2024-2025學(xué)年黑龍江省龍東十校高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省龍東十校高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知空間向量a=(1,?3,5),b=(2,x,y)，且a//bA.10 B.6 C.4 D.?42.若zi3=2+i，則z=A.1?2i B.?1+2i C.?1?2i D.1+2i3.若向量a=(?1,2),b=(m+1,2)，且(a+A.?8 B.8 C.?2 D.24.某校為了了解學(xué)生的體能情況，于6月中旬在全校進(jìn)行體能測(cè)試，統(tǒng)計(jì)得到所有學(xué)生的體能測(cè)試成績均在[70,100]內(nèi).現(xiàn)將所有學(xué)生的體能測(cè)試成績按[70,80)，[80,90)，[90,100]分成三組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.若根據(jù)體能測(cè)試成績采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20名學(xué)生作為某項(xiàng)活動(dòng)的志愿者，則體能測(cè)試成績?cè)赱70,80)內(nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為(

)A.4 B.6 C.8 D.105.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是α內(nèi)兩條不同的直線，則“l(fā)//β，且m//β”是“α//β”的(

)A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為30π，則該圓臺(tái)的體積V=(

)A.29π B.31π C.87π D.93π7.圖，在九面體ABCDEFGH中，平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AGF//平面HCD，AG=GF=CH=HD=AB，底面ABCDEF為正六邊形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.GH//平面ABCDEF B.GH⊥平面AFG

C.平面HCD⊥平面ABCDEF D.平面ABG⊥平面ABCDEF8.如圖，在棱長為12的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱CD，B1C1的中點(diǎn)，平面A.10

B.15

C.(5+2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知甲組數(shù)據(jù)為4，3，2，乙組數(shù)據(jù)為6，7，8，將甲、乙兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則(

)A.丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5 B.甲組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是2

C.甲組數(shù)據(jù)的方差等于乙組數(shù)據(jù)的方差 D.甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)10.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asinB+csinA=5sinA，bc=b+c+1，△ABC的面積為22，則△ABC的周長可能為(

)A.8 B.5+17 C.9 11.已知邊長為43的正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，P為球O表面上一動(dòng)點(diǎn)，且P不在平面ABC上，當(dāng)三棱錐P?ABC的體積最大時(shí)，直線PA與平面ABC所成角的正切值為2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.球O的表面積為64π

B.PA的最大值為10

C.三棱錐P?ABC體積的最大值為323

D.當(dāng)三棱錐P?ABC的體積最大時(shí)，若點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，則三棱錐Q?ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知空間向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(1,1,m)，若a,13.已知數(shù)據(jù)1，1，3，m，4，7的極差為6，且80%分位數(shù)為m2?20，則m=___．14.如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的所有棱長均為2角均為60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB1，DD1上，且BE=2B1直線AC1與EF四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

7月23日，第8屆中國一南亞博覽會(huì)暨第28屆中國昆明進(jìn)出口商品交易會(huì)在昆明滇池國際會(huì)展中心隆重開幕.本屆南博會(huì)以“團(tuán)結(jié)協(xié)作、共謀發(fā)展”為主題，會(huì)期從23日至28日，共設(shè)15個(gè)展館，展覽面積15萬平方米，吸引82個(gè)國家、地區(qū)和國際組織參會(huì)，2000多家企業(yè)進(jìn)館參展.某機(jī)構(gòu)邀請(qǐng)了進(jìn)館參展的100家企業(yè)對(duì)此次展覽進(jìn)行評(píng)分，分值均在[90,100]內(nèi)，并將部分?jǐn)?shù)據(jù)整理如下表：分?jǐn)?shù)[90,92)[92,94)[94,96)[98,100]頻數(shù)10102020(1)估計(jì)這100家企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后一位)；

(2)估計(jì)這100家企業(yè)評(píng)分的平均數(shù)與方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．16.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a=2b,b2+c2+2bc=a2．

(1)求B；

17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，O為AC的中點(diǎn)，平面POB⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC,AC=PA=2,PB=3．

(1)證明：PA=PC；

18.(本小題17分)

如圖，甲船在點(diǎn)M處通過雷達(dá)發(fā)現(xiàn)在其南偏東60°方向相距20海里的N處有一艘貨船發(fā)出供油補(bǔ)給需求，該貨船正以15海里/時(shí)的速度從N處向南偏西60°的方向行駛.甲船立即通知在其正西方向且相距303海里的P處的補(bǔ)給船，補(bǔ)給船立刻以25海里/時(shí)的速度與貨船在H處會(huì)合．

(1)求PN的長；

(2)試問補(bǔ)給船至少應(yīng)行駛幾小時(shí)，才能與貨船會(huì)合？19.(本小題17分)

將菱形ABCD繞直線AD旋轉(zhuǎn)到AEFD的位置，使得二面角E?AD?B的大小為π3，連接BE，CF，得到幾何體ABE?FDC.已知AB=4,∠DAB=π3,M,N分別為AF，BD上的動(dòng)點(diǎn)且AMAF=BNBD=λ(0<λ<1)．

(1)證明：MN//平面CDF；

(2)求BE的長；

參考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.C

6.B

7.D

8.A

9.ACD

10.AB

11.BCD

12.0

13.5

14.210315.解：(1)由題意得這100家企業(yè)評(píng)分在[96,98)內(nèi)的頻數(shù)為100?10?10?20?20=40，

設(shè)這100家企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值為x，

因?yàn)樵u(píng)分在[90,96)內(nèi)的頻數(shù)之和為10+10+20=40<50，

評(píng)分在[90,98)內(nèi)的頻數(shù)之和為40+40=80>50，

所以x∈[96,98)，

由50?4040=x?9698?96，

得x=96.5；

(2)這100家企業(yè)評(píng)分的平均數(shù)的估計(jì)值為x?=1100(91×10+93×10+95×20+97×40+99×20)=9616.解：(1)由余弦定理得cosA=b2+c2?a22bc=?2bc2bc=?22，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=3π4．

因?yàn)閍=2b，所以sinA=2sinB，解得sinB=12，

因?yàn)閍=2b>b，所以B=π6．

(2)因?yàn)?7.解：(1)證明：因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，AB⊥BC，O為AC的中點(diǎn)，

所以AC⊥OB，AC?平面ABC，

又因?yàn)槠矫鍼OB⊥平面ABC，平面POB∩平面ABC=OB，

所以AC⊥平面POB．

因?yàn)镻O?平面POB，所以AC⊥PO，又O為AC的中點(diǎn)，

所以△PAC是等腰三角形，故PA=PC．

(2)在平面POB上，作PD⊥BO，垂足為D，連接DA，DC．

平面POB⊥平面ABC，平面POB∩平面ABC=OB，

又PD?平面POB，所以PD⊥平面ABCD．

由(1)PA=PC，又AC=PA=2，則△PAC為等邊三角形，

所以O(shè)P=AP2?AO2=62，OB=AC2=22，

所以cos∠BOP=OP2+OB2?BP22OP?OB=?33，所以cos∠DOP=33，

DO=PO?cos∠DOP=22，DP=OP2?DO2=1，

所以AD=DC=AP2?DP2=1，

在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，

所以△ABC≌△PAC，

故∠ADC=∠ABC=90°，即DA⊥DC，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，

PA=(1,0,?1),AB=(0,1,0),AC18.解：(1)由題意知，∠PMN=π2+π3=5π6，PM=303海里，MN=20海里，

在△PMN中，由余弦定理得，PN2=PM2+MN2?2PM?MNcos∠PMN=2700+400?2×303×20×(?32)=4900，

所以PN=70海里．

(2)在△PMN中，由余弦定理得，cos∠MPN=PM2+PN2?MN22PM?PN=2700+4900?4002×3019.(1)證明：在AD上取點(diǎn)H，使得AHAD=AMAF=BNBD=λ(0<λ<1)，連接HM，HN，

如圖1：

因?yàn)锳HAD=AMAF，所以HM//DF，

因?yàn)镈F?平面CDF，HM?平面CDF，

所以HM//平面CDF，

因?yàn)锳HAD=BNBD，所以HN//AB，

又CD//AB，所以HN//CD，

因?yàn)镃D?平面CDF，HN?平面CDF，

所以HN//平面CDF，

因?yàn)镠M∩HN=H且都在面HMN內(nèi)，所以平面HMN//平面CDF，

因?yàn)镸N?平面HMN，

所以MN//平面CDF；

(2)解：取AD的中點(diǎn)O，連接OE，OB，ED，

如圖2：

由題意可得△EAD，△BAD是邊長為4的正三角形，

則EO=BO=42?22=23，

且EO⊥AD，BO⊥AD，所以∠EOB為二面角E?AD?B的平面角，

即∠EOB=π3，則△EOB為正三角形，

所以BE=23；

(3)解：取OB的中點(diǎn)G，連接EG，

則EG⊥OB，且EG=(23)2?(3)2=3，

由(2)得EO⊥AD，BO⊥AD，EO∩OB=O，EO，OB?平面OBE，

所以A

D⊥平面OBE，因?yàn)镋G?平面OBE，

所以EG⊥AD，

又因?yàn)镋G⊥OB，AD∩OB=O，AD，OB?平面ABCD，

所以EG⊥平面ABCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA