概率論章節(jié)作業(yè)答案

第一章隨機事件與概率

一、單項選擇題

L擲一枚骰子，設4=｛出現(xiàn)奇數(shù)點｝,3=｛出現(xiàn)1或3點｝,則下列選項正確的是

(B)

A.AB=｛出現(xiàn)奇數(shù)點｝B.A7=｛出現(xiàn)5點｝

C.與=｛出現(xiàn)5點｝D.AUB=。

2.設A、B為任意兩個隨機事件，則下列選項中錯誤的是(A).

A.(A+B)-B=AB.(A+B)-B=A-B=A-AB

C.(A-B)+B=A+BD.AB+AB=A

3.將一枚勻稱的硬幣投擲兩次，令A尸｛第i次正面向上｝(i=l,2),則“至少

有一次正面向上”可表示為

(D).

\.AiA2UB.A&C.A]&D.A|U4

4.某人向一目標射擊3次，設A,?表示“第i次射擊命中目標”(戶1,2,3),

則3次都沒有命中目標表示為

(A).

A.A4AB.A|+A,+4C.444D.A|A,Aj

5.設A與8為互為對立事件，目P(A)>0,P(B)>0,則下列各式中錯誤的是

(A

).

A.P(A|S)=0B.P(B|A)=0C.P(A8)=0D.P(4UB)=1

6.設事件A與3相互獨立,P(4尸0.2,P⑻=0.4,則P(A\B)=

(D).

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

7.已知事件A與8互不相容，尸(A)>0,P(8)>0,則

C).

A.P(AU8)=1B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(AB)=OD.P(AB)>0

8.設P(A尸0,B為任一事件，則(C).

A.A=O>B.AuBC.A與8相互獨立D.A與8互不相容

9.已知P(A尸0.4,P(B)=0.5,且Au8，則出尸(c).

A.0B.0.4C,0.8D.1

10.設A與B為兩事件，則而=(B).

A.ABB.AUBC.Afi5D.

1L設事件Au8,P(A尸0.2,P(B尸0.3,則=(A).

A.0.3B.0.2C.0.5D.0.44

12.設事件A與8互不相容,P(A)=0.4,P(B)=0.2,則P(A|8尸

(D).

A.0.08B.0.4C.0.2D.0

13.設48為隨機事件,P(3)>0/(4四=1,則必有(A).

A.P(AUB)=P(A)B.AuB

C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P(A)

14.從1,2,3,4,5中任意取3個數(shù)字，則這3個數(shù)字中不含5的概率為(A).

A.0.4B.0.2C.0.25D.0.75

15.某學習小組有10名同學，其中6名男生、4名女生，從中任選4人參加社會

活動，則4人中恰好2男2女的概率為

(A).

31

A.-B.0.4C.0.25D.-

76

16.某種動物活20年的概率為0.8,活25年的概率為0.6,現(xiàn)有一只該種動物已

經(jīng)活了20年，它能活到25年的概率是(B).

A.0.48B.0.75C.0.6D.0.8

17.將兩封信隨機地投到4個郵筒內(nèi)，則前兩個郵筒內(nèi)各有一封信的概率為

(A).

A.0.125B.0.25C.0.5D.0.4

18一.批產(chǎn)品的合格品率為96%,而合格品中有75%是優(yōu)質(zhì)品，從該批產(chǎn)品中

任取一件恰好是優(yōu)質(zhì)品的概率為

(A).

A.0.72B.0.75C.0.96D.0.78

19.設有10個產(chǎn)品，其中7個正品,3個次品，現(xiàn)從中任取4個產(chǎn)品，則這4個

都是正品的概率為

(C).

B7,C.耳

B-IF

20.設有10個產(chǎn)品，其中8個正品，2個次品，現(xiàn)從中抽取3次，每次任取1個,

取后放回，則取到的3個產(chǎn)品都是正品的概率為

(C).

A8R以「8'

/X.D.-V/.——u.——

10103103

21.某人打靶的命中率為0.4,現(xiàn)獨立地射擊5次，則5次中恰有2次命中的概率

為

(C).

A.0.42B.0.63C.C10.420.63D.C；0.430.62

22.隨機地拋擲質(zhì)地勻稱的6枚骰子，則至少有一枚骰子出現(xiàn)6點的概率為

(D).

A.C：泠5BMC：泠5C.*(}5D.l-(1)6

23.把3個不同的球分別放在3個不同的盒子中,則出現(xiàn)2個空盒的概率為

(A).

A.-B.-C.-D.-

9233

24.從1,2,3,4,5,6六個數(shù)字中，等可能地、有放回地連續(xù)抽取4個數(shù)字，則取到

的4個數(shù)字完全不同的概率為

(A).

414!

A-得B.—CD.

6!4F

25.某人每次射擊命中目標的概率為p(O<p<l),他向目標連續(xù)射擊，則第一次

未中第二次命中的概率為

(D).

A.p2B.(1-p)2C.l-2pD.p(l-p)

二、填空題

1.一個盒子中有6顆黑棋子、9顆白棋子，從中任取兩顆，則這兩顆棋子是不

同色的概率為18/35.

2.甲乙兩人，每人扔兩枚均勻硬幣，則兩人所扔硬幣均未出現(xiàn)正面的概率為

1/16.

3.設袋中有5個紅球、3個白球和2個黑球，從袋中任取3個球，則恰好取到1

個紅球、1個白球和1個黑球的概率為0.25.

4.從數(shù)字1,2,10中有放回地任取4個數(shù)字，則數(shù)字10恰好出現(xiàn)兩次的

概率為0.0486.

5.甲乙丙三人各自獨立地向一目標射擊一次，三人的命中率分別是0.5,0.6,

0.7,則目標被擊中的概率為0.94.

6.甲袋中裝有兩白一黑共3個球，乙袋中裝有一白兩黑共3個球，從甲袋中任

取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，則取到白球的概率為5/12.

7.設事件A與3互不相容，P(A)=0.2,P(B)=0.3,則P(7UB)=

8.設事件A與8相互獨立，月.P(A+B)=0.6,P(A)=0.2,則P(B)=

9.設P(A)=0.3,P(B|A)=0.6,則P(AB)=

10.設尸(A)=P(B)=P(C)=LP(AB)=尸(AC)=LP(BC)=0,則P(A+B+C)=

46

5/12.

11.已知P(A尸0.7,尸0.3,則P(AB)=^6.

12.某射手對一目標獨立射擊4次，每次射擊的命中率為0.5,貝必次射擊中恰好

命中3次的概率為0.25.

13.已知P(A)=0.4,P(8)=0.8,7(B|A)=0.25,則尸伍出)=0.125.

14.設P(A)=；,尸(81A)=；,P(A⑶=；,則尸(AU8)=1/1.

15.一批產(chǎn)品的廢品率為4%,而正品中的一等品率為60%,從這批產(chǎn)品中任取

一件是一等品的概率為0.576.

16.甲、乙兩門高射炮彼此獨立地向一架飛機各發(fā)一炮，甲、乙擊中飛機的概

率分別為04,0.5,則飛機至少被擊中一炮的概率為".

三、計算題

1.設P(A尸0.4,尸(8尸0.2,P(B|A)=0.3,求P(AB)以及P(A|3).

解:由得:即「⑻-「(

P(B|A)=0.3=0.3,A0=03

P(A)l-P(A)

解得:P(43)=0.02.從而，2缶|8)=今需=答=0.1.

2.已知AuB,P(A)=0.2,尸(3)=0.3,求：(1)P國，尸位);(2)P(AB)；(3)P(AB)；

(4)P(AU8)；(5)P(B-A).

⑴由概率的性質(zhì)，知尸(X)=l—P(A)=0.8,P(B)=l-P(B)=0.7；

(2)因為Au8,所以=P(AB)=P(A)=0.2；

(3)P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=O；

(4)因為Au3,所以AUB=8,P(AUB)=P(B)=0.3；

或者，尸(AU8)=P(A)+P(5)-P(A8)=0.2+0.3-0.2=0.3；

3.若事件A與B互不相容，P(A尸0.6,尸(A+B)=0.9,求：(1)P(布)；(2)P(A\B)；

(3)P(麗.

解:⑴因A與5互不相容，故A3=0>,P(AB)=O,所以尸(A8)=1-P(AB)=1；

(2)因A與3互不相容，由加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B),得P(B尸0.3,從而

P(A)-P(AB)0.66

P(B)l-P(B)0.77

(3)P(AB)=1-P(AB)=1—P(A+3)=1—0.9=0.1.

4.已知事件A與8相互獨立，且P(A)=0.4,P(A+B)=0.6,求(1)尸(8);(2)P(A歷;

⑶P(A|B).

解：(1)因為事件A與8相互獨立，所以P(AB尸P(A)P(3),

P(A+B)=P(A)+P(B)_P(AB)=P(A)+P(ff)-P(A)P(B)

0.6=0.4+P(B)-0.4P(B),解得：P(B尸;;

———A

⑵因為事件A與8相互獨立，所以A與8也相互獨立，故P(AB)=P(A)P(8)=w；

(3)因為事件A與8相互獨立，所以P(A|B)=P(A)=0.4.

四、應用題

1.一批產(chǎn)品共有50個，其中40個一等品、6個二等品、4個三等品，現(xiàn)從中任

取3個產(chǎn)品，求3個產(chǎn)品中至少有2個產(chǎn)品等級相同的概率.

解：設A“3個產(chǎn)品中至少有2個產(chǎn)品等級相同”，A“3個產(chǎn)品等級都不同”，

CCG_12

由古典概率定義，得P（，）==0.049,從而

以。245

P(A)=1-0.049=0.951.

2.10把鑰匙中有3把能打開門，現(xiàn)從中任取2把，求能打開門的概率.

解:A“取出2把鑰匙能打開門”，由古典概率知：

c；G+c；_8

P(A)=c；°=后

3.將5雙不同的鞋子混放在一起，從中任取4只，求這4只鞋子至少能配成一

雙的概率.

解：A“4只鞋子中至少能配成一雙"，則N“4只鞋子都不同”.由古典概率

得：臉）=當詈故?⑷=1一嗝得

4.從0,1,2,3這4個數(shù)中任取3個進行排列，求取得的三個數(shù)字排成的數(shù)是

三位數(shù)且是偶數(shù)的概率.

解：A“排成的數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù)”，Ao“排成的三位數(shù)末位是0”，A2

“排成的三位數(shù)末位是2"，則A=4+A2,且4與4互不相容，因為

C22f1ClCl1

P（4）=—=P（AJ=^A=_,

~C；3!4盟C：3!6

所以，P（A）=P（A）+P（A）*.

5.一批零件共100個，次品率為10%,每次從中任取一個零件，取出的零件不

再放回去，求下列事件的概率:

（1）第三次才取得合格品；

（2）如果取得一個合格品后就不再取零件，在三次內(nèi)取得合格品.

解：設A“第i次取到合格品”（i=l,2,3）.則

（1）第三次才取到合格品的概率為:

--------------------10990

P（A44）=尸⑷尸（41A）P（A31A4）=—x-x-=0.0083.

（2）A“三次內(nèi)取得合格品”，則4=4+442+444,所求概率為:

P（A）=P（A）+P（AA2）+P（A&A）

p（A）+P（A）P（A2I4）+P（A）P（4IA）P（AIA4）

90109010990,

=——+——x——+——x—x——-0n.n9n99n3.

100100991009998

6.盒子中有8個紅球和4個白球，每次從盒子中任取一球，不放回地抽取兩次,

試求：（1）兩次取出的都是紅球的概率；（2）在第一次取出白球的條件下，第二次

取出紅球的概率；（3）第二次取到紅球的概率.

解:Ai”第一次取出的是紅球”，①“第二次取出的是紅球”，則

（1）由乘法公式得，兩次取出的都是紅球的概率為:

尸（44）=尸（4?（414）喂《=芥

一2

（2）在第一次取出白球的條件下，第二次取出紅球的概率為：P（&|a）=R；

(3)由全概率公式得，第二次取到紅球的概率為：

尸(/)=p(A)P(41A)+尸(1)尸(414)

7.某工廠有三臺設備生產(chǎn)同一型號零件，每臺設備的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的

25%,35%,40%,而各臺設備的廢品率分別是0.05,0.04,0.02,今從全廠生產(chǎn)

的這種零件中任取一件，求此件產(chǎn)品是廢品的概率.

解:設4"第z?臺設備生產(chǎn)的零件"(i=l,2),8“產(chǎn)品是廢品”，由題意知:

P(Ai)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%,P(B|A,)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.02,

由全概率公式得，產(chǎn)品是廢品的概率為：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(4)P@4)+P(4)P@A)

=25%x0.05+35%x0.04+40%x0.02=0.0345.

8.兩臺車床加工同一種零件，加工出來的零件放在一起，已知第一臺出現(xiàn)廢

品的概率是0.03,第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02,且第一臺加工的零件比第二臺

加工的零件多一倍.

(1)求任取一個零件是合格品的概率；

(2)如果取出的是廢品，求它是由第二臺車床加工的概率.

解：設8"零件是合格品”，A“第一臺車床加工的零件”，則入“第二臺

7—1

車床加工的零件”,由題意知：P(A)=],P(A)=§.

(1)由全概率公式得：P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=|x(l-0.03)+1x(l-0.02)=0.973；

(2)由貝葉斯公式得，如果取出的是廢品，求它是由第二臺車床加工的概率

為：

-X0.02

隔而需=耳嘿詈-2.92-0-25

1

3

9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，假設男人女人各占一半.現(xiàn)隨機地挑

選一人，求：

⑴此人恰是色盲的概率是多少？

(2)若隨機挑選一人，此人是色盲，問他是男人的概率多大?

(3)若隨機挑選一人，此人不是色盲，問他是男人的概率多大？

解：設B“色盲患者”，A“隨機挑選一人是男人”，由題設知:

1—1—

尸(A)=5,尸(A)=Q,P(BIA)=5%,P{BIA)=0.25%,則

(1)由全概率公式得，隨機挑選一人是色盲的概率為：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=-x5%+-x0.25%=0.02625；

22

(2)由貝葉斯公式得，隨機選一人是色盲，他是男人的概率為：

P⑷8)=3=P(A)P⑻田=工=0.952；

P(B)P(B)0.02625

(3)由貝葉斯公式得，隨機選一人不是色盲，他是男人的概率為:

P(Ag)_P(A)P(B|A)_2^/0

P(A\B)=0.4878.

P(B)~l-P(B)-0.97375

10.現(xiàn)有10張考簽，其中4張是難簽，甲、乙、丙三人抽簽考試(取后不放回),

甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：

(1)甲乙都抽到難簽；

(2)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽；

(3)甲乙丙都抽到難簽；

(4)證明：甲乙丙抽到難簽的機會均等.

解：設A,B,C分別表示“甲、乙、丙抽到難簽”，則

437

⑴甲乙都抽到難簽的概率為：P(AB)=P(A)P(B|A)=—=—；

(2)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率為：

———644

P(M)=P(A)P(B|A)=-x-=-;

(3)甲乙丙都抽到難簽的概率為：

4321

產(chǎn)(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|/1B)=—x-x-=—；

(4)由古典概率知，甲抽到難簽的概率為：P(A)=—=0.4.

由全概率公式得，乙抽到難簽的概率為：

--4364

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=—x-+—x-=0.4.

丙抽到難簽的概率為：

P(C)=P(AB)P(C|AB)+P(AB)P(C\AB)+P(AB)P(C\AB)+P(AB)P(C\~AB)

432643463654,

=-x—x—+—x—x-d——x—x-d——x-x—=n0.4.

1098109810981098

得，P(A)=P(B)=P(0=0.4,所以，甲乙丙抽到難簽的機會均等，各占40%.

11.三個人向同一敵機射擊，設三人命中飛機的概率分別為0.4,0.5和0.7.若

三人中只有一人擊中，飛機被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，飛機被擊落的

概率為0.6；若三人都擊中，則飛機必被擊落.求飛機被擊落的概率.

解：設A表示“三人中恰有i人擊中飛機”,i=0,1,2,3.8”飛機被擊落”.

A。,A],A2,4構(gòu)成完備事件組，且

P(4)=(l-0.4)x(l-0.5)(l-0.7)=0.09,

P(^)=0.4x(l-0.5)x(l-0.7)+(l-0.4)x0.5x(l-0.7)+(l-0.4)x(l-0.5)x0.7=0.36,

P(?I2)=0.4X0.5X(1-0.7)+0.4X(1-0.5)X0.7+(1-0.4)X0.5X0.7=0.41,

P(A3)=0.4x0.5x0.7=0.14.

由題設知：P(8|4)=O，P(8|A)=O2P(8|4)=O.6,P(B|4)=1.

故，由全概率公式得，飛機被擊落的概率為：

尸(8)=P(4)P(B|4)+P(A)P(B|A)+P(A2)P(8|A2)+P(A3)P(8|A3)

=0.09x0+0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458.

12.在上題中，假設三人的射擊水平相當，命中率都是0.6,其他條件不變，

再求飛機被擊落的概率.

解：設4表示“三人中恰有i人擊中飛機”，i=0,1,2,3.8“飛機被擊落”.

A。,Ai,4,4構(gòu)成完備事件組，且由貝努里公式得：

)=C；x0.6°xO.43=0.064,P(4)=C；xO.6xO.42=0,288,

23

P(4)=C}x0.6x0.4=0.432,P(A3)=C/x0.6=0.216.

由題設知：P(5|4)=0,P(B|A)=02,P(3|4)=0.6,P(5|4)=L

故由全概率公式得，飛機被擊落的概率為：

3

P(B)=ZP(4)尸(巾4)

/=0

=0.064x0+0.288x0.2+0.432x0.6+0.216x1=0.5328

13.已知一批產(chǎn)品中有95%是合格品，檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，一個合格品被誤判為

次品的概率為0.02,一個次品被誤判為合格品的概率為0.03,求：

(1)任意抽查一個產(chǎn)品，它被判為合格品的概率；

(2)一個經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品，它確實是合格品的概率.

解：設A”產(chǎn)品是合格品”，B“經(jīng)檢查產(chǎn)品被判為合格品”,且由題意知：

P(A)=95%,P(A)=1-95%=5%,P(B|A)=l-0.02=0.98,P(B\A)=0.03.則

(1)由全概率公式得，任意抽查一個產(chǎn)品，它被判為合格品的概率為：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=95%x0.98+5%x0.03=0.9325；

(2)由貝葉斯公式得，一個經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品，它確實是合格品的概

率為：

P(A3)_0.95x0.98

P(AB)==0.9984.

P(B)0.9325

14.一個工人看管三臺機床，在一小時內(nèi)機床不需要工人看管的概率第一臺

為0.9,第二臺為0.8,第三臺為0.7,且三臺機床是否需要看管彼此獨立.求在一小

時內(nèi)三臺機床中最多有一臺需要工人看管的概率.

解：設A”第冶機床需要看管”,i=\,2,3.”三臺機床中最多有一臺需

要工人看管”表示為A4+AA4+Aa2A3+A&A，且這4個事件兩兩互不

相容，由加法與獨立性知，所求的概率為：

p(A44+44A+AAA+444)

=p(A&A)+P(A4A)+P(44A)+尸(A4A)

=p(A)p(無)P(4)+P(4)P(4)P(A)+P(4)P(無)P(A)+P(QP(無)p(A)

=0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x0.34-0.9x0.8x0.7=0.902

15.加工某一零件共需經(jīng)過三道工序，設第一、第二、第三道工序的次品率

分別是2%,3%,5%.假定各道工序是互不影響的，問加工出來的零件的次品率

是多少？

解：設4"第i道工序加工出次品"，i=l,2,3.則加工出來的零件是次品表

示為4+A2+A3,且4,A2,A3相互獨立，從而4,可,兄也相互獨立.

所求概率為：

P(A+4+4)=I-尸(44%)=1-尸(4)P(4)P(4)

=1-(1-2%)(1-3%)(1-5%)=0.09693.

16.甲、乙、丙三人獨立地破譯一密碼，他們各自能破譯出的概率分別是0.4,

0.6,0.7,求此密碼被破譯的概率.

解：設A,B,。分別表示“甲、乙、丙破譯出密碼”，則A+8+C表示“密

碼被破譯”，且A，B,。相互獨立，從而4瓦不也相互獨立，故所求概率為：

P(A+B+C)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)

=1-(1-0.4)(l-0.6)(l-0.7)=0.928.

17.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7,各在兩批中隨機取一粒，求:

(1)兩粒種子都能發(fā)芽的概率；

(2)至多有一粒種子能發(fā)芽的概率；

(3)至少有一粒種子能發(fā)芽的概率.

解：設A,8分別表示“甲、乙種子發(fā)芽”，由題設知：

P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A)=1-0.8=0.2,P(B)=1-0.7=0.3.

(1)兩粒種子都能發(fā)芽的概率為：P(AB)=尸(A)P(B)=0.8X0.7=0.56；

(2)至多有一粒種子能發(fā)芽的概率為：

P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B)+P(A)P(fi)+P(A)P(B)

=0.8x0.3+0.2x0.74-0.2x0.3=0.44；

(3)至少有一粒種子能發(fā)芽的概率為：

P(AU8)=P(A)+P(B)—P(AB)=P(A)+P(B)~P(A)P(8)

=0.8+0.7—0.8x0.7=0.94.

18.一批產(chǎn)品有70%的一級品，進行重復抽樣檢查，共抽取5件樣品，求：

(1)取出5件樣品中恰有2件一級品的概率pi；

(2)取出5件樣品中至少有2件一級品的概率p2；

(3)取出5件樣品中至少有一件一級品的概率P3.

解：該問題是參數(shù)“=0.7的5重貝努里試驗，由貝努里公式得：

⑴取出5件樣品中恰有2件一級品的概率/?I=C^X0.72X0.33=0.1323；

(2)取出5件樣品中至少有2件一級品的概率為：

5

P2=￡c；X0.7Ax0.35-i=l-CjX0.7°X0.35-C；X0.7X0.34=0.96922；

k=2

(3)取出5件樣品中至少有一件一級品的概率為：

5

P3=￡c：x0.7kXO.35-*=1-Cfx0.7°x0.35=0.99757.

k=l

19.一射手對一目標獨立地射擊4次，若至少命中一次的概率為招，求射手射

擊一次命中目標的概率.

.解：設射手射擊一次命中目標的概率為P，由貝努里定理知，4次射擊中至

少有一次命中目標的概率為：1-(1-p)4,由題設知：

[-(I-/?)"=乎，解得：/?=—.

813

20.一射手對一目標獨立地射擊，每次射擊命中率為p,求射擊到第4次時恰

好兩次命中的概率.

解：射手射擊到第4次恰好有兩次命中目標，即第四次命中，而前三次中恰

有一次命中，由貝努里定理知，所求概率為:

P=PC；P(1-P)2=3P2(1-p)2.

五、證明題

1.設O<P(3)<1,證明事件A與8相互獨立的充分必要條件是P(A|B)=P(A|B).

證：必要性設事件A與8相互獨立，則P(AB尸P(A)P(B),P(A|8)=P(A),

P(AE)_P(A-AB)_P(A)-P(A)尸(8)

P(A\B)==P(A),

P(囪一]_P(B)—l-P(B)

所以，P(A\B)=P(A\B).

充分性若尸(A|8)=P(A|豆)，則

P(A8)_P(戲)_P(A—A8)_P(A)-P(AB)

P(B)-P(B)-l-P(B)--l-P(B)

對上式兩端化簡，得：P(45)=P(A)P(B),所以A與8相互獨立

2.證明條件概率的下列性質(zhì):

(1)若P(5)>0,則0WP(A|8)<1,P(Q|B)=1,P(①|(zhì)8)=0；

(2)若A與B互不相容，P(C)>0,則尸(AU5|C)=尸(A|C)+P(5|C)；

⑶P(N|B)=1-P(A⑶.

P(AB)

證：(1)因為P(A|B)=,而OWP(AB)〈尸(8),所以，O<P(A|B)<1,

P(B)

且3所鬻嗡“尸"所鬻喘

(2)若A與8互不相容，則AC與也互不相容，從而

P(ACIJBC)_P(AC)+P(BC)

P(AUB|C)==P(A|C)+P(B|C)；

P(C)P(C)

(3)由性質(zhì)(2)得：P(AUA\B)=P(A\B)+P(A\B),又AU^=C，由性質(zhì)⑴知,

P(Q|B)=1,所以，P(A|B)+P(Z|B)=1,即P(N|B)=1-P(A|B)

第二章隨機變量及其概率分布

一、單項選擇題

X012

1.設隨機變量X的分布律為

P0.30.20.5

則P{X<1}=

C).

A.0B.0.2C.0.3D.0.5

2.設隨機變量X的概率分布為X0123

P0.10.20.3a

則a=

(D).

A.0.2B.0.3C.0.1D.0.4

￡x>l

3.設隨機變量X的概率密度為/*)=尸,則常數(shù)c=

0,x<1

(D).

A.-1B.-C.--D.1

22

6ZX3,鼠”則常數(shù)。

4.設隨機變量X的概率密度為f(x)=-

(D).

A.B.-C.3D.4

42

5.下列B百數(shù)中可作為某隨機變量的概率密度日總數(shù)的

(A).

粵，x>10。10

—,x>A0

AJxB.vX

0,x<1000,x<0

fl13

-1,0<x<2一，-<x<-

C.D.222

0,其它

.0,其它

6.設函數(shù)/(x)在區(qū)間[a,句上等于sinx,而在此區(qū)間外等于0；若/(x)可以

作為某連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)，則區(qū)間[a,句為(A).

TT7T

A.[0,-]B.[0㈤C.[--,0]D.[0,y]

7.下列函數(shù)中，可以作為某隨機變量X的分布函數(shù)的是(C).

0,x<0

0.5x,x<0

0.3,0<x<l

A.F(x)=B.F(x)=<0.8,0<x<l

0.2,1<x<2

1,x>1

.1,x>2

兀

Q0,x<——

x<02

0.1,0<x<5

C.R(x)=<D.尸(x)=<sinx,——<x<0

0.6,5<x<62

J,x>61,x>0

8.設F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，則(B).

A.尸(x)一定連續(xù)B.F(x)一定右連續(xù)

C.F(x)是不增的D.尸(x)一定左連續(xù)

9.設/(x)=P(X?x)是隨機變量X的分布函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是

(D).

A.F(x)是定義在(-8,+oo)上的函數(shù)B.limF(x)—limF(x)=1

X—x—

C.P(a<X<b)=F(b)-F(a)D.對一切實數(shù)x,都有0<F(x)<l

10.設隨機變量的概率分布為P(X=k)=a(--)k,(k=1,2,3...)，則常數(shù)a=(B).

A.1B.-C.2D.--

22

11.已知隨機變量X的分布律為

X0123

P0.30.40.10.2

F(x)是X的分布函數(shù)，則F(2.5)=(B).

A.0.7B.0.8C.0.1D.1

2x,0<x<1?,

12.隨機變量X的概率密度/(》)=甘…，則

0,其它

P{—；WX<；}=(A).

A.-B.-C.-D.-

4324

13.已知隨機變量X的分布律為X-1012

P0.10.20.30.4

若隨機變量r=x2,則P{Y=\}=

(c).

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.2

14.設隨機變量X?仇4,0.2),則P{X>3}=

(A).

A.0.0016B.0.0272C.0.4096D.0.8192

15.設隨機變量X?N(l,4),Q2X+1,h(C).

A.Ml,4)B.MO,1)C.N(3,16)D.N(3,9)

16.設X?N(〃,/)，①(x)是N(O,1)的分布函數(shù)，則P(a<XWZ?)=(D).

A.①(份-①(a)B.①(。)+①(a)

cs(—A-0(-D.a)(—―)-^(———)

a~a~<7(J

17.設X?N(-l,4),①(x)是N(0,1)的分布函數(shù)，則P(-2<X<0)=(A).

A.2①(；)一1B.(D(O)-0>(-2)C.①(2)-；D.0>(2)-0)(0)

18.設X?N(0,1),o(x)是X的概率密度函數(shù)，則°(0)=(C).

A.0B.0.5D.1

19.設X服從均勻分布U[0,5],Y=3X+2,則V服從(B).

A.U[0,5]B.U[2,17]C.U[2,15]D.U[0,17]

20.某種商品進行有獎銷售，每購買一件有0.1的中獎率.現(xiàn)某人購買了20件

該商品，用隨機變量X表示中獎的件數(shù)，則X的分布為(D).

A.正態(tài)分布B.指數(shù)分布C.泊松分布D.二項分布

21.設X服從參數(shù)4=2的泊松分布，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則下列正確的選

項是(B).

A.尸⑴=/B.F(0)=e-2

C.P(X=0)=P(X=l)D.P(X<1)=2e~2

2

22.設X服從參數(shù)4的泊松分布，且尸(X=1)=§P(X=3),則4=(C).

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

1.若P(X4/)=1一/，P(Xi』)=1-a,其中修。2,則P(F?xVw)=1?

2.設隨機變量X的概率分布為X-2012

P0.10.20.30.4

記y=x2,則p(y=4尸”.

3.若x是連續(xù)型隨機變量，則P(X=1)=&

4.設隨機變量X的分布函數(shù)為A(x),已知尸(2)=0.5,F(-3)=0.1,則

P(-3<X<2)=04.

5.設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)上「J力，則其密度函數(shù)為.

0,x<0

6.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為尸(x)=<sinx,0<x<y,其密度函數(shù)為

1,x>-

I2

/(%),則.槨=12

6

1_p-XV>0

7.設隨機變量X的分布函數(shù)為尸(x)='，則當x>0時，X的概率密

0,x<0

度f(x)=1..

8.設隨機變量X的分布律為

X012

P0.40.20.4

則P(0WX41)=/.

9.設隨機變量X?N(3,4),則P(4<X<5)=0.148.

(其中①⑴=0.8413,0(0.5)=0.6915)

10.設隨機變量X服從參數(shù)為6的泊松分布，寫出其概率分布律P(X=K)=6K/K!

K=0,1,2,3.

1L若隨機變量X?以4,0.5),則P(X>1)=15/16.

12.若隨機變量X?U(0,5),且y=2X,則當0<y<10時，丫的概率密度：(v)=l/10.

13.設隨機變量XTV(0,4),則P(X>0)=05.

14.設隨機變量x-u(-i,1),則p(|x區(qū);)=".

15.設隨機變量X在［2,4］上服從均勻分布，則P(2<X<3)=05.

16.設隨機變量X?M-1,4),則丫="工?N(0,1).

17.設隨機變量X的分布律為P(X=Z)=f,%=0,1,2,…，則。=羽.

18.設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為/(%)=［丘+L則公文2.

0,其它

19.若隨機變量X?M1,16),Y=2X-\,則y~N(l,64).

20.若隨機變量X?U(l,6),Y=3X+2,則丫?U(5,20).

三、計算題

0,x<0

1.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為尸(x)=?f,0<x<l,求X的概率密度

1,x>\

函數(shù).

解：由分布函數(shù)與概率密度函數(shù)之間的關(guān)系F'(x)=/(x)知，當04<1時，

f(x)=(x2Y=2x,

當或xWO時，/(x)=0,所以，X的概率密度為/(尤)=1/

0,算c匕

2.設X服從參數(shù)〃=0.2的0-1分布，求X的分布函數(shù)及P(X<0.5).

解：X的分布律為

X01

P0.80.2

當x<0時，F(xiàn)(x)=P(X<x)=Q；

當0<x<l時，F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(X=0)=0.8；

當xNl時,F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)=0.8+0.2=1.

0,x<0

所以，X的分布函數(shù)為尸")={o,8,0<x<l；而P(X〈0.5尸尸(X=0)=0.8.

1,x>1

3.設隨機變量X~U(a,8)，求X的密度函數(shù)與分布函數(shù).

解：X的密度函數(shù)為〃x)=分布函數(shù)/(%)=「/⑺山,

J—O0

0,其它

當x<a時，F(xiàn)(x)=「f(t)dt=「0力=0；

J—ooJ-co

當〃<x<b時，F(xiàn)(x)=「f(t)dt=[Odt+「---dt=---

J-LLb-ab-a

當xN/?時，F(xiàn)(x)=f=[Odt+「一^—dt+「Odt=1.

J-0?J-8Jab-aJb

0,x<a

所以，X的分布函數(shù)為尸(x)=|士3a<x<b.

b-a

1,x>h

4.設隨機變量X~N(3,4),求：⑴尸(2<X<3)；⑵P(-4<X<10)；(3)P(|X|>2)；

(4)P(X>3).

解：⑴P(2<X<3尸F(xiàn)(3)-22)=①(言)一①=①(°)一①(一0?5)

=0>(0)-[1-0)(0.5)]=0.1915；

10-3-4-3

(2)P(-4<X<10)=F(10)-F(-4)=<D(—^―)-<D(^—)

=①(3.5)-O(-3.5)=20)(3.5)-1=0.9996；

(3)P(|X|>2)=1-P(|X\<2)=1-P(-2<X<2)=l-[F(2)-F(-2)]

2—3—2—3

=l-[<D(-y^)-①(=①(0.5)-①(2.5)+1=0.6977；

(4)P(X>3尸