2020年湖北省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題（解析）

2020年湖北省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出復(fù)數(shù)，即可得出共軛復(fù)數(shù).【詳解】，，.故選：D.2．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)交集的概念進(jìn)行運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C3．若為的邊的中點(diǎn)，（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則得到，，將兩個(gè)等式相加可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)闉榈倪叺闹悬c(diǎn)，所以，所以，即.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量加法的三角形法則求解是解題關(guān)鍵.4．《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在我省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中有一道求“困蓋”體積的題：困下周六丈高二丈，求積.即已知圓錐的底面周長(zhǎng)為6丈，高為2丈，求圓錐的體積.《算數(shù)書》中將圓周率近似取為3，則該困蓋的體積(單位：立方丈)約為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】根據(jù)底面周長(zhǎng)求出底面半徑，即可求出體積.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，則，，.故選：A.5．已知命題是方程的一個(gè)根，，則是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分必要條件的定義分析可得答案.【詳解】由是方程的一個(gè)根，可得,即，所以是的充分條件；由可得,即是方程的一個(gè)根，所以是的必要條件，所以是的充分必要條件故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握充分必要條件的定義是本題解題關(guān)鍵.6．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方關(guān)系式求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系式求出即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式是本題解題關(guān)鍵.7．已知，，，下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】利用特殊值或者不等式的性質(zhì)即可依次判斷.【詳解】解：對(duì)A，滿足，但若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，，故B正確；對(duì)C，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，故D錯(cuò)誤.故選：B.8．已知函數(shù)，，的圖像如圖所示，則（）

A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得函數(shù)的奇偶性，根據(jù)奇偶性可得對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式.【詳解】由的圖象關(guān)于軸對(duì)稱可知為偶函數(shù)，故，由的圖象可知，為非奇非偶函數(shù)，故，由的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知為奇函數(shù)，故.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握冪函數(shù)的奇偶性是本題解題關(guān)鍵.9．為做好精準(zhǔn)扶貧工作，需關(guān)注貧困戶的年收入情況.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某貧困戶近5年的年收分別為，，，，.下面給出的指標(biāo)可以用來(lái)評(píng)估該貧困戶年收入的穩(wěn)定程度（）A．，，，，的平均數(shù) B．，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差C．，，，，的最大值 D．，，，，的中位數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的含義，即可判斷.【詳解】標(biāo)準(zhǔn)差反映了各數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的偏離，反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度，在本題中即穩(wěn)定程度，而其他的統(tǒng)計(jì)量則不能反映穩(wěn)定程度，故選：B10．已知向量，，則（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出夾角的余弦值，即可得出夾角.【詳解】，，，.故選：D.11．某班有50名學(xué)生，其中有45名學(xué)生喜歡乒乓球或羽毛球，32名學(xué)生喜歡乒乓球，26名學(xué)生喜歡羽毛球，則該班既喜歡乒乓球又喜歡羽毛球的學(xué)生數(shù)占該班學(xué)生總數(shù)的比例是（）A．38% B．26% C．19% D．15%【答案】B【分析】記“喜歡乒乓球“為事件，“喜歡羽毛球”為事件，則“喜歡乒乓球或羽毛球”為事件，“既喜歡乒乓球又喜歡羽毛球”為事件，根據(jù)題意求出、、，再根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】記“喜歡乒乓球“為事件，“喜歡羽毛球”為事件，則“喜歡乒乓球或羽毛球”為事件，“既喜歡乒乓球又喜歡羽毛球”為事件，依題意可知，，，因?yàn)?，所?故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用和事件與積事件的概率關(guān)系求解是解題關(guān)鍵.12．已知，是不共線的兩個(gè)向量，若，，，則（）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線【答案】D【分析】由于向量、以及之間沒(méi)有數(shù)量關(guān)系，所以考查，，可得，即可得解.【詳解】由，，故，所以，，三點(diǎn)共線.故選：D.13．棉花的纖維長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo).在一批棉花中隨機(jī)抽測(cè)了50根棉花的纖維長(zhǎng)度(單位：mm)，其頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)事件“棉花的纖維長(zhǎng)度大于275mm”的概率為（）

A．0.30 B．0.48 C．0.52 D．0.70【答案】C【分析】根據(jù)直方圖計(jì)算最右邊兩個(gè)矩形的面積可得結(jié)果.【詳解】“棉花的纖維長(zhǎng)度大于275mm”的概率為.故選：C14．記函數(shù)(其中，)的圖像為，已知的部分圖像如圖所示，為了得到函數(shù)，只要把上所有的點(diǎn)（）A．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【分析】根據(jù)圖象可得周期，求出，根據(jù)圖象上最低點(diǎn)求出，再根據(jù)平移變換可得結(jié)果.【詳解】由圖象可知周期，所以，又圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為，所以，所以，，即，，因?yàn)?，所以，所以，所以為了得到函?shù)，只要把上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求出和是解題關(guān)鍵.15．設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分段討論結(jié)合解析式即可求解.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，解得或，，當(dāng)，即時(shí)，，解得，，綜上，不等式的解集為.故選：D.二、多選題16．下列函數(shù)中最小正周期為的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)周期公式計(jì)算可知、正確；不正確；根據(jù)的圖象可知正確.【詳解】對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，故不正確；對(duì)于，因?yàn)榈膱D象是由的圖象進(jìn)行翻折變換得到的，所以的最小正周期為.故正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)的圖象求最小正周期是本題解題關(guān)鍵.17．已知，，是三條直線，是一個(gè)平面，下列命題不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BC【分析】根據(jù)線面平行和垂直的關(guān)系，逐個(gè)分析判斷即可得解.【詳解】對(duì)A，根據(jù)直線平行的傳遞性，故A正確；對(duì)B，垂直于同一直線的兩個(gè)直線可以相交、平行、異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，平行同一平面的兩條直線可以平行、相交、異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，垂直于同一平面的兩條直線平行，故D正確.故選：BC18．已知函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．的最大值為0 D．在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義可知正確；根據(jù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)可知不正確，利用單調(diào)性求出最大值可知正確；利用解析式求出零點(diǎn)可知不正確.【詳解】的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為偶函數(shù)，故正確；因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，在上是減函數(shù)，所以時(shí)，取得最大值，故不正確，正確；由得，得，得，即在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，故不正確.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握函數(shù)奇偶性的定義、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、以及零點(diǎn)的概念是本題解題關(guān)鍵.三、填空題19．已知向量，，且，則___________.【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，所以，解?故答案為：20．若函數(shù)在時(shí)取得最大值，則的一個(gè)取值為___________.【答案】（答案不唯一）【分析】將化為，根據(jù)正弦函數(shù)的最值可得，，從中任取一個(gè)值作答即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)，，即，時(shí)，取得最大值，所以，，所以可以取.故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)正弦函數(shù)的最值求解是解題關(guān)鍵.四、雙空題21．設(shè)，，記，，分別為，的算術(shù)平均數(shù)?幾何平均數(shù)?調(diào)和平均數(shù)，古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯(Paps)于公元4世紀(jì)在其名著《數(shù)學(xué)匯編》中研究過(guò)時(shí)，，的大小關(guān)系，則（1），，中最大的為___________；（2），，中最小的為___________.【答案】【分析】作差比較大小可得答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，，所以，所?所以，，中最大的為；，，中最小的為.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用作差法比較大小是本題解題關(guān)鍵.22．某校為實(shí)施垃圾分類，設(shè)計(jì)了甲?乙兩種方案.為了解該校學(xué)生對(duì)這兩種方案的支持程度，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案甲480人120人320人80人方案乙500人100人350人50人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)方案是否支持相互獨(dú)立，則據(jù)此估計(jì)（1）該校男生中支持方案甲的概率為___________；（2）該校學(xué)生中支持方案乙的概率為___________.【答案】【分析】（1）用支持方案甲的男生人數(shù)除以男生總?cè)藬?shù)可得結(jié)果；（2）用支持方案乙的人數(shù)除以該校學(xué)生總?cè)藬?shù)可得結(jié)果.【詳解】（1）該校男生中支持方案甲的概率為.（2）該校學(xué)生中支持方案乙的概率為.故答案為：；.五、解答題23．如圖，在三棱錐中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).求證（1）平面；（2）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）證明平面即得證；（2）證明平面，即得證.【詳解】（1）由題得又平面平面，所以平面；（2）因?yàn)槠矫妫?又，平面,,所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間直線、平面平行（垂直）位置關(guān)系的判定和證明一般有兩種方法.方法一（幾何法）：線線平行（垂直）線面平行（垂直）面面平行（垂直），它體現(xiàn)的主要是一個(gè)轉(zhuǎn)化的思想.方法二（向量法）：它體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化的思想和向量的工具性.24．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為.已知，，再?gòu)臈l件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的周長(zhǎng).條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】選擇條件①，的周長(zhǎng)為；條件②的周長(zhǎng)為.【分析】根據(jù)題干條件，再分別選擇條件①和條件②，結(jié)合正弦定理和余弦定理，直接解三角形即可.【詳解】選擇條件①：，根據(jù)，由正弦定理可得，由余項(xiàng)定理可得：，所以，即，由，可得，所以，，所以周長(zhǎng)為；選擇條件②：，由可得：，所以，根據(jù)，由正弦定理可得，所以，，所以，，所以的周長(zhǎng)為.25．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）判斷在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）是否存在，使為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）在定義域上是減函數(shù)；證明見(jiàn)詳解；（2）存在，.【分析】（1）先判斷函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)單調(diào)性的定義證明，即可得出結(jié)論；（2）先假設(shè)存在，