15.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的內(nèi)切球的表面積為π，P是棱BB[解析]以B1為原點，B1A1,B1C1,B1∵正方體ABCD?A1B1C1D1的內(nèi)切球的表面積為π，∴A11,0設(shè)P0,0∴C1D=1設(shè)平面A1C1P則n?n?A1P∴直線C1D與平面A1C1P令t+1=u，∴2令v=1u，∵u∈[∴22?12∴當v=23，即1t+1=23，即t=12時，直線C1D∴當直線C1D與平面A1C1P的夾角最大時，此時平面A1C1P的一個法向量為n=(12,∴點D到平面A1C1P的距離為此時A1P=C1P=52∴此時四面體D?A1C16.[2024·青島模擬]如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑AB=4，母線PH=22，M（1）設(shè)平面POH∩平面PBC=l（2）設(shè)D為OH的中點，N是線段CD上的一點，當MN與平面PAB所成的角最大時，求MN的長.[解析]（1）∵四