二次函數(shù)與一元二次方程不等式教學設計高三數(shù)學一輪復習

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【課標要求】為高中數(shù)學課程做好學習心理、學習方式和知識技能等方面的準備。知識技能方面：一元二次方程的求解、一元二次方程根與系數(shù)關系、一元二次方程實根的分布、二次函數(shù)的圖象性質應用、一元二次不等式、簡單的分式不等式、絕對值不等式解法教學目標：掌握二次函數(shù)，會結合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù)，了解函數(shù)的零點與方程根的關系。了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義，能借助二次函數(shù)求解一元二次不等式，了解簡單的分式、絕對值不等式的解法，掌握常見不等式的解法理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系，體會數(shù)學的整體性教學重點：二次函數(shù)圖象性質的應用，一元二次不等式的解法，一元二次方程實根的分布。教學難點：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式聯(lián)系及應用教學過程：一.知識梳理：1.一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系(1)一元二次方程的解集利用配方法，總可以將ax2+bx+c=0(a≠0)化為(xk)2=t的形式，即：ax2+bx+c=0_____________其中△=b24ac,則ax2+bx+c=0(a≠0)的解集為_________;2ax2+bx+c=0(a≠0)的解集為_________;ax2+bx+c=0(a≠0)的解集為_________;(2)一元二次方程根與系數(shù)的關系當一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集時，方程的解記為x1,x?,則有二次函數(shù)的圖像和性質一般式：y=ar2+bx+c頂點式：y=a(xh)2+k交點式：y=a(xx?)(xx2)yxbxb對稱軸直線頂點時，y隨x增大而減小時，y隨x增大而增大時，y隨x增大而增大時，y隨x增大而減小.時，y有最大值，3.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[p,q]上的最大值為M,最小值為m,其中對稱軸為，區(qū)間[p,q]的中點。(4)若4．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖像方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)沒有實數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)的解集5.分式不等式的解法(1)(2)6．絕對值不等式的解法(1)三角不等式:||a||b||≤|a±b|≤|a|±|b|.(2）絕對值不等式的解法:;(3).|xal+|xb|<c(c>0)的解法:先求出使每個絕對值符號內的數(shù)學式子等于0的未知數(shù)的值,再將這些值依次在數(shù)軸上標注出來,它們把數(shù)軸分成若干個區(qū)間,最后討論每個絕對值符號內的式子在每個區(qū)間上的符號,去掉絕對值符號,使之轉化為不含絕對值的不等式去求解,這種方法叫零點分段法。(4).|f(x)|>|g(x)|?[f(x)]2>[g(x)]2;|f(x)|<g(x)(g(x)>0)?g(x)<f(x)<g(x);|f(x)|>g(x)(g(z)≥0)?f(x)<g(x)或f(x)>g(x);7、一元二次不等式恒成立問題(1)在R上恒成立一元二次不等式在R上恒成立問題的題型及求解策略一元二次不等式(a≠0)對任意實數(shù)x恒成立的條件ax2+bx+c>0a>0且△<0ax2+bx+c≥0a>0且△≤0ax2+bx+c<0a<0且△<0ax2+bx+c≤0a<0且△≤0(2)在某范圍內恒成立解決一元二次不等式在某范圍內恒成立問題,可結合二次函數(shù)的圖象進行求解.設f(x)=ax2+bx+c(a≠0).1)確定形如當a≤x≤b時,f(x)>0或f(x)<0的不等式中x的范圍時,常轉化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.2)確定形如當a≤m≤b時,f(x)>0或f(x)<0的不等式中x的范圍時,要注意變換主元,一般地,知道誰的范圍,就選誰當主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù).8.一元二次方程根的分布(1)一元二次方程根的0分布方程的根相對于零的關系:比如二次方程有一正根,有一負根,其實就是指這個二次方程一個根比零大,一個根比零小,或者說,這兩個根分布在零的兩側。0分布結合判別式,韋達定理以及0處的函數(shù)值列不等式,即可求出參數(shù)的取值范圍。(2)一元二次方程根的k分布兩根都小于k即兩根都大于k即一根小于k,一大于k即yykkkkx二．考點強化考點一：一元二次方程命題點1：一元二次方程的求解及根與系數(shù)關系應用例1.（1）（人教B版必修1P49頁例1）求方程x2—1=0的解集.（2）已知一元二次方程2x2+3x一4=0的兩根為x1與x2,求下列各式的值。①②跟蹤練習1:（1）求下列方程的解集:①2x?7x2+3=0;②(x2+x)2+x2+x=30(2)設是關于m的方程的兩個實根，則的最小值是______命題點2：一元二次方程實根分布例2.①已知關于x的方程x2(m+3)x+m+3=0有兩個不相等的正實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。②方程有一根大于1，另一根小于1，求實數(shù)m的取值范圍。跟蹤練習2:①已知函數(shù)f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m1有一個零點在區(qū)間(0,1)內，求實數(shù)m的取值范圍.②方程x2－mx＋1＝0的兩根為α，β，且α>0，1<β<2，求實數(shù)m的取值范圍?？键c二：二次函數(shù)的考查命題點1二次函數(shù)的解析式例3.已知二次函數(shù)f(x)的圖像經過點(4,3)，且圖像被x軸截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式。方法總結：求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，其關鍵是根據(jù)已知條件恰當選擇二次函數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：跟蹤練習3：（1）二次函數(shù)f(x)的最小值為1，且f(0)＝f(2)＝3.求f(x)的解析式；（2）若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)滿足條件f(－x)＝f(x)，定義域為R，值域為(－∞，4]，求函數(shù)解析式f(x).命題點2二次函數(shù)的圖象與性質例3.設abc>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像可能是()方法總結：研究二次函數(shù)圖像應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是拋物線上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.例5.已知函數(shù)f(x)＝x2－tx－1.(1)若f(x)在區(qū)間(－1,2)上不單調，求實數(shù)t的取值范圍；(2)若x∈[－1,2]，求f(x)的最小值g(t)．延伸探究：本例條件不變，求當x∈[－1,2]時，f(x)的最大值G(t)．方法總結：二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點一軸”數(shù)形結合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想求解。跟蹤練習4：（1）.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點A(－1,0)，頂點坐標為(1，n)，與y軸的交點在(0,2)，(0,3)之間(包含端點)，則下列結論正確的是________．(填序號)①當x>3時，y<0；②4a＋2b＋c＝0；③－1≤a≤－eq\f(2,3)；④3a＋b>0.（2）已知f(x)＝ax2－2x＋1.①若f(x)在[0,1]上單調，求實數(shù)a的取值范圍；②若x∈[0,1]，求f(x)的最小值g(a)．考點三：一元二次不等式命題點1：一元二次不等式的解法例6.(1)（教材必修1P55第3題）已知M={x|4x24x15>0},N={x|x25x6>0},求M∩N,MUN.(2)解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．延伸探究在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．方法總結：對含參的不等式，應對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關系判斷根的個數(shù)．(3)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論．跟蹤練習5：(1)已知關于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為{x|x≤－3或x≥4}，則下列說法正確的有______①a>0；②不等式bx＋c>0的解集為{x|x<－4}；③不等式cx2－bx＋a<0的解集為④a＋b＋c>0.(2)解關于x的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0.命題點2：一元二次不等式恒(能)成立問題例7.設函數(shù)（1）若對于一切實數(shù)x,恒成立，求m的范圍;;(2）若對于恒成立，求m的范圍;(3)若對于恒成立，求x的范圍方法總結:①；②含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題，常用的兩種方法：一是利用二次函數(shù)的最值來處理；二是先分離參數(shù)，再求函數(shù)的最值處理要有“主元”思想跟蹤練習6：（1)（教材必修1P58第6題)當k取什么值時，一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立?已知關于x的不等式在R上有解，則實數(shù)a的取值范圍是___;當x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是_______.考點四：分式不等式及絕對值不等式的解法例8.解下列不等式:(1);(2)|12x|<2.(3)|x－5|＋|x＋3|≥1跟蹤練習7：①已知關于x的不等式的解集是,求a的值②若關于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|，存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______三．課堂小結：(1)請梳理總結本節(jié)課知識點有哪些？（2）利用三個二次解題時應注意什么問題？四．課后作業(yè)：1.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（）A.3B.2C.1D.02.對已知函數(shù).若，=1－a， A.B.C. D.的大小不能確定3.已知函數(shù)的圖像與x軸的交點至少有一個在原點右側，則實數(shù)m的取值區(qū)間是()A.B.(0,1)C.D.4.二次函數(shù)的圖像如圖所示，記，則M與N的大小關系是_________________5.設函數(shù)在上有最大值求實數(shù)a的值。6.若不等式對一切實數(shù)x均成立，求實數(shù)a的取值范圍。7.設(1)求證：函數(shù)與圖像有兩個交點；(2)設與圖像交于A,B兩點，A,B在x軸上射影為A1,B1，求的取值范圍；(3)求證：當時，恒有8.已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為，且不等式的解集為。(1)若方程有兩個相等的根，求的解析式；(2)若的最大值為正數(shù)，求的取值范圍。9.如圖所示，某學校要在長為8m,寬為6m的一塊矩形地面上進行綠化，計劃