常微分方程考研講義

第一章緒論

［教學(xué)目標(biāo)］

1.理解常微分方程及其解的概念，能判別方程的階數(shù)、線性與非線性。

2.掌握將實際問題建立成常微分方程模型的一般步驟。

3.理解積分曲線和方向場的概念。

［教學(xué)重難點］重點微分方程的基本概念，難點是積分曲線和方向場。

［教學(xué)方法］講授，實踐。

［教學(xué)時間】4學(xué)時

［教學(xué)內(nèi)容］常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的階，隱式方程，顯式方程，線性（非線性）

常微分方程；常微分方程的通解，特解，隱式解，初值問題，定解問題，積分曲線和方向場；建立常微分

方程模型的具體方法。

［考核目標(biāo)］常微分方程及其解的概念，會建立常微分方程模型。

§1微分方程模型

1、微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展

常微分方程有著深刻而生動的實際背景，它從生產(chǎn)實踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)分

析問題與解決問題的強有力工具。該課程是與微積分一起成長起來的學(xué)科，是學(xué)習(xí)泛函分析、數(shù)理方程、

微分幾何的必要準(zhǔn)備，本身也在工程力學(xué)、流體力學(xué)、天體力學(xué)、電路振蕩分析、工業(yè)自動控制以及化學(xué)、

生物、經(jīng)濟等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。

300多年前，Newton與Leibniz奠定微積分基本思想的同時，就正式提出了微分方程的概念.

17世紀(jì)末到18世紀(jì)，常微分方程研究的中心問題是如何求出通解的表達式.

19世紀(jì)末到20世紀(jì)處,主要研究解的定性理論與穩(wěn)定性問題.

20世紀(jì)進入新的階段，定性上升到理論，進一步發(fā)展分為解析法、幾何方法、數(shù)值方法.

解析方法:是把微分方程的解看作是依靠這個方程來定義的自變量的函數(shù).

幾何方法：（或定性方法）把微分方程的解看作是充滿平面或空間或其局部的曲線族.

數(shù)值方法:求微分方程滿足一定初始條件（或邊界）條件的解的近似值的各種方法.

微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方

程的近似解。牛頓在建立微積分的同時,對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?貝努

利、購拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、利朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的

其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前

計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。

牛頓研究天體力學(xué)和機械力學(xué)的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律。后

來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。

這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相

應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。

2、微分方程模型

微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際問題的重要渠道之一，將實際問題建立成微分方程模型最初并不是數(shù)學(xué)家

做的，而是由化學(xué)家、生物學(xué)家和社會學(xué)家完成的。

例1物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型

將某物體放置于空氣中，在時刻r=0時，測得它的溫度為人=150°C,10分鐘后測得溫度為

%=100確定物體的溫度與時間的關(guān)系，并計算20分鐘后物體的溫度.假定空氣的溫度保持為

4=24℃.

解設(shè)物體在時刻t的溫度為u=u(t)，由牛頓(Neweon)冷卻定律可得

——=-k(u-M,)(k>0,M>u)(1.1)

dt

這是關(guān)于未知函數(shù)“的一階微分方程,利用微積分的知識將(1.1)改為

(1.2)

兩邊積分，得到\n(u-ua)^-kt+c［為任意常數(shù)

k

令=c,進而u=ua+ce~'(1.3)

根據(jù)初始條件，當(dāng)，=0時，M=?0,得常數(shù)c=〃o-〃“

k,(1.4)

于是u=ua+(M0-ua)e~

Ok

再根據(jù)條件，=10分鐘時I“=/，得到M|=ua+(uo-ua)e-'

k

10M,-Ua

將％=150,%=100,4=24代入上式,得到

=Ln1.66a0.051

k

10100-2410

從而，“=24+126e-°05”(1.5)

由方程(1.5)得知，當(dāng)「=20分鐘時,物體的溫度%x70C而且當(dāng)tT+oo時，u-24℃.

溫度與時間的關(guān)系也可通過圖形表示出來.如圖(1.1).可解釋為：經(jīng)過一段時間后，物體的溫度和空氣的

溫度將會沒有什么差別了.事實上，經(jīng)過2小時后，物體的溫度已變?yōu)?4℃,與空氣的溫度已相當(dāng)接近.法

律破案判斷尸體的死亡時間就是用這一冷卻過程的函數(shù)關(guān)系來判斷的.

例2動力學(xué)問題

物體由高空下落,除受重力作用外,還受到空氣阻力的作用，空氣的阻力可看作與速度的平方成正比,

試確定物體下落過程所滿足的關(guān)系式.

解設(shè)物體質(zhì)量為"2,空氣阻力系數(shù)為上,又設(shè)在時刻，物體的下落速度為V,于是在時刻，物體所受

的合外力為F=mg-kv2,建立坐標(biāo)系,取向下方向為正方向，根據(jù)牛頓第二定律得到關(guān)系式

UVJ9/小

m—=mg-kv(1.6)

dt

而且，滿足初始條件，=0時，u=0(1.7)

例3電力學(xué)問題

在如圖(1.2)所示的電路，它包括電感L、電阻R和電容C.設(shè)R、L、。均為常數(shù)，電源

eQ)是時間E的已知函數(shù),建立當(dāng)開關(guān)K合上后，電流/應(yīng)滿足的微分方程.

解經(jīng)過電感L、電阻R和電容C的電壓降分別為：里、R/和色，其中。為電量，由基爾霍

夫第二定律得到

e(t)=L-+RI+^-(1.8)

dtC

因為/=也，于是有

dt

d2lRdi11de⑴,、

r+----+—=-----—(1.9)

dt2LdtLCLdt

這就是電流1應(yīng)滿足的微分方程.如果e(f)=常熟，得到

d'lRdlI八

(1.10)

dt2LdtLC

如果又有R=0,則得到

(1.11)

drLC

例4人口模型

英國人口統(tǒng)計學(xué)家馬爾薩斯(Malthus)在1798年提出了聞名于世的Malthus人口模型的基本假設(shè)是:

在人口自然增長的過程中，凈相對增長率(單位時間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比)是常數(shù)，記此常

數(shù)為r(生命系數(shù)).

在r至卜+加這段時間內(nèi)人口數(shù)量N=N(t)的增長量為

N(f+4)-N(f)

N(t+Af)-N⑴=rN⑺加(Af=1,r=-----N()-------)

于是N(r)滿足微分方程

(1.12)

dt

將上式改寫為

dN

----=rdJt

N

于是變量N和f被“分離”，兩邊積分得

InN=rf+c

N=ce(1.13)

其中c=/為任意常數(shù).(因為N=0也是方程(1.17)的解.

如果設(shè)初始條件為

f="時,NQ)=N()(1.14)

代入上式可得c=N0e-"。，.即方程(1.17)滿足初值條件(1.19)的解為

N(/)=NO，"T°)(1.15)

如果r〉0,上式說明人口總數(shù)NQ)將按指數(shù)規(guī)律無限增長.將時間f以1年或10年離散化，那么可以說,

人口數(shù)是以/為公比的等比數(shù)列增加的.

當(dāng)人口總數(shù)不大時，生存空間、資源等極充裕，人口總數(shù)指數(shù)的增長是可能的.但當(dāng)人口總數(shù)非常大時，

指數(shù)增長的線性模型則不能反映這樣一個事實；環(huán)境所提供的條件只能供養(yǎng)一定數(shù)量的人口生活，所以

Malthus模型在N(f)很大時是不合理的.

荷蘭生物學(xué)家Verhulst引入常數(shù)Nm(環(huán)境最大容納量)表示自然資源和環(huán)境條件所容納的最大人口

數(shù)，并假設(shè)凈相對增長率為8。

即凈相對增長率隨N⑺的增加而減少，當(dāng)N(f)fN,“時，凈

I”,

增長率-0.

按此假定，人口增長的方程應(yīng)改為

dN[1一且]N

(1.16)

dtINJ

這就是Logistic模型.當(dāng)N,“與N相比很大時，——與rN相比可以忽略，則模型變?yōu)镸akhus模型但N,”

與N相比不是很大時，二這一項就不能忽略，人口增長的速度要緩慢下來.我們用Logistic模型.來預(yù)測

地球未來人數(shù)，某些人口學(xué)家估計人口自然增長率為r=0.029,而統(tǒng)計得世界人口在1960年為29.8億,

29.8X10D

增長率為1.85%,由Logistic模型.(1.21),有0.01率=0.029x1-，可得N,“=82.3x108,

”,J

NN

即世界人口容量82.3億，以（1.21）式右端為二項多項式，以N=要為頂點，當(dāng)N<1時人口增長率

22

增加；當(dāng)時人口增長率減少，即人口增長到d^=41.15x1（）8時增長率將逐漸減少.這與人口在

22

20世紀(jì)70年代為40億左右時增長率最大的統(tǒng)計結(jié)果相符.

小結(jié)：從以上的討論可以看出，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型這一事實，這正是許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和

工程應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問題的理論根據(jù).以上我們只舉出了常微分方程的一些簡單的實例，其實

在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的其它領(lǐng)域中，都提出了大量的微分方程問題.所以說，社會的生產(chǎn)實踐是微分方程

理論取之不盡的基本源泉.此外，常微分方程與數(shù)學(xué)的其它分支的關(guān)系也是非常密切的，它們往往互相聯(lián)系、

互相促進.例如，幾何學(xué)就是常微分方程理論的豐富的源泉之一和有力工具.考慮到常微分方程是一門與實

際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我們臼然應(yīng)該注意它的實際背景與應(yīng)用；.而作為一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我

們又應(yīng)該把重點放在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究微分方程本身的問題上.因此，在學(xué)習(xí)中，不應(yīng)該忽視課程中所列舉

的實際例子以及有關(guān)的習(xí)題，并從中注意培養(yǎng)解決實際問題的初步能力.但是，按照課程的要求，我們要把

主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理論和掌握各種類型方程的求解方法這兩方面來，這是本課程

的重點，也是我們解決實際問題的必要工具.而解決的過程為：（1）建立方程；（2）求解方程；（3）分析問

題.關(guān)鍵的是第?步，即對所研究問題，根據(jù)已知定律公式以及某些等量關(guān)系列出微分方程和相應(yīng)的初始

條件.如果指出了由微分方程所確定的未知函數(shù)的求法，那么未知量間的關(guān)系便找到了.尋求微分方程所確

定的未知函數(shù)是微分方程理論的基本問題.

§2基本概念

1、常微分方程和偏微分方程

微分方程：將自變量、未知函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來的關(guān)系式.

常微分方程：只含一個自變量的微分方程.

偏微分方程：自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程.

方程

宗+啥+”/⑺(1.17)

陰:+嚕+y=0(1.18)

票+%”=0(1.19)

是常微分方程的例子，y是未知函數(shù)，僅含一個自變量人

方程

°2T32T32T

—r+—r+—r=0(1.20)

dx2dydz

d2T_.d2T

(1.21)

dx2dt2

是偏微分方程的例子，T是未知函數(shù)，是自變量.

微分方程的階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).

例如，方程（1.17）、（1.19）是二階的常微分方程，而方程（1.20）、（1.21）是二階的偏微分方程.

一般的n階微分方程具有形式

F（^x,y,—,???,—=O（1.22）

dxdxn

這里廣（x,y,空，???，”?）是x、y、空、…、么?的已知函數(shù)，而且一定含有二二；y

dxdxdxdxdx

是未知函數(shù)，x是自變量.

2、線性和非線性

如果微分方程對于未知函數(shù)及它的各階導(dǎo)數(shù)的有理整式的整體而言是一次的，稱為線性微分方程，

否則是非線性微分方程.如：

d~ydy

—f+y上=f（1.23）

dt2dt

是非線性微分方程，而（1.17）是一個二階的線性微分方程.一般的H階線性微分方程具有形式

二+%（x）4^+…+4i（x）半+4（x）y=/（x）（I-24）

dxdxdx

這里.（*）,。2（%），…，/（%），?/'（X）是'的已知函數(shù).

3、解和隱式解

微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解.即若函數(shù)y=0（%）代入式（1.22）中，使

其成為恒等式，稱y=0（x）為方程（1.22）的解.

例如容易驗證y=cosa>x是方程+692y=0的解

dx11

如果關(guān)系式中（x,y）=0決定的隱函數(shù)y=0（x）為方程（1.22）的解，稱①（x,y）=0是

方程（1.22）的隱式解.例如，一階微分方程

有解y=V1--7和y=-yjl-x2；而關(guān)系式x2+y2=1是方程的隱式解.

4、通解和特解

通解：具有n個獨立的任意常數(shù)c-j,…，c”的解y--0（x,c/C2,…，c“）稱為方程（1.22）

的通解.

注：所謂函數(shù)y=<z?（x,ct,c2,-?-,cn）含有H個獨立常數(shù)，是指存在（x,C1心2,…，c“）的某一?鄰

域，使得行列式

dcpdcpQcp

dcxSc2dctl

d(prdcp9dcp9

Sc】dc2dcnr0

dcxdc2dcn

其中"=#.

特解：方程滿足特定條件的解.

定解問題：求方程滿足定解條件的求解問題.定解條件分為初始條件和邊界條件，相應(yīng)的定解問題分

為初值問題和邊值問題.

一般地，初值問題為

,F（x,y,y',…，嚴(yán)）=0

）（/）=先,>'（/）=媼,…，產(chǎn)"（/）=靖"

特解可以通過初始條件限制，從通解中確定任意常數(shù)而得到，如例1中，含有一個任意常數(shù)c的解

kl

u=ua+ce~

就是一階方程（1.1）的通解：而

〃=心+（旬一露）廠

就是滿足初始條件

t—0,u—u0

的特解.

5、積分曲線和方向場

一階微分方程

孚=/（x,y）（1.25）

ax

的解y=9（x）是孫平面上的一條曲線，將它稱為微分方程的積分曲線；而方程（1.20）的通解y=（p（x、c）

對應(yīng)于孫平面上的一族曲線，稱為方程的積分曲線族；滿足初始條件?。?）=%的特解就是通過點

（玉），%）的一條積分曲線?

雌（1.25）的積分曲線上每一點（x,y）的切線斜率電剛好等于函數(shù)f（x,y）在這點的值，也就是說,

dx

積分曲線的每一點（x,y）及這點上的切線斜率空恒滿足方程（1.25）；反之，如果一條曲線上每點的切線

dx

斜率剛好等于函數(shù)/（x,y）在這點的值，則這一條曲線就是方程（1.25）的積分曲線.

設(shè)函數(shù)/(x,y)的定義域為￡),在。內(nèi)每一點(x,y)處，畫上一小線段，使其斜率恰好為/(x,y),

將這種帶有小線段的區(qū)域。稱為由方程(1.25)所規(guī)定的方向場.

在方向場中，方向相同的點的幾何軌跡稱為等斜線.微分方程(1.25)的等斜線方程為

f(x,y)-k(1.26)

例5—=2x

dx

解積分曲線族是y=f+c,y=2x=0,即x=0是極值線，y'=2x=A(左=0,±1,…)是

等斜線.

例6(習(xí)題7)微分方程4fy'2_y2=xy3,證明其積分曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(o,o)成中心對稱的曲線，

也是微分方程的枳分曲線.

證設(shè)L:y=/(x),xe口力]是微分方程的一條積分曲線，則滿足

4x2[/'(x)]2-尸(x)=xf\x),xe[a,b](1.27)

而L關(guān)于(0,0)成中心對稱曲線L:y==F(x),xe[-b,-a],-xe[a,b],

所以有f(x)=f'(-x),xe[-b,-a]

當(dāng)xe[-b,-a],-xe[a,b]，由(1.27)式可知

4-X)2[/'(-%)]2-/2(-x)=-xfX-x)

即4X2[F'(x)]2-F2(x)=xF3(x)

所以E(x)滿足微分方程，故尸(x)為微分方程的積分曲線.并且相對于L關(guān)于原點(0,0)成中心對稱曲線.

第二章、一階微分方程的初等解法

［教學(xué)目標(biāo)I

1.理解變量分離方程以及可化為變量分離方程的類型(齊次方程)，熟練掌握變量分離方程的解法。

2.理解一階線性微分方程的類型，熟練掌握常數(shù)變易法及伯努力方程的求解。

3.理解恰當(dāng)方程的類型，掌握恰當(dāng)方程的解法及簡單積分因子的求法。

4.理解一階隱式方程的可積類型，掌握隱式方程的參數(shù)解法。

［教學(xué)重難點］重點是一階微分方程的各類初等解法，難點是積分因子的求法以及隱式方程的解法。

［教學(xué)方法］講授，實踐。

［教學(xué)時間］14學(xué)時

［教學(xué)內(nèi)容］變量分離方程，齊次方程以及可化為變量分離方程類型，一階線性微分方程及其常數(shù)變易法，

伯努利方程，恰當(dāng)方程及其積分因子法，隱式方程。

［考核目標(biāo)］

1.一階微分方程的初等解法：變量分離法、一階線性微分方程的常數(shù)變易法、恰當(dāng)方程與積分因子法、一

階隱方程的參數(shù)解法。

2.會建立一階微分方程并能求解。

§1變量分離方程與變量變換

1、變量分離方程

1)變量分離方程

形如

2=/(x)g(y)(或M(x)N|(y)dx+M,(x)N,(y)dy=O)(2.1)

ax

的方程，稱為變量分離方程，其中函數(shù)/(X)和g(y)分別是的連續(xù)函數(shù).

2)求解方法

如果g(y)wO,方程(2.1)可化為,

~^-=f(x)dx

g(y)

這樣變量就分離開了，兩邊積分，得到

把［①一，分別理解為一'一J(x)的某一個原函數(shù).

Jg(y)'o(y)

容易驗證由(2.2)所確定的隱函數(shù)y=0(x,c)滿足方程(2.1).因而(2.2)是(2.1)的通解.

如果存在先使g(y())=o，可知y=y()也是(2」)的解.可能它不包含在方程的通解(2.2)中，必須

予以補上.

3)例題

例i求解方程包?=—2

dxy

解將變量分離，得到

ydy--xdx

兩邊積分，即得

92

)廣廠上c

222

因而，通解為

x2+y2=c這里的c是任意的正常數(shù).

或解出顯式形式

y=+yjc-x2

例2解方程

--y-cosx

dx

并求滿足初始條件：當(dāng)x=0時.y=l的特解.

解將變量分離，得到

dy.

—=cosxdx

y

兩邊積分，即得

1

—=sinx+c

y

因而，通解為

1

y=：------

sinx+c

這里的c是任意的常數(shù).此外，方程還有解y=Q.

為確定所求的特解，以x=0.y=l代入通解中確定常數(shù)c,得到c=-1

因而，所求的特解為

1

y=------

1-sinx

例3求方程

?=P(x)y(2.3)

ax

的通解，其中P(x)是X的連續(xù)函數(shù).

解將變量分離，得到

蟲=P(x)dx

y

兩邊積分，即得

ln|y|=Jp(x)dx+c

這里的Z是任意常數(shù).由對數(shù)的定義，即有

|y|=『但

即

,；\p(xydx

y=±eeJ

令±/=c,得到

y=ceS(2.4)

此外，y=0也是(2.3)的解.如果在(2.4)中允許c=0,則y=0也就包括在(2.4)中，因而，(2.3)

的通解為(2.4),其中c是任意常數(shù).

注：1.常數(shù)c的選取保證(2.2)式有意義.

2.方程的通解不一定是方程的全部解，有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.

此時，還應(yīng)求出不含在通解中的其它解，即將遺漏的解要彌補上.

3.微分方程的通解表示的是一族曲線，而特解表示的是滿足特定條件義/)=)’0的一個解，表示的是

?條過點(x。,打)的曲線.

2、可化為變量分離方程的類型

1).形如

先g目(2.5)

ax[xj

的方程，稱為齊次方程，這里的g(〃)是〃的連續(xù)函數(shù).

dy=M(x,y)

另外，i)對于方程

dxN(x,y)

其中函數(shù)M(x,y)和N(x,y)都是x和y的m次齊次函數(shù)，即對f>0有

M(tx,ty')=t"'M(x,y)N(tx,ty)=tmN(x,y)

事實上，取，=！，則方程可改寫成形如(2.5)的方程.

X

廿M(l7)

ay=_______x_=_____x_

dxN(l,2)

XX

個=/(x,y)

ii)對方程

dx

其中右端函數(shù)/(x,y)是X和y的零次齊次函數(shù)，即對f>0有

f(tx,ty)=f(x,y)

則方程也可改寫成形如(2.5)的方程

"(0

dxx

對齊次方程(2.5)利用變量替換可化為變量分離方程再求解.

令(2.6)

X

即卜=〃8，于是

dydu

—=x---Fuz(2.7)

dxdx

將(2.6)、(2.7)代入(2.5),則原方程變?yōu)?/p>

du/、

X---Vil=g(〃)

dx

整理后，得到

也(2.8)

dxx

方程(2.8)是一個可分離變量方程，按照變量分離法求解，然后將所求的解代回原變量，所得的解便是原

方程(2.5)的解.

例4求解方程生=工+玫上

dxxx

解這是齊次方程，以上=M，蟲=%蟲+〃代入，則原方程變?yōu)?/p>

xdxdx

du

X---VII=u+tgu

dx

即

心儂(2.9)

dxx

分離變量，即有

.dx

ctgudu=—

X

兩邊積分，得到

ln|sinw|=ln|x|+c

這里的2是任意的常數(shù)，整理后，得到

sinu=ex(2.10)

此外，方程(2.9)還有解吆〃=0,即sin〃=0.如果(2.10)中允許c=0,則sin”=0就包含在(2.10)

中，這就是說，方程(2.9)的通解為(2.10).

代回原來的變量，得到原方程的通解為

.y

sm—=ex

x

例5求解方程+=y(x<0).

dx

解將方程改寫為

包=2至+上(x<o)

dxyxx

這是齊次方程，以上=〃,空=》也+”代入，則原方程變?yōu)?/p>

xdxdx

x-^-=2y/li(2.11)

分離變量，得到

du_dx

2&x

兩邊積分，得到(2.11)的通解

-7M=ln(-x)+c

即

u—[ln(—x)+c]~(ln(—x)+c>0)(2.12)

這里的c是任意常數(shù).此外，(2.11)還有解“=0

注意，此解不包括在通解(2.12)中.

代回原來的變量，即得原方程的通解

y-x[ln(-x)+c]2(ln(-x)+c>0)及解y=0.

原方程的通解還可表為

x[ln(—x)+c]2,ln(—x)+c>0,

y=<

'[o,

它定義了整個負(fù)半軸上.

1.對于齊次方程立=的求解方法關(guān)鍵的一步是令〃=上后，解出y=“x,再對兩邊求關(guān)

注:

dxvxjx

于X的導(dǎo)數(shù)得蟲=M+X也，再將其代入齊次方程使方程變?yōu)殛P(guān)于U,X的可分離方程.

dxdx

x

2.齊次方程也可以通過變換v=-而化為變量分離方程.這時x二叩，再對兩邊求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)得

y

dxz/u

lf±=v+y—,將其代入齊次方程AY竺=/Y-使方程變?yōu)樨皔的可分離方程

dydydy(yj

小結(jié)：這一講我們主要講解了一階微分方程的可分離變量法和齊次方程的r=g

2形狀的解法.而

這一齊次方程通過變量替換任然可化為可分離方程，因而，一定要熟練掌握可分離方程的解法.

2）形如

dy_++q

(2.13)

dxa2x+b2y-^-c2

的方程經(jīng)變量變換化為變量分離方程，這里的生,。,c2均為常數(shù).

分三種情況來討論

(1)q=C2=0情形.

這時方程（2.13）屬齊次方程，有

dy=qx+bj上］

dxa2x+b2y1%J

此時，令〃=￡,即可化為變量可分離方程.

X

%仇=o,即5=久的情形.

(2)

a2b2b2

設(shè)幺=2_=左，則方程可寫成

4b2

筌=k(a2x+b2y)+c=fax+b2y)

dX(。21+02y)+。2

令a2x+b2y=u,則方程化為

du

dx

這是一變量分離方程.

瓦

(3)HO及q,C2不全為零的情形.

a2b2

這時方程（2.13）右端的分子、分母都是的一次式，因此

++q=0

(2.14)

a2x+b2y+c2=0

代表孫平面上兩條相交的直線，設(shè)交點為（。,尸）.

顯然，awO或夕W0,否則必有G=C、2=0,這正是情形（1）（只需進行坐標(biāo)平移，將坐標(biāo)原點（0,0）

移至（a,￡）就行了，若令

X=x-a

(2.15)

=夕

則（2.14）化為

%x+*=0

*

a2X+/?2y=0

從而（2.13）變?yōu)?/p>

-JX+*田

(2.16)

dXa2X+b2Y（XJ

因此，得到這種情形求解的一般步驟如下：

（1）解聯(lián)立代數(shù)方程（2.14）,設(shè)其解為x=a,y=￡；

（2）作變換（2.15）將方程化為齊次方程（2.16）；

Y

（3）再經(jīng)變換〃=一將（2.16）化為變量分離方程；

X

（4）求解上述變量分離方程，最后代回原變量可得原方程（2.13）的解.

上述解題的方法和步驟也適用于比方程（2.13）更一般的方程類型

‘qx+4y=c,

^a2x+b2y+c2)

此外，諸如

dy—、

—f(ax+b7y+c)

ax

y(xy)dx+xg(xy)dy=0

/牛=/(盯)

dx

dy「y

dxx2

以及

M(x,y)(xdx+ydy)+N(x,y)(xdy-ydx)=0

（其中M,N為的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同）等一些方程類型，均可通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q化為變量

分離方程.

例6求解方程

dy_%-y+1

(2.17)

dxx+y-3

x—y4~1=0

解方程組《,得x=l,y=

y-3=0'

Ax=X+\

y^Y+2

代入方程(2.17),則有

dY_X-Y

(2.18)

dX~X+Y

再令

Y

u=—即Y=uX

X

則(2.18)化為

dX1+H,

Xl-2?-w2

兩邊積分，得

InX2=-ln|w2+2w-l|+c

因此

X2(M2+2H-l)=±e;

記±e'=q,并代回原變量，就得

Y2+2XY-X2=q

22

(y-2)+2(x-l)(y-2)-(x-l)=C|

此外，易驗證

u~+2“-1=0

即

r2+2xr-x2=0

也就是(2.18)的解.因此方程(2.17)的通解為

y2+2xy-x2-6y-2x=c

其中c為任意的常數(shù).

3、應(yīng)用舉例

例7電容器的充電和放電如圖(2.1)所示的R-C電路，開始時電容C上沒有電荷，電容兩端的電

壓為零.把開關(guān)K合上“1”后，電池E就對電容C充電，電容C兩端的電壓氣逐漸升高，經(jīng)過相當(dāng)時間

后，電容充電完畢，再把開關(guān)K合上“2”，這時電容就開始放電過程，現(xiàn)在要求找出充、放電過程中，電

容C兩端的電壓uc隨時間t的變化規(guī)律.

解對于充電過程，由閉合回路的基爾霍夫第二定理，

uc+RI=E(2.19)

對于電容C充電時，電容上的電量。逐漸增多，根據(jù)。=C“c，得到

dQd0、du,、

Ir=---=—(Cw)=C*----r(2.20)

dtdtr°dt

將(2.20)代入(2.19),得到以滿足的微分方程

du

RC——+u=E(2.21)

dt

這里R、C、E都是常數(shù).方程(2.21)屬于變量分離方程.將(2.21)分離變量，得到

duc_dt

UQ-ERC

兩邊積分，得到

ln\uc-E\=--t+ci

AC

即

__l___i_

1RC

uc-E=+e'eg=c2e

這里C2=±e"為任意常數(shù).

將初始條件：f=0時，％=0代入，得到C2=—E.