4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式教學(xué)設(shè)計(jì)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期春季課題等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式教科書書名：高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)A版出版社：人民教育出版社教學(xué)目標(biāo)1.從不同角度推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式2.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的理解與應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)

2.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法的理解和遷移使用3.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)理解，記憶和應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：從不同角度推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式教學(xué)過程一、問題引入國際象棋起源于印度，相傳國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒...以此類推，每個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子，請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，20162017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言.數(shù)學(xué)抽象：設(shè)第個(gè)格子里的麥粒數(shù)為，則，問題就是求數(shù)列的前64項(xiàng)和設(shè)計(jì)意圖：通過故事激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情，引入等比數(shù)列求和問題.二、問題解決師：同學(xué)們可以從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方式去思考生：因?yàn)?，所以可以歸納得到師：那么對(duì)于呢？（學(xué)生思考片刻后...)生：因?yàn)樗钥梢詺w納得到師：那么對(duì)于一般的等比數(shù)列的前項(xiàng)和呢？（用表示）（學(xué)生經(jīng)歷了類比后，能夠從特殊到一般歸納出一般等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式）生：根據(jù)前面兩個(gè)特殊的例子，我們不難猜到師：這個(gè)公式中有沒有需要注意的地方（給學(xué)生提醒，目的是要讓學(xué)生想到公比為1的特殊情形）生：當(dāng)公比為1的時(shí)候，公式中分母為0，沒有意義，此時(shí)是一個(gè)常數(shù)列，每項(xiàng)都和相同，所以我們應(yīng)該分段寫.公式應(yīng)該寫成（教師板書）師：非常好，同學(xué)們由特殊到一般歸納出了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，但是這種歸納是不完全歸納，是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模€需要嚴(yán)格證明，后面我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法后，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法去證明我們的猜測(cè).我們已經(jīng)得到了公式，但方法上又不太嚴(yán)謹(jǐn)，有沒有別的方法呢？大家可以先想一想，再在小組內(nèi)交流想法（給學(xué)生充分的探究思考交流的時(shí)間）.接下來我們讓各小組展示自己小組的成果.小組1：前面我們學(xué)習(xí)過裂項(xiàng)相消法求和，所以我們就試著把每一項(xiàng)都裂成兩項(xiàng)的差的形式，，于是于是對(duì)于一般的等比數(shù)列我們按照這個(gè)思路去嘗試，發(fā)現(xiàn)是可行的，因?yàn)楫?dāng)?shù)臅r(shí)候，，所以師：非常棒，第一個(gè)小組能夠去深入思考，用咱們已有的知識(shí)方法去解決未知的問題.小組2：老師，我們的方法更“簡單”一些，所以師追問：你們是怎么想到這個(gè)方法呢？生：根據(jù)等比數(shù)列的和的特點(diǎn)，我們就試著提出一個(gè)公因式，然后就發(fā)現(xiàn)括號(hào)內(nèi)的結(jié)構(gòu)與完全類似，就是，而，我們就構(gòu)造出了一個(gè)關(guān)于的方程.師：非常好，小組2利用到了與的關(guān)系構(gòu)造方程，核心想法就是構(gòu)造方程.小組3：老師，我們的做法是這樣的（投影展示）：兩個(gè)式子中間的項(xiàng)是相同的，于是兩式相減得，所以當(dāng)時(shí)師（小結(jié)）：很好，小組3的想法是消元法，目的是盡可能消去或者減少項(xiàng)數(shù)，我們給這種方法起個(gè)形象的名字“錯(cuò)位相減法”,分為三步“乘公比，錯(cuò)位減，求和”.小組4：根據(jù)等比數(shù)列的定義，由合比性質(zhì)得，即，解得（）師：小組4利用了合分比性質(zhì)構(gòu)造了關(guān)于方程.師生共同小結(jié)：我們從5個(gè)角度推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，從特殊到一般（歸納），裂項(xiàng)相消法，構(gòu)造方程組（利用的關(guān)系，利用合分比性質(zhì)），錯(cuò)位相減法接下來我們來解決我們開始提出的問題國王總共應(yīng)該給國際象棋發(fā)明者顆麥粒，合計(jì)億噸，顯然國王無法滿足國際象棋發(fā)明者的要求，這也體現(xiàn)了等比數(shù)列的爆炸性增長.公式的理解和應(yīng)用（1）公式的理解師：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是“常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)（公差不為0），那么等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是怎樣的呢？（給學(xué)生思考片刻）時(shí)，提出一個(gè)具體問題：若一個(gè)數(shù)列等比的前項(xiàng)和為，則___（2）公式的應(yīng)用例題1：①若，求；②若，求；③若，求.④若，求；⑤若，求.設(shè)計(jì)意圖：①②③都是公式的直接使用，五個(gè)量知道其中三個(gè)量，可以求出剩下的兩個(gè)量，④要解方程組，同時(shí)要考慮的情形，⑤可以解方程組，也可以類比等差數(shù)列的前項(xiàng)的性質(zhì)可以得到等比數(shù)列前的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)或者時(shí)，構(gòu)成公比為的等比數(shù)列.例題2：求和：記則兩式相減得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以綜上：設(shè)計(jì)意圖：把等比數(shù)列求和方法進(jìn)行遷移，